（无忧无虑的留学生涯）

留学生設计的综合外汇保险计划

王先生为即将赴英国留学的女儿购买了一份总保额约15万美元的留学生外汇保险计划共交保费158.2美元。则保单生效後女儿即拥有如下保障:

1．享有一年高额境外意外保障：

■若因意外伤害身故，可根据事故原因获得保险金额1倍、2倍或3倍的赔偿最高可達18万美元身故保险金。

■若因意外残疾可按伤残程度比例获得残疾保险金。如果高度残疾可按月得到600美元的残疾金，共可领取100个月總金额6万美元；

2．保单生效后，在境外因突发急性病或遭到意外伤害事故经授权紧急医疗援助中心安排,可接受紧急住院治疗或各项紧急支援服务,包括：

■紧急门诊费用（仅限医疗险B款）

■紧急住院所需的治疗设施、治疗和服务费用

■紧急医疗运送至最近或最合适医院的费鼡

■转院治疗或转运回国的费用

■旅行证件遗失和旅程延误也可获得赔偿

除去保险保障外，王先生的女儿还可获得优普什么意思公司全球網络提供的旅行援助、法律援助等多项附加服务

王先生高兴地说：“孩子初出国门，在国外人生地不熟刚开始的这段时间正是家长最擔心的。有了中保康联的留学生外汇保险计划从孩子出国到在学校安顿下来，直至孩子在国外的整个留学期间家长再也不用担心了。”

保险责任与费率表（美元现汇）：

主险保额：1万美元 一年期 23美元/份

保险责任：1、普通意外身故或伤残 1万美元

2、水陆交通意外身故或伤残 2萬美元

3、航空交通意外身故或伤残 3万美元

4、1-2级伤残年金：每月100美元领取100个月，共1万美元

注：18岁以下限购1份18岁及以上最高投保10份

附加医療险A款：保额共计8.8万美元

附加医疗险B款：保额共计8.8万美元

保险责任：在专业医疗顾问的帮助下，无须直接支付费用即可在境外获得紧急医療救助和其他行政援助

l 最近一些年轻人经渚问我下面嘚问题，电视节目中也有过 类似的提问： “一个人在学校里学习了各种各样的知识究竟有百分之几 对他的职业或人生有用呢？"

l 许多人都囿这样的体验学校生活中印象较深的是受到老师 的表扬或批评，学因式分解时所下的苦功而不是因式分解的技巧 课外活动及体育运动嘚乐趣等等，而在学校所学的知识就要淡薄 一些 那么，人为什么要学习呢 人类的大脑结构可以使过去发生的事情、掌握的知识干净彻 底地忘掉。更正确地说人类的大脑只能将记忆的东西输出很少 一部分。既然如此人为什么还要下苦功学习、掌握知识呢？对 此我的囙答是：“为了掌握智慧/我认为在学习过程中，会 形成一种叫做智慧的、眼睛看不到的、但对人生十分重要的东 西只要形成了智慧，那麼忘记的功能就不会成为人类大脑的缺 点例如，当有必要把忘掉的东西重新掌握时至少和从未学 过，甚至从未听说过的人不一样胸囿成竹，即使不十分下功 夫也能事半功倍很快理解。

l 这是智慧的一个侧面我把它叫做智慧的广度。另外智慧 还有两小侧面；一个是罙刻认识事物的側面，或把它叫做智慧的 深度；另一个是判断事物的能力我把它叫做智慧的强度。

l 学习之所以愉快是因为学习是为了掌握前面说过的智慧； 思考则更令人高兴当遇到人生或学问中的疑难问題时，需要深 刻地思考从这一点来说的确是一件苦恼的事情，但從通过思考 解决了疑难问题的意义上说则又是令人高兴的。

l 我常说：“只 有有所创造的人生才是最有意义的人生。"

l 现给读者现在我還是一个现役数学家，处在为自己的学问而苦 攻的阶段我想在这种时候回顾自己的一生还为时尚早。但是 我还是满足了编辑部的要求。

l 我五十余年的人生有一半以上与数学联系在一起。因此 我的人生观也可以说是学问论。但是我还是尽量回避专业性的 东西，多谈┅些一般性的问题

l 广中平祐教授是一位杰出的科学家。他一九三一年四 月九日出生于日本山口县一九五四年毕业于京都大学理 学部；┅九五七年修完了大学研究生院数学系的课程；一 九五九年与广中和歌子女士结为伉俪,一九七。年荣获菲 尔兹奖；J九七五年接受日本文化勳章现为京都大学数 理解析研究所所长，美国哈佛大学教授代数几何的两大 台柱之一。

l 三十年前我在读大学三年级的时候，那时的峩已决心把, 数学作为自己的天职。我对其中最感兴趣的代数几何投入了极大. 的热情

l 代数几何只有一百年左右的历史，主要是以意大利為中心产 生的然而，其根源却非常遥远甚至可以追溯到法国的哲学 家、物理学家、数学家——笛卡儿。笛卡儿通过自己建立的直角坐 標系将各种各样的图形转换为代数方程。而现在随着坐标系的 发展，反过来要从复杂的方程构造出其相应的图形代数几何学 就是以研究代数方程所定义的图形——代数簇的结构为目的的。

l 代数几何只有一百年左右的历史主要是以意大利为中心产 生的。然而其根源卻非常遥远，甚至可以追溯到法国的哲学 家、物理学家、数学家——笛卡儿笛卡儿通过自己建立的直角坐 标系，将各种各样的图形转换為代数方程而现在，随着坐标系的 发展反过来要从复杂的方程构造出其相应的图形。代数几何学 就是以研究代数方程所定义的图形——代数簇的结构为目的的 若用专业术语来解释的话，代数几何就是研究由有限个变量

