摘  要：该文从研究微分推导中含?项的意义，提出含?项的意义是平均增加速度，切线和法线是曲线上连续三点组成三角形的内外角平分线。在证明积分时，提出将积分求面积问题转化为求体积问题或转化为求平均高问题等新算法进行证明，在证明过程中不再需要用到趋于零不为零和黎曼和的约等于就是等于等逻辑自相矛盾的概念，证明过程更符合数学逻辑、更简洁准确。

微分自创立之日至现在一直没有阐明含?项的意义，含?项的意义不清楚就无法准确解释为什么在求导时要将其消去。在证明积分时黎曼和求得的面积是明明是约等于，而最后的结果又是等于。这些逻辑自相矛盾的证明是不严密的，历代数学家们虽然提出很多晦涩繁杂的论证，但是在运算时依然得使用这些自相矛盾的概念。比如在求导时，一边念叨着含?项不为零，一边又把它们当作零消去，每一次求导都是对求导者逻辑的折磨。该文从微分和积分起源论证微分和积分的逻辑缺陷，并提出新计算方法对微分和积分进行证明。

1  微积分的起源及其逻辑缺陷

微分的起源有两个，一是牛顿求时点速度，另一为莱布尼茨求切线。它们的论证过程出现相悖的逻辑问题，自创立之日就引起巨大的争议，引发第一次数学危机，且持续数百年不断。

1.1 从速度角度对微分的证明

1.1.1 牛顿通过求时点速度推导微分

微分起源之一为牛顿求时点速度，速度等于距离除时间，时点的距离和时间长度是零，零除零是没有意义的，无法直接用距离除时间求得时点速度。为了求时点速度，牛顿提出流数理论。例如，作自由落体物体为匀变速直线运动，其距离方程为s=s（t）（s表示位移，t表示时间），求物体在t时点速度Vt。由于在t时点，距离和时长为零，无法求出t时点速度Vt。牛顿的思路是先求得t点到t+?t点时段的平均速度，当时间间隔?t无限小时，?t时段内速度的变化会极小，可以用其代表t时点的速度，即当?t→0时。例如初速为零的自由落体运动公式，?t时段平均速度。当?t→0时，?t等于零，所以t时点速度v=gt。

1.1.2 牛顿求微分过程的逻辑缺陷

牛顿在求时点速度推导微分过程中，当?t作除数时，?t不为零，在求最后结果时又让含?t项作为零消去。在同一运算过程中?t一时不为零，一时又要作为零消去的推导过程，存在自相矛盾的逻辑缺陷，曾引发第一次数学危机。

1.1.3 牛顿求微分的悖论：自由落体运动为匀速运动。

牛顿为求t时点速度，求s'得到s'=gt+?t，当?t→0时，求其极限，把含有?t的?t消去，得到式子Vt=gt，进而得出时点速度公式（即导数）公式V=gt。牛顿推导过程存在逻辑问题，从理论上讲t时点和t+?t时点均有一个速度，而自由落体运动为匀速运动，gt+?t无限接近t时点速度同时也会同等接近t+?t时点速度，如果gt+?t能代替t时点速度，也能代替t+?t时点速度，t时点和t+?t时点将会相等的悖论。把时间t把代入求得t时点速度vt=gt，把时间t+?t代入求出t+?t时点的速度Vt+?t=g（t+?t）=gt+g?t，而?t→0，同理也应将g?t消去，求得t+?t时点速度Vt+?t=gt，而Vt+?t=gt=Vt，两者速度相等，依此类推，Vt+n=gt=Vt（n为任意时点），这就意味着自由落体运动任意时点速度均相等是匀速运动的悖论。

1.1.4 牛顿的证明存在逻辑矛盾而结果却正确的原因

牛顿目标是求t时点的速度，而运算求得的是t时点至t+?t时点时间间隔内（即?t时间段内）平均速度，?t时间段内平均速度与t时点的速度是不相等的，要求得t时点的速度，要将平均速度gt+?t减去平均速度与t时点的速度之差?t。这就是为什么牛顿逻辑错误而结果正确的原因。

对于匀变速运动，除了用位移除时间求平均速度外，还可以用两点速度之和除2方法求得，用此方法求得的速度公式就不存在纠结?t是否为零的问题。静止物体从高处自由落下，其距离公式为，初速度v0=0，t时点速度Vt，t时段内平均速度，物体距离公式也可以用平均速度乘上时间表示，即s=，，所以公式，约简后得到速度公式vt=at。

在微分推导过程中，只是一味将含?t项当作垃圾项消去，从未阐明含?t项的意义，只有阐明含?t项的意义，才能真正论证清楚为什么要将含?t项消去。我们依然以自由落体为例来论证，对求导则有，的意义是质点在?t时间段运动过的距离?s除时间?t，它的意义就是质点在?t时段内的平均速度，而?t的意义是质点在t时點的速度，g?t的意义是在?t时段内，质点因增加?t时间而增加的速度平均数，即平均增加速度。

假设距离与时间存在如下关系s=t3，则质点在?t时段平均速度，则3t2+3t?t+?t2为t点到t+?t点平均速度，3t2为t点速度，3t?t+?t2为t点到t+?t点的平均增加速度。根据时点速度公式v=3t2，将t+?t代入可以求得t+?t时点速度Vt+?t=3t2+6t?t+3?t2。当然我们也可以根据v=3t2求得在?t时段内，在何时点达到平均速度3t2+3t?t+?t2。求法如下：假设在x时点达到平均速度，则有3x2=3t2+3t?t+?t2，解方程求得x=。假设在t+x时点达到平均速度则有3（t+x）2=3t2+3t?t+?t2，解方程得x=-t。依此类推，假设距离与时间存在如下关系s=tn，则质点在?t时段平均速度含?t项，则ntn-1+含?t项为t点到t+?t点的平均速度，ntn-1为t点速度，含?t项为t点到t+?t点的平均增加速度。含?项的意义就是因自变量时间t变化?t时间导致平均增加速度的变化。

