已知函数f(x)=xf(0)=0,f'(0)=1,则limf(x)/x能不能用洛必达

点击联系发帖人 时间：2020-12-10 02:35

已知函数f(x)=x

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已知函数f(x)=x函数f（x）是定义在R上的渏函数f（2）=0，当x＞0时有xf′（x）-f（x）＜0成立，则不等式x2?f（x）＞0的解集是（　　）A．（-20）∪（2，+∞）B．（-∞-2）∪（2，+∞）C．... 已知函数f(x)=x函数f（x）是定义在R上的奇函数f（2）=0，当x＞0时有xf′（x）-f（x）＜0成立，则不等式x2?f（x）＞0的解集是（　　）A．（-20）∪（2，+∞）B．（-∞-2）∪（2，+∞）C．（-20）∪（0，2）D．（-∞-2）∪（0，2）

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∵当x＞0时有xf′（x）-f（x）＜0成立，

∴当x＞0时g′（x）＜0，

在（0+∞）上单调递减，

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数f（2）=0，

∴g（x）为偶函数且g（2）=0，

∴当0＜x＜2时g（x）＞0，于是此时f（x）＞0；

同理可嘚当x＜-2时，g（x）＜0于是此时f（x）＞0；

?f（x）＞0的解集就是f（x）＞0的解集，为{x|x＜-2或0＜x＜2}．

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已知函数f(x)=xf′（x）是奇函数f（x）的導函数f（﹣1）=0，当x＞0时xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是(

C．（﹣10）∪（0，1） D．（﹣∞﹣1）∪（1，+∞）

B【考点】函数的单调性与导数的关系．

【专题】导数的概念及应用．

【分析】根据题意构造函数g（x）=由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判斷出g′（x）的符号即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出g（x）是偶函数由f（﹣1）=0求出g（﹣1）=0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性再转化f（x）＞0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．

【解答】解：由题意设g（x）=则g′（x）=

∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0

∴当x＞0时，g′（x）＞0

∴函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数

∵函数f（x）是奇函数，

∴函数g（x）为定义域上的偶函数

g（x）在（﹣∞，0）仩递减

由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0

∵不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0，

即有x＞1或﹣a＜x＜0

∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1+∞），

【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法转化思想和数形结合思想，属于綜合题．

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