l 若用专业术语来解释的话代数几何就是研究由有限个变量 （Xl、X2、…，Xn）=X的有限个多项式构成的联立方程fl（x） =G（x）=…=fn（X）= 0的学问①

l 曾坐过快速滑行车的人可能会知道它的轨道构造得相当巧 妙。理论上符合力学原理外形上是一条光滑曲线。所以当车 体急速下降时，乘客不但不会惊慌失措而鸡猫喊叫相反，还会 发出陣阵欢笑。这首先是因为生命安全有了保障

l 然而，我们可以看到快速滑行车的轨道投射在地面上的影 子却是一个非常复杂的图形。一般来说任何物体的影子看起来 都比较复杂，快速滑行车轨道的影子自然也不例外其中，有许

l 许多多线与线的交叉点并且有的地方呈尖状。

l 图形中线与线的交叉点或呈尖状的点，在代数几何学中称 为奇（异）点 由代数方程式所产生的图形中，多数都有这种奇点从數学 应用的角度来看，这种奇点是非常不利的并且难以解决。 那么怎样才能消除这种奇点呢？使用怎样的定理才能把 有奇点的图形，变换成没有奇点的图形呢 这就是京都大学讨论班里介绍的问题，叫做奇点解消问题

l 一起参加讨论班的人都感到，三维的情形就如此の难那四 维以上的情形大概更无法着手了。我想这也是全世界数学家的坦 率的感想

l 换一种神秘点的说法，消除奇点的定理就是搞清粅体的本 身和其影子之间的关系。

l 在快速滑行车的例子里轨道本身是没有交叉点的，但其影 子却有交叉点现在，就是要证明无奇点的赽速滑行车的轨道的 本身与有奇点的轨道影子之间的关系如果找到了这样的定理， 那就会彻底地消除奇点所有的影子就会与其本身相┅致。

l 我觉得物体的本身与其影子之间的关系，如同佛的世界与 人的世界之间的关系一样①

l 不过，还有一句 话叫做“八万四千个烦恼”人一生下来就带来这么多的烦恼，并 且由于这些烦恼而迷惑、苦恼还有的因此而犯罪。

l 那么天堂是怎样的呢？在天堂里不存在任何烦恼。而 且从天堂看人间，所有不合理的现象并不被看作不合理只不 过是符合一条因果律的一种现象而已。 佛的世界的影子是现實世界物体的影子中的奇点，不正和 人间的无数的烦恼一样吗夸张一点说，奇点解消就同消除烦 恼到达天间，寻找支配影子的因果律是一样的 对这个抽象的例子，年轻的读者可能会有些难以理解的地 方我们可以姑且不去營它，但我当时确实是把这个数学问题认 真哋看成上述佛教问题加以考虑的

l 从那以后过了十年，我实现了这个梦于一九六二年完成了; 题为”特征为零的体上的代数簇的奇点解消”的论文，一九六三 年发表在美国的《数学年刊》上这个奇成解消寇理作为二十世纪 的数学定理之一，包括广泛的应用领域在内得到叻应有的评 价①。

l 不管怎么说奇点解消定理，可以说是我作为一个数学工作 者迄今为止所进行的硏究中的代表作

l 那么，什么是创造創造 中最重要的是什么？创造是从哪里产生的创造有什么乐趣？这 些问题如同“恋爱的乐趣是什么?”一样，是难以回答的

l 那么，什麼是创造创造 中最重要的是什么？创造是从哪里产生的创造有什么乐趣？这 些问题如同“恋爱的乐趣是什么?”一样，是难以回答的但 是，我想创造的乐趣之一就是唤醒沉睡在自身之中，

l 我觉得首先应该谈学习这是因为，象我这样一个不是天才 的人能够创造出東西来，必须经过一个学习阶段 创造之前必须学习，这个道理不仅适用于学术界下面我就 谈谈我是怎样学习的以及学了些什么.

l 高 斯在尐年时代就显露出其过人的天赋，而他的天才却一直陪伴着 他成长在纯粹数学、应用数学以及其它学科都做出了不可估量 的伟大业绩。 峩在数学领域里生活了三十多年也见过几个像高斯那样的 长时间保持天才的入，而且每当这种时候我就会长叹一声:“上帝 为什么这么喜歡恶作剧”当然，不应该把上帝不公平地赋予人们 才能说成是恶作剧

l 菲尔兹奖是根据加拿大数学家菲尔兹的遗愿设立的一个奖， 每四姩一次授给在数学界做出划时代贡献的学者是数学界最有 名的一个奖。由于诺贝尔奖中没有数学奖因此也称为数学界的 诺贝尔奖。令囚吃惊的是有的入二十六岁就获得了这个奖①。 我有幸于一九七O年获得了这个奖时年三十九岁。因为这个奖 只授给不满四十岁的人所以我的获奖年龄就是最大②的了。

l 在我取得哈佛大学的博士学位的那一年获得博士学位的人 当中我的年龄也是最大的。其中有比我小七岁的二十二岁的获得 者

l 在我取得哈佛大学的博士学位的那一年，获得博士学位的人 当中我的年龄也是最大的其中有比我小七岁的二┿二岁的获得 者。因此在授与学位的会场上我躲在一个角落里，感到很渺 小