这种文本表示的方法，称之为词袋标识符。 词袋模型假设咱们不考虑文本中词与词之间的上下文关系，仅仅只考虑 全部词的权重。而权重与词在文本中出现的频率有关。 从词的角度进行文本数据挖掘是众多挖掘方式中的一种。 统计修订词特征值（counting）： 统计每一个词在文本中出现的次数，咱们就能够获得该文本基 于词的特征，若是将各个文本样本的这些词与对应的词频放 在一块儿，就是咱们常说的向量化。 向量化完毕后通常也会使用TF-IDF进行特征的权重修正， 由于，若是语料是有不少篇文本组成，那么一个词在一篇文 本中出现的次数每每不够科学，要把全部文本一块儿考虑。 将特征进行标准化，以便于挖掘。

Tfidf词频逆文档频率
 
 LDA隐含狄利克雷分布 ：从词语层面看，主题是一种词汇分布，并不涉及到词与词的顺序关系，也属于BOW(bag of words)
 
 VSM向量空间模型： 单词向量空间模型
 
 LSA潜在语义分析（Laten Semantic Analysis）：话题向量空间模型，经过矩阵分解（SVD或者NMF），来发现文本与单
 词之间的基于话题的语义关系。
 
 

 

 
 
 In(Vi)表示结点Vi的前驱结点集合，
 Out(Vj)表示结点Vj的后继结点集合，
 白话：一个节点i的PR值经过i的全部前驱节点的PR值求和获得，
 节点i的PR值能够分得前驱节点j出度数分之一的PR(j)值，
 换句话说j的出度越多，出度目标分得PR(j)越少。
 
 TextRank换成了词语之间的关系。
 
 pageRank用来计算每一个页面的PR值，也叫rank值或页面排名值。
 搜索结果的权重根据rank值决定。
 
 pageRank的思想是，每一个页面的rank值是由指向他的页面的rank值所决定。
 
 
 pageRank也称为随机游走算法，属于一种图算法。
 
 好比有页面A，只有页面B和C指向A，B页面只指向A，C页面同时仅指向A和D，那么PR(A)=PR(B)+P(C)/2。
 其它页面也按照这种方式计算。
 若是有N个页面，就会有N个上例的计算等式。
 
 

基于内容推荐与基于项目的协同过滤区别

 后者侧重使用用户对于商品的历史行为记录，即用户-商品二维矩阵。
 用户/商品表示能够看作特殊的基于内容的表示，只不过是把用户的具体内容属性换为了用户的历史行为特征。
 协同是集体智慧，寻找隐含的模式。
 基于内容是某个属性进行匹配。
 协同是用户-商品评分二维矩阵当作输入。
 基于内容侧重将用户或者商品的特征信息做为输入特征。
四、推荐算法好坏的决定因素
 协同依赖行为数据多少。
 前者更多依赖特征工程+属性完整+领域知识。

基于用户和项目的协同过滤的区别

基于用户的协同过滤从用户类似的角度出发。
基于项目的协同过滤从物品类似的角度出发。
基于用户的协同过滤使用的是类似用户对同一个物品的加权平均。
基于项目的协同过滤使用的是该用户对类似物品的加权平均。
两者都是使用行为数据来求用户或者物品的类似度。
在进行预测时两者本质上是一种回归。

协同过滤与LFM隐含语义模型区别

LFM具备是一种学习方法，经过优化一个设定的指标 创建最优的模型。 邻域的方法更多的是一种基于统计的方法，并无学习过程。 离线计算的空间复杂度： 在通常状况下，LFM的时间复杂度要 稍微高于UserCF和ItemCF，这主要是由于该算法须要屡次迭代。 对比的是用户有一个新的行为发生（喜欢了某个物品）的前提下。两种算法可否及时做出反应。 LFM经过公式可知道，用户新行为不能及时计算进去，须要维护一个推荐列表。 协同过滤能够几乎实时的查询。

本质上是对线性序列中每一个元素根据上下文内容进行分类。
过程是对于一个一维线性输入序列（词语序列），每一个元素打上标签集合中的某个标签。
常见应用：分词，词性标注，命名实体识别。

如何使用隐马尔可夫模型进行词性标注建模：
 词性转移矩阵，(举例，动词后面是名词的几率)。

某个词性的条件下是某个词的几率(举例，P(like|N)=0.012)。 也就是咱们要进行词性标注问题的已知句子。（举例， Flies like a flower） 已知观测序列，求最合理的隐状态序列。 观测序列是原始句子的一组词组成的有序列表， 隐状态序列是原始句子的每一个词对应的词性。 从语料库中训练获得的词性转移几率矩阵和词语生成几率矩阵 是boost算法中用的方法。 加法模型（假设函数）： beta基分类器的参数。 咱们分隔成一系列的子问题求解。 从前日后，每一步学习一个基函数及其系数

上一轮的强学习器（模型）：

样本标签与强学习器的差值
 

 
 
 

 
 
 

与上一轮损失函数不一样的是，强学习器增长了本轮的弱学习器。

残差与损失函数负梯度近似

 

 
 
 
 此处的m表示第m个模型，与前一节中的t对应。
 
 

 
 
 

 
 
 

大概推出负梯度是残差的近似。