这个广泛流传的误解来自黎曼ζ（读音"zeta"）函数的解析延拓有 \zeta(-1)=-\frac{1}{12} 这个数学事实。我在相关姿势水平不够的时候也信了那套莫名其妙的暴力求和来着……由于黎曼ζ函数原本的定义是 \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}} （其中s为复数），如果把s取为-1的话，等号右边就变成了1+2+3+...这样的“全体自然数之和”，似乎 \zeta(-1)=-\frac{1}{12} 就自然推出了“全体自然数之和等于负十二分之一”。但是要注意，原始的黎曼ζ函数是定义在s的实部大于1的区间中的，也就是说原始的ζ(s)在s=-1时根本没有意义。那么这个 \zeta(-1)=-\frac{1}{12} 是怎么回事呢？这里就需要介绍“解析延拓”这个概念。假设两个函数分别在两个区域中解析，而这两个区域有公共部分，在公共部分上两个函数相等，那么就可以把这两个函数在两个区域的并集上的全体点的数值集，看成一个在两区域的并集上解析的新函数，此时这两个函数就是彼此的解析延拓。具体的例子有别的答主已经举出。重点就是， \zeta(-1)=-\frac{1}{12} 是在黎曼ζ函数解析延拓后得到的结果，可以认为此时的ζ(s)含义已经与之前不同，也自然不能将负十二分之一看成“全体自然数之和”。不过它的解析延拓具体是怎么回事，我自忖以自己所掌握的水平很难清楚又靠谱地讲出来，还是推荐高人吧，同样是B站视频，水平不知高到哪里去了：这是3Blue1Brown做的一期关于这个问题的可视化解读，有基本微积分和复数知识的基本上就能看懂，可以说做得非常漂亮了。}