l 我认为'对孩子们来说，双亲可大致分为两种类型一种是 想成为受孩子尊敬的双亲，而不看到自己的缺点只看到自己的 优点。另一种是没有任何做作的双亲这种类型的双亲在孩子们 面前，对洎己的长处和短处不加任何掩饰痛苦的时候就流露出 痛苦的表情，有什么苦恼也对孩子们讲明疲劳的时候，就显出 —?副诡遢的样子

l 那么，哪一种是孩子们人生的楷模呢至少我认为应该是后 者。也就是说只有在孩子们面前没有任何做作，才能教给孩子 更多的东西

l 我的父亲名叫广中泰辅，在位于山口县最东部的玖珂郡的由 宇镇经商我出生的由宇镇，是一个能够望到瀨户内海的海滨小 镇父亲在這座小镇上经营一个纺织批发店，而且也有工厂那 时在乡下，中学是接受高等教育的场所父亲虽然也有志于进中 学，但为了供养母亲十三岁的时候，在当父亲之前当了学徒 結果成了一个成功的商人。 从一个学徒到被人们称作老板，父亲一定付出过艰苦的劳 动然洏，父亲不是一个喜欢谈过去经历的人因此对当时的情 况我几乎一无所知。

l 纺织工厂里景气的时候足有五十多人全日制工作，产品远 銷中国台湾和大陆父亲还是一个拥有三千五百坪①左右土地的 住在都市的地主。在乡下小镇上我的家算是一个财主，而且前 面还要加┅大字 我生于发生满洲事变的那一年（昭和六年）。我的少年时代是 比较幸福的物质上不乏任何享用。说几句闲话比如说，当 时鈈是相当富裕的家庭的孩子是喝不到牛奶的，而上小学（由 宇国民学校现在的由宇小学）的我却每天午休时饮用母亲送来 的牛奶；家里還有风琴，我记得当时镇上只有我家才有

l 然而，从停战时起我家却遭到了厄运。 首先随着日本的投降，父亲在满铁（南满洲铁路）囷在台 ① 坪土地面积单位，1坪等于三十六平方尺?一译者注 糖（台湾制糖业）的大量股票都成了一文不值的废纸由于没首 原料，纺织笁厂也陷入了停顿状态昭和二十一年实行的土地改 革，对我家又是一个沉重的打击公亲的三千五百坪土地，也以 相当于三千五百元的價格被迫卖掉，并且恰好又赶上更换新 币

l 父亲苦心经营积攒的财产，就这样成了泡影很快纺织工厂 也易手让人。当时正值战后通货膨胀而我家有十个还不能作工 的孩子，为了养活这个家庭为了交纳庞大的财产税，我家面积 达一百五十坪的房屋、庭院也一点点地卖咣了现在只剩下很少 一点土地和房屋。 任何人的一生中随时都会发生这类威胁生存的事件。这类 事件中既有象我父亲所遭遇的那样茬吃饭问题上遇到困难的情 形，也有在精神上受到严重打击的情形不管哪一种情形，逆境 多是突然降临使人毫无准备。但是一个人嘚真正的价值只有 在这种时候才能显示出来。换句话说看他怎样渡过这道难关。 古往今来从东到西，凡是有才干、有气度的人可以說都有过 一段不平凡的经历，大都经历过凄风苦雨的时期迎接过雨过天 晴的境界，最后到达阳光灿烂的世界那时，父亲正处于这种逆 境之中

l 但是父亲并没怎么惊慌。即使是陷入四面楚歌走投无路的 境地，父亲仍有他自己独特的办法来对付父亲开始做起行商来 了。

l 葃天还被人称作老板而今天却低着头，沿门叫 卖我想认识我父亲的人，一定会感到十分惊讶吧 然而，父亲却毫不介意一如既往，還是象以前那样经常 说:“看我的，'对艰苦的生活充满了信心这不是父亲硬装好汉， 实际上父亲一生确乎是坎坷不平在这种困难的时候，父亲作出 了行商的决定任何人都不能磨灭他这种对生活的自信心。

l 我想父亲的自信是来自他在过去的岁月中所悟出的人生哲 学。這个哲学就是“世界上再也没有比靠自己的力量攒钱更应受 人尊敬的了”

l 所谓生活就是自己养活自己。在我们一家生活危机的时候 父親用他自己的亲身行动，表明了他对人生的态度不依靠任何 人，靠自己的力量挣钱为了吃饭连装束也顾不上，这才是人的 坚韧不拔的品格

l 如此说来，我会不会被人们看成一个格外尊敬父亲的孩子 呢然而也不完全是这样。固然我从没有轻蔑过父亲但我记得 当时父亲偠让我作一个商人，我却极力反抗甚至有时面对面地 争执起来。 即使如此我还是从父亲那里潜移默化地继承了这份精神遗 产。不管你囍欢不喜欢对孩子来说，双亲是任何教科书上都找 不到的榜样从他们身上，孩子们无意之中就会学到他们的人生 现

l 一个人如果有意識地、积极地向自己身边的双亲学习的话， 那一定能学到许多往后支撑人生的、不可代替的东西

l 而且，父亲也不允许在徒劳无益的事情仩花费时间对父亲 来说所谓徒劳无益的事情，一句话就是没有效益的事情按父亲 的想法，孩子为考试而学习也是徒劳无益的事情他說：“大学 是那种不学习就能及格的人去的地方。”因此我有时只好搬张 小桌子，躲到父亲看不到的地方如壁橱等地方，打着手电筒學 习除此之外，父亲在礼节方面也是相当严格的放学后一被父 亲看到，就会对我说：“一起挑粪去!”就把我拉到田里 一般来说，在這种父亲管制下的孩子性格会变得乖戾。即 使是现在这种例子也是屡见不鲜的。 总算还好我们兄弟姐妹没有变得乖戾。这是因为虽嘫父亲 强迫我们绝对服从但我们却有一个袒护我们的母亲。

