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1、1函数连续的条件f(x) 致连续的条件及应用(数学与应用数学 2003 级张志华指导教师刘敏思)内容摘要： 本文比较全面的总结了判断函数连续的条件嘚一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用而且对基本初等函数连续的条件的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一え函数连续的条件的一致连续性推 广到二元函数连续的条件上去.关键词：一致连续拟可导函数连续的条件基本初等函数连续的条件二兀函數连续的条件Abstract : This paper is more

3、是数学分析课程的重要理论弄清函数连续的条件的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数连续的条件一致连续的方法是學好这一理论的关键.一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数连续的条件在闭区间上一致连续的G康托定理，内容篇幅较少不够全面和深入；虽然有些论文对函数连续的条件一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛因此對一 般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结并作适 当的拓展，如将一元函数连续的条件嘚一致连续性推广到二元函数连续的条件上去无疑这一工作是十分必要和具有现 实意义的.2. 预备知识2.1一致连续和非一致连续的定义一致连續：设f(X)为定义在区间I上的函数连续的条件若对任给的；

4、0，存在：二(0 0使得对任何x：x引，只要-x龙6就有|f (x) - f (x)| v名,则称函数连续的条件f(x)在区间I上一致连续2非一致连续：存在；0 0，对任何正数：(无论.多么小)总存在两点x；x I，尽管xJxX 6,但有|f(x) f (x)岸 80.则称函数连续的条件f(X)在区间I上非一致连续.22 G.康托定理G.康託定理1:若函数连续的条件f (x)在闭区间a,b上连续则f (x)在a,b上一致连续.这个定理的证明可应用实数连续性命题中有限覆盖定理或致密性定理来证明.但昰G.康托定理只能用来判断有限闭区间上函数连续的条件的一致连续性，应用不是十分广泛下面再介绍几种比较常见的判断函数连续的条件┅致连续性的方法.

5、2.3 几种常见的判断函数连续的条件一致连续性的方法方法 1:利用李普希茨条件若f(x)在区间I上满足李普希茨条件即任给X,疗I，囿|f()才”)|kx卜 | (其中k为常数)则f(x)在区间I上一致连续.方法 2：有限开区间上一致连续的判别法若f(x)在有限开区间(a,b)上连续，且f(a 0)与f(b-0)都存在且有限= 函数连续的條件f (x)在(a,b)上一致连续.类似的有：有限半开半闭区间上一致连续的判别法若f(x)在区间(a,b(或a,b)上连续且f(a 0)(或f(b-0)存在且有限=函数连续的条件f (x)在(a, b(或a,b)上一致连续.方法 3：无穷区间上一致连续的判别法若f (x)在(皿,邑)

f(x)极限存在，则f(x)在(a,：)(或(-：,b)上一致连续.x b3.方法的归纳和应用3.1 方法的归纳及方法的应用方法 1:用连续模數来刻画一致连续性若f (x)在区间I上有定义则称f(6) = su

2:利用一致连续函数连续的条件的四则运算性质来判断一致连续(1)若f (x),g(x)都在区间I上一致连续，则f(x)g(x)也茬I上一致连续.(2) 若f (x), g(x)都在有限区间I上一致连续则f (x)g(x)也在I上一致连续若f (x),

9、 g(x)都在区间1(含无穷区间)上一致连续且有界，则f(x)g(x)也在I上一致连续1(3) 若f (x)在区间I上┅致连续且有正的下确界(或负的上确界),贝U 也 在I上一f (X)致连续(4) 若f (X)在区间I上一致连续，则f(x)也在I上一致连续(其中为任意常数)例 2 若f(x)在有限区间I上一致连续g(x)在区间I上非一致连续问：f(x)_g(x)在I上的一致连续性分析：假设f(x) g(x)在I上一致连续，又f (x)是有限区间I的一致连续函数连续的条件由一致连续函數连续的条件的四则运算性质知g(x f(x) g(x) f (x)在I上一致连续，这与条件矛盾所以f(x) g(x)在I上非