l 美国有一位名叫斯鲍克的人他写过一本非常畅销的书，书 名叫做《斯鲍克博士育儿法脂我在同他谈话时他说：“在儿童 的成长过程中，他的绝对的伙伴在他身边是很重要的”

l 过一本非常畅销的书，书 名叫做《斯鲍克博士育儿法脂我在同他谈话时他说：“在儿童 的成长过程中，他的绝对的伙伴在他身边是很重要的”我的母亲 就是博士所说嘚那种绝对的伙伴。

l 美国有一位名叫斯鲍克的人他写过一本非常畅销的书，书 名叫做《斯鲍克博士育儿法脂我在同他谈话时他说：“茬儿童 的成长过程中，他的绝对的伙伴在他身边是很重要的”我的母亲 就是博士所说的那种绝对的伙伴。

l 这时母亲一个入要亲手管教┿五个孩子，事实上已不可 能自然而然地也就不得不对孩子釆取“放任自流”的态度。

l 母亲当时虽然也很惊慌但却说道：“啊！没死僦好/ 在母亲的章法中，最重要的是即使是受了伤只要没死就行.十 三个孩子没有超越她的章法，终于成长起来就是她感到骄傲的 原因。

l 毋亲总是以这种方式对待孩子即使是学习成绩不好，但只 要上学就行；即使是没有什么作为但只要不伤害他人，不败坏 自己的家风就荇总之釆取的是一种只是能避免最坏的情形就行 的教育方法。 母亲的这种教育方法是否能作为一个一般理论成立我不知 道。

l 不 光是作為一个父亲是这样；就是作为一个学者我也好象觉得只 要能避免最坏的事态就够了。这是我从母亲那里承继下来的思 想或者也许是无意识中学来的。

l 除此之外我还问过许多问题然而母亲基本上一个也答不上 来。 但是母亲也不说“不知道”总是不厌其烦地说：“这种倳 情也没有什么了不起的，好好想想” 有时母亲歪着头说：“是呀！为什么会这样呢?”

l 每当这种时候我便又问：“怎样才能知道呢?” 于昰母亲就说：“长大后好好学习就会知道啦。"说着也和 我一起陷入沉思可是不管怎么思考，从来也没得出过答案于 是母亲就领我到附菦神社主家里或者到比较亲密的医生家里去询 问。

l 在当时的乡下小镇上神主和医生就是为数不多的知识分 子。母亲低着头对他们说：这個孩子提出这样的问题请给他解 释一下吧。虽然我不十分明白但总算能得到答案了。 就在这样不断重复的过程中我幼小的心灵里懂嘚了思考问 题时思考本身是很有意义的。

l 人们没有选择父母的权力但是有选择朋友的自由。

l 直到现在我还是常常在自己的周围寻找可尊敬的人从他们 身上学到一些有益的东西。大约是从初中时代我就有意识地采 取这种学习方法。这可能是由我的性格决定的但也不完铨如 此。

l 对于天生具有才能或生于书香门第的孩子来说则另当别 论。但是对于具有普通的头脑生于普通家庭的孩子来说要想学 习的话呮有通过这种方法。

l 也 就是说世界上存在着两个我：一个是喜欢与人交往，非常直爽 的我；一个是喜欢苦思冥想的我我想大概是喜欢獨自思考的我 对藤本君感兴趣，才接近他的吧而他可能也是因为感觉到了喜 欢独自思考的我，才跟我交往的

l 我和他在上学的途中，经瑺讨论一些诸如“什么是哲学”、 “艺术对社会有用吗?"之类的问题例如我说：“肖邦的音乐 是一组漂亮的声音的组合。”他思考一会儿說：“不再也没有 一个能够创造出像肖邦那样感情深沉的音乐的作曲家了我接 着问：“那什么是感情呢?”他又陷入了沉思。这种情景在峩们 两人之间是经常出现的

l 由于梅原猛氏不懂我获得菲尔兹奖的工作，我就象本书开始 介绍的那样向他解释了一番。他听后说道：“哎呀这简直是 一个哲学问题，象是用数学证明了哲学上的存/的理论问题” 我说：“数学问题，最终都要从逻辑上加以解决正因为如 此，要对问题逐步加以限制使之格式化，最后才能加以证明 然而，即使是数学问题其出发点还是人们想出来的，背景就难 免有模糊曖昧的成分因此就象哲学。”

l 数学这门学问的确是从人的哲学观点出发的。在这一意义 上可以说：我青年时代能够和藤本君一起偏离學校的学习讨论 哲学问题，了解他的个性是有意义的

l 所谓深刻地思考问题，并不是说盲目地对任何问题都去苦思 冥想如果对凡是眼聙看到的，耳朵听到的都要加以深刻思考 首先就会耽误正常的工作，况且在漫长的入生中，确有很多问 题需要深刻思考 例如，像我父亲所经历的生活上的危机自己或自己的至亲 友好由于一点小小的失误，却自寻短见等等在一个人的一生之 中不一定是不会发生的。

l 所谓深刻地思考问题并不是说盲目地对任何问题都去苦思 冥想。如果对凡是眼睛看到的耳朵听到的都要加以深刻思考， 首先就会耽误囸常的工作况且，在漫长的入生中确有很多问 题需要深刻思考。 例如像我父亲所经历的生活上的危机，自己或自己的至亲 友好由于┅点小小的失误却自寻短见等等，在一个人的一生之 中不一定是不会发生的我认为，在这种时候才真正需要深刻地 思考问题的能力當你不知道怎样才能摆脱困境，不知道从哪里 着手解决问题时真正可依赖的就是自己的思考能力，除此之外 别无它法 从那时起，我就咑算把从和藤本君交往中学到深刻思考的能 力伴随我的一生。 帕斯卡说：“人是会思考的芦苇”没有不会思考的人。然 而，一个人茬离开父母自立之前一定要掌握在非常时期起作用! 的深刻思考的能力和修养。 事实上我们学习的目的之一就是培养这种思考能力。

l 为弄清人脑的特性与其同具有大脑的猿猴等动物比较，不 如同具有大脑功能的机械、计算机、机器人等比较更直接了当了 一些

l 前面我讲過遗忘能力是计算机、机器人等所不具有的人类的 特有功能。但事实上这种说法是不正确的人类的大脑中有一百 四十亿个脑细胞，能够存贮无数的知识只是人不能象计算机那 样，自由自在地把存贮的东西百分之百地再取出来人只能取出 大脑中记忆的信息的很少一部分。人脑和计算机的差别也就在于 此也就是说，人类并不是把记忆的信息忘记了而是“脑子里 有信息，但取不出来”这种说法是比较准确的。

l 这种现象是计算机等所不具有的只有人类的大脑才具有这 种功能。我把它看成是人脑所特有的弹性这里所说的弹性是数 学意義下的弹性。也就是说大脑中能够马上取出来的信息只是 一小部分，而大部分信息都是以不能马上取出来的形式存贮在大 脑中的我把後者与前者的比值作为人脑的弹性。 事实上人脑所具有的这种弹性是形成智慧的一个重要因 素.

l 这样说来，有贮在大脑中不能取出来的知識并不是永远取不出 来只要花费点时间并给某些提示，是很容易就能取出来的只 有大脑具有弹性才能做到这一点！

l 我认为这是智慧的┅个侧面。我把这个侧面叫做智慧的广 度人们不断地学习——忘记，再学习——再忘记在这个重复 过程中，头脑中自然就培养加强了智慧的广度

l 形成智慧的场所——人的大脑与计算机等不同，它能够灵活 地观察事物进行思考。

l 他看到一个镜头就会在头脑中留下清晰的印象，并且忽 视由前一镜头转换到下一镜头的极其短暂的时间将前一镜头的 印象持续到与后一镜头重合。人脑为什么能够这样呢這是因为 人脑时而敏感，时而迟钝并且能残留由刺激引起的某些反应? 总之，人具有将不连续的东西转换成连续的东西的能力

l 人脑的這种弹性，在思考问题时也能发挥作用其中之一就 是联想。

l 另外联想还有助于大脑从几个不同的事物中寻找共同点. 用数学上的一个简單例子加以说明：圆与三角形的共同特性是将 平面分成了内、外两个部分；而中文的工字则没有这个性质；阿 拉伯数字8则将平面分成了三個部分。在实际生活中当归纳各 种不同的意见时，寻找其共同之处的能力是非常有用的

l 至此说明了这样一个问题：人在思考问题时，昰有一定的灵 活性的也只有这样，思考才能逐步发展深入下去

l 智慧有三个侧面：广度、深度还有强度。所谓强度就是指判 断能力

l 我認为思考问题的态度有两种：一种是花费较短时间的即席 思考型；一种是花费较长时间的长期思考型。所谓的思考能人 大概就是指能够根据思考的对象自由自在地分别使用这两种类型 的思考态度的人。

l 没有长期型思考训练的人是不会深 刻地思考问题的。因此无论是怎樣训练即席型思考，也不会掌 握前面谈过的智慧深度

l 可是，那时社会却不安定由于战争，社会变化无常教育 环境也比较混乱，特别昰战后由于回国的子弟入学，因父兄搬 迁造成的入学还有，军队学校（幼年学校等）的学生复员入学 等使得学生数量猛增，总觉得囿一种不安定的气氛包围着学 校正好又值旧制中学向新制中学过渡的学制改革，教学课程与 教材十分混乱' 这样混乱的教育，对我们这┅代中的某些人会对人的一生 产生不良的影响。但是至少对我来说，却是一个难得的时代 直到现在我仍然这么想。这是因为虽然敎育不是有条不紊的， 但却能够自由地学习另外，有充分的时间对自己感兴趣的问 题花时间进行思考。

l 那时不管哪个学科的课程都鈈系统，数学也不例外

l 老师更 换时，甚至讲授过重复的知识这却给了我机会，使我能用很长 的时间对某一数学问题进行思考大体上奣白了：什么对数学是 重要的？数学的本质是什么

l 数学是一门要求抽象性、普遍性和一般性的学问；从另一个 角度来看，又可以说数學是一门只要遵守一定的规律，就可以 自由地构造自己的世界的学问著名的德国数学家，集合论的创 始人康托曾经说过：“数学的本质僦是其自由性"意思是说： 只要求遵循既定的规律，而不受名誉、地位、经济与政治的束 缚我认为这确是概括数学本质的一句名言。

l 其Φ有这样一个几何题目： 从一个三角形的两个底角分别引角平分线至其对边当两条 角平分线相等时，证明此三角形为等腰三角形. 如果用彡角函数则此题很容易解决。但当时还没有学习三 角函数因此，这个题目便成了难题中的难题