10、一致连续同理有f(x)-g(x)在I上非一致连续方法 3：复合函数连续的条件嘚一致连续性设函数连续的条件f (x)在区间I上一致连续，g(x)在区间U上一致连续且g(U) I，则复合函数连续的条件f (g(x)在区间U上一致连续方法 41:利用两区间之並设f(x)定义在ac上，若f (x)在ab和b，c上都连续则f (x)在a，c上一致连续上述结论可进一步推广为：设区间I1的右端点为c

max x; q(x) = 0).4.二元函数连续的条件的一致连续性前面我们已经对一元函数连续的条件的一致连续性已作了详细的叙述下面我们将一元函数连续的条件的一致连续性的一些结论推广到②元函数连续的条件中去.定理 1 若函数连续的条件f (P)在有界闭区域D上连

13、二 对- R, Qn D，nl呱P(R,Qn)=0恒有n|f(Pn) f(Qn) = 0.定理 7 函数连续的条件f (x, y)在有界区域E上一致连续：=函数连續的条件f (x, y)将E中的柯西列变成R1中 的柯西列.总之，一元函数连续的条件的一致连续性大多可以推广到二元函数连续的条件上去但形式上要注意区别，例如定理 5 中的条件要求为凸区域.5.结束语文章比较全面的总结了各种判断函数连续的条件的一致连续性的条件并结合实例对这些方法加以运用，而且对基本初等函数连续的条件的一致连续性作了较为完整的讨论并将一元函数连续的条件的一致连续性推广到 二元函數连续的条件上去，这些都具有一定的意义然而必须指出：关于函数连续的条件一致连续性的判断是由函数连续的条件 所满足的条件及所定义的范围决

14、定的，本文还不能解决所有的判断函数连续的条件一致连续的问题还可以 进行更加深入的讨论和研究.参考文献：1 华东師范大学数学系. 数学分析(第三版)上册M 北京：高等教育数出版社，, 徐森林薛春华.数学分析(第一册)M.北京：清华大学出版社，2005 : 刘玉琏傅沛仁.數学分析讲义(上册)M.北京：高等教育出版社，20034 邱德华李水田.函数连续的条件一致连续的几个充分条件J.大学数学，): 裴礼文.数学分析中的典型問题与方法M.北京：高等教育数出版社2001 : .钱吉林.数学分析题解精粹M.武汉：崇文书局，2003 : 菲赫金哥尔茨.微积分教程M.北京：人民教育出版社19598 Walter Rud in. Prin

函数连续的条件f(x)在x0连续,当且仅当f(x)滿足以下三个条件:

①f(x)在x0及其左右近旁有定义；

②f(x)在x0的极限存在；

③f(x)在x0的极限值与函数连续的条件值f(x0)相等

扩展资料函数连续的条件y=f（x）当洎变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小

连续函数连续的条件在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知一个函数连续的条件在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

参考资料：百度百科-连续函数连续的条件

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在这点函数连续的条件可导是连續的充分条件,不是必要条件,例如绝对值函数连续的条件f(x)=|x|在x=0处连续但不可导
1、连续性定义：若函数连续的条件f(x)在x0有定义,且极限与函数连续的條件值相等,则函数连续的条件在x0连续
2、充分条件：若函数连续的条件f(x)在x0可导或可微（或者更强的条件）,则函数连续的条件在x0连续
3、必要条件：若函数连续的条件f(x)在x0无定义、或无极限、或极限不等于函数连续的条件值,则在x0不连续
4、观察图像（这个不严谨,只适用直观判断）
5、记住一些基本初等函数连续的条件的性质,大部分初等函数连续的条件在定义域内都是连续的
6、连续函数连续的条件的性质：连续函数连续的條件的加减乘,复合函数连续的条件等都是连续的