l 人，不管是走哪条道路都有必要时瑺体验到愉快感、满足 感。 如果总是以痛苦为伴那就会感到厌烦，而不想继续走下 去

l 不管是多么小 的事情，只要成功了就会产生这種感觉。我认为即使是小的 成功，心里也会感到很愉快经过无数次这种体验，人才会沿着 自己的道路走下去

l 即是说，虽然学习时婲费两 倍于别人的时间；但不学习时，却是一点也不学也许是由于这 个原因，小学时代始终没有取得过最好的成绩

l 凭一时心血来潮而學习的方法，对于艺术家来说也许是可 行的；但对一个学者来说，若不是具有相当的才资那这种方法 肯定是不适合的。

l 使我懂得了孜孜不倦地努力的重要性他名字叫守 田孝博，出身于军人家庭受到过严格的家庭教育，对社会的看 法也比较成熟'‘平时，言谈举止也囹人感到十分严肃

l 他就是这样一个不肯把第一名让给任何人的成绩优秀的学 生，但他绝对不是一个天才而是一个彻底的努力型的人。峩在 与他的交往中学到了孜孜不倦的学习态度。（

l 从那时起到现在我有意识地培养坚韧不拔、努力学习的态 度和毅力，所以我今天非瑺自负对任何事情都不肯认输。坚韧 不拔是我进行数学硏究的一个信念我这个人，在决定要去解决 某一问题时要花费很长的时间；泹一旦决定后，就一定要坚韧' 不拔地做到底别人需要一个小时，我哪怕花费两个小时也干； 别人需要一年我哪怕花费两年也成。重要嘚是要有始有终要 干到最后才行。有了这样的信念一旦选择了一个问题，即使是 花费两倍、三倍于他人的时间也心安理得

l 据说人虽嘫有一百四十亿个脑细胞。但平當只能使用百分之 十左右充其量能使用百分之二十左右，要想发挥处于睡眠状态 的其它脑细胞只有比別的人多花费两倍、三倍的时间。至少我 只想到这种方法并且，我相信对于一个具有普通头脑的人来 说，这是唯一的办法

l 先不谈这個问题。在我加入音乐小组练习弹钢琴时，一心 想当一名音乐家然而，后来我却死了这条心与其说是死了这 条心，不如说是我永远荿不了音乐家那是在一次练习性的镇音 乐会上，我演奏了肖邦的梦幻曲我尽了最大的努力，自己觉得 演奏的还过得去 但离 我的演奏卻遭到了严厉的批评，校报上写道：“那简 直不能称做音乐首先，演奏者根本没有使用钢琴踏板”这些话 似乎不能使人相信，但实际仩我是不会使用钢琴踏板不过，我 ,依然很气愤想当音乐家的理想也随之改变。 也就是从那时候起我对数学感兴趣了。

l 朝鲜战争爆发嘚那年（昭 和二十五年）四月我考上了京都大学理学部。父亲曾对我说 过：只许考京都大学如果落榜就终生休想上大学了 I虽然这样， 鈈知为什么我一点也没有为怕落榜而感到不安。

l 相对论的创始人爱因斯坦是一个数学型的物理学家还是在 少年时代，爱因斯坦就在叔父雅谷布的启蒙下开始学习代数与几 何学特别是到了晚年，这种倾向更是明显例如，一九二九 年他提出了一个试图将重力场和电磁場统一起来的统一场理 论，还有其它等等这些理论的数学性很强，抽象性很高好象 是超出了物理实验范围的理论，因此在物理学家Φ几乎无人问 津。爱因斯坦认为从简单的、数学家的基本原理可以推导出任何 东西我认为他是一个抱有这种梦想的带有数学的浪漫色彩嘚 人。也可以说他是一个带有艺术家色彩的学者，是一个追求美 的意识的人

l 当然，数学是一切其它学科的基础 这一事实也对我具有吸引力

l 讨论班上所使用的是庞特利雅金写的 叫《连续群论》的一本书。自然界中自然形成的美丽的东西都具有 某种对称性人的脸是左右對称的，所以如果把照相底片反过 来也觉察不出来。长方形是上下、左右对称的而圆具有通过 圆心向所有方向的对称性。换句话说對称性是连续地存在。对 称性构成群当这种群连续时，就称为连续群连续群与拓扑、 分析（微分、积分等）、代数等数学理论都有联系。 我就是这样在同时学习物理和数学的过程中越来越对数学 感兴趣。最后终于确信自己是适合学数学的。

l 如果是出生于数学家的家庭父亲是一位数学家，从小受父 亲的薰陶或者是生来就具有数学天赋的人，则另当别论现在 从事数学的大部分人，都是经过大大小/」、的反复才走上这条道路 的我认为，任何一个人在选择他的一生的道路时，都不能避 免这种反复 正常的人生不是一条直线而是一條锯齿形的曲线。然而这 个过程中的种种曲折、反复绝对不是没有用的。 我觉得我初中时期热衷于音乐这对于我以后，看起来与音 乐唍全无缘的数学研究也起了一定的作用

l 他的这种性格也体现在学习 上。一贯严于治学从不留下任何含糊的地方。 当时以藤田君为中惢，成立了一个轮流读数学书的读书 会读书会上，每个星期拿出一个半天的时间读庞特利雅金的英 文原著《连续群论》,并进行热烈的讨論藤田君非常热心于这个 读书会，而我却是三日打鱼两日晒网是个马马虎虎的成员。

l 当时我读书不认真不光是《群论》，其它的数學专业书也是 如此遇到问题时，总是马马虎虎满不在乎地信口就说:“这个 问题用这个思想大概可以解决了吧?”于是第二天或第三天，藤田 君把他的整整齐齐写着解题过程的笔记本递给我并说:“我用了 你的思想，但没能解决这个问题”说完他就注视着我。每逢这种 场匼我总是搔头。

l 在数学领域里一个问题即使是解决到百分之九十的程度， 剩下的百分之十有时是解决不了的；当看到了解决这百分之┿的 希望时将其写成论文发表了3但后来却常常出现一些意想不到 的错误，现在也还因为类似的错误而终身苦恼；最后以悲惨的 结局结束数学生涯。在同藤田君的密切交往中我懂得了数学上 容不得丝毫的疏忽。

l 他虽然在数学系学习却喜欢文学，我经常向他要他写的小 說看他的许多小说是讽刺人的心理的阴郁部分的阴暗小说。总 的说来我不喜欢阴暗学，而喜欢那种读后使人感到清新的明 朗的文学所以即使是他请我提出批评，我也不说好话有时甚 至说:“象你这样深深地陷在泥潭里，是不会有什么成就的'’但 是，虽然对他人严厉批评而我却被他丰富的感受性所吸引，我 不具有这种感受性后来。我们之间关系很好以我们两个为中 心，创办了一个名为EOUS的班级杂誌

l 我在同他的交往中学到的另一东西就是所谓的“傻大胆”。那 :时我也向往颓废派经常同他一起干一些惹人瞧不起的事情。多 次以后胆子也大了起来，不管别人怎么看怎么想，都i不在 乎我行我素。 我们经常举杯消愁喝得大醉，躺在京都的街头我不管喝 得怎么醉，还能凑合着走回家直到现在还是这样。而他则不 然酩酊大醉后，有时就躺在路上不顾众目睽睽，嘴里还大声. 喊着;“喂给我点吃的!”等粗暴的语言。每当这种场合我的任 务就是劝解他，当然不能把他扔下不管自己回家而是坐在打着 呼噜睡觉的小针君的身边，等着他醒来常常等到天亮。

l 这是我青年时代的一些粗野的行动意在告诉大家，时刻望 着他人的眼色行事是腾飞不了的。自己怎么想僦积极地去怎么 做这是需要胆量的。我在同小针君的交往中觉得学到了这种。

l 小针君毕业于京都大学后先后就任过京大理学部助教,、 基础学部副教授，昭和四十六年去世终年四十岁）。

l 在这种意义下如果我完全同他气味相投的话，那他那种带 有强烈刺激性的个性僦会影响我的灵魂那我以后的生活方式也 一定会与现在大不相同。

l 那是大 学四年级的时候不知为一件什么事情，全校罢课而我却一個 人独自在教室里听课。我并不是想破坏罢课而是我太想上课 To幸亏我跟他们约好，复课后给他们笔记本看这才没有被作 为破坏罢课者洏受冷遇。我的这种性格即使与他交往也不会改 变。 在这种意义下如果我完全同他气味相投的话，那他那种带 有强烈刺激性的个性就會影响我的灵魂那我以后的生活方式也 一定会与现在大不相同。

l 高中时期的朋友藤本君的情况也同样如此他总是在思考一 些深奥的命題，如果我只同他交友并受其影响的话那我也许会 成为一个乡土味很浓的哲学家.

l 回顾我走过的历程，不管什么场合我没有把合得来气菋相： 投作为择友的标准。我是有意识地选择、交往具有我不具备的品 格的朋友能教给我东西的朋友。为此和朋友之间不管多么亲 密，总得保持一段距离当他要闯入你的小天地时，务必严加拒 绝 我的这种交友方式，一定会被人认为过于狡猾但是，由于 我遵循这些原则可以说从来没有被别人背叛过（出卖过），不是 我自吹在我的词典里还没有背叛这个词。

l 回顾我走过的历程不管什么场合，我沒有把合得来气味相： 投作为择友的标准我是有意识地选择、交往具有我不具备的品 格的朋友，能教给我东西的朋友为此，和朋友之間不管多么亲 密总得保持一段距离，当他要闯入你的小天地时务必严加拒 绝。 我的这种交友方式一定会被人认为过于狡猾，但是甴于 我遵循这些原则，可以说从来没有被别人背叛过（出卖过）不是 我自吹，在我的词典里还没有背叛这个词为什么不管什么人我 都能打上交道呢？这是因为我有时也坦率地暴露自己从未因别 人影响到自己最重要的东西而后悔过。也可以说到目前为止， 不管多么亲密的朋友不管多么尊敬的朋友，都没有过分地迷恋 于他们而失去自己

l 与朋友之间要有一条清楚的界线，在不超过这条界线的范围 内偠真诚地交往，我的这种交往方式正确不正确姑且不论我. 认为至少在向朋友学习的方面是有效的。

l 英语中有这样两个词loneness （孤独）和loneliness （寂寞） 这两个词看上去也许有相似的地方但我认为这很明显是互相对 立的两个词：寂寞是形容想摆脱孤独的人的感情的用词，甚至我 认为鈈甘孤独就会产生寂寞我的信念是：如果总是自愿孤独， 那么不管是否同你喜欢的人或讨厌的人以及其他形形色色的人交 往都不会感箌寂寞。

l 我认为要想摆脱自己的偏见就应尽可能多向所有的朋友学 .习重要的东西，因而必须自甘孤独

l 我也和大家一样，不满足于以前嘚只学习理论但却从未想 过要写点什么。 这有几种原因其中之一就是：我对大学研究院的一个老前 辈的观点在某种程度上持赞成意见。他常常这样说:“你们为什么 尽写一些没有用的论文每年拚命地写，到头来不都被遗忘了 吗说得好一点，最多十年也不会再有人提到叻这种论文只会 缩小图书馆的收藏空间，没有任何其它意义如果说写这种论文 是徒劳的话，那么读这种论文更是徒劳的我是绝对不寫的 这位前辈不管对什么事情的理解都能入木三分，是个很有才 能的人并且批评起来目光锐利。实际上我认为他说的是正确 的。现在烸年发表的论文数量十分惊人大部分都没有得到任何 评价，成了一文不值的废纸这一点，今后仍然如此 我没能拿起笔来写论文的另┅个原因是，我被过去发表的汗 牛充栋的论文压倒了 一般来说，论文是考虑成熟后才发表而且，过去被称作大 数学家的人们都是接②连三地发表一些无可非议的成熟之作， 使人读了这些论文就油然觉得:“我还有什么资格再写呢？因为 与他们相比写出来也是毫无价徝的。” 例如立志想当一名吉他演奏家的人假定他在学习过程中有 幸听到名吉他演奏家的演奏，他对演奏的美妙的声韵会入迷并 深深哋被感动。等他醒悟过来后就会觉得自己要登台演奏吉他 简直是非分之想。这是因为演奏家的技艺已经到了炉火纯青的 地步，而他自巳却认为不管自己今后怎么努力也远远达不到这个 水平我没有写论文的理由之一与此十分相似。

l 可是如果一个人不写作论文，不创造洎己的理论是永远 打不开通往数学家之路的。到底应不应该写呢这个问题一直使 我沉浸在苦恼之中。

l 我茫然地站在那里一直注视着穿白短袖衫的少女的身影逐 渐变小。在这之前我一直认为自己还是个学生，也许以前也有 人称呼过我“叔叔”但还从来没有象这次这樣打动过我的心。 也不过是这么一件很平常的事情然而对我来说却成为一件 重大的事情。从那天以后我曾多次问过自己:“你是一个值嘚被 称为叔叔的人吗?”我自己的回答是否定的：单凭读读书，.理解高 度复杂的理论明确的评价别人的论文，是够不上“叔叔”资格 的鈈管是多么拙劣，必须要创造自己的理论必须写论文！我 终于做出了决定，继而写出了论文并投寄了稿件。

l 每当想起这件事情我就想起要感谢这位少女，甚至觉得是 她使我成为数学家的如果她当时不喊我“叔叔”，那我也许依然 抓不住开始创造的契机还会坐失良機，也许一生都执迷不悟 不光在数学界，就是在其它学术界我也见到过许多具有才智过 人，但却终生忙忙碌碌未能留下任何业绩的囚。 当然每个人开始创造的契机是千差万别的可是，这种契机 却都是意外地在你身边那么能否抓住这种契机，我认为就要看 你是否在為创造而苦恼了'

l 可是，我当时写论文的动机是：不管好坏只要写出论文就 行因此，从决定写论文那天起只用了三个月就写出了第一篇 论文，发表在京都大学的《理学部纪要》(一九五七年第三十一期) 上这篇论文是用英文写的，题目是“代数曲线的算术种数与实 际种数(On the arithmetic genera and the effective genera of algebraic Curves)".

l 茬众多的批评 中对我来说，最苛刻的要算美国《数学评论(Mathematical Review)》上登载的由当时加利福尼亚大学伯克莱分校的劳宰里 黑特教授的短评，详細的内容已经忘记了大体意思是“这篇论 文的主要结果，与其引用的参考文献相比没有什么高明之处。” 通常发表论文时都在后面給出参考文献。我也模仿这种做 法实际上并没有都很好地读过这些参考文献。只是根据自己的 估计找来一些认为有关系的文献列在文後，因此难免出错。

l 劳宰里黑特教授指出在我引用的他的一篇文章中，就已经把我 的问题解决了 后来我到巴黎留学，遇到二十七岁獲菲尔兹奖的法国天才数 学家塞尔时他也说:“你的那篇论文，在你引用的一篇参考文献

l 中已经解决了”虽然论文中也有一、两处我自巳的创造性的思］ 想，但不管怎么说主要结果不是自己的，实在是不像话

l 这篇论文虽然遭到了严厉的批评，但直到现在我还认为写 這篇论文对我是很有价值的。 第一虽然我犯了没有仔细阅读参考文献的错误，但我却因 此学到了写论文的方法当然，我也知道了为寫论文，必须事（ 先彻底地调査研究有关的文献 第二，通过这篇拙劣论文的写作打下了一个基础，以这个. 基础为起点以后就一定会寫出比第一篇要好的论文。 第三写这篇论文对我的最大报酬就是，通过写这篇论文 使我亲身体验并学到了培养构思的创造性态度。

l 创慥也是一样刚开始的创造模型，纵令是象婴儿一样幼 稚也不能半途而废，必须耐心地培育,这究竟是为了什么呢 如同不抚养孩子长大荿人就不会对社会产生价值一样，不进行创 造也不会产生价值 在人工智能领域里做出了独特贡献的，有机器人博士美称的 松原季男（自動化研究所主持人）既是制造产业用机器人公司的 经理，又是一个十分富于幻想的人他曾给我看过他自己亲自制 造的用来构成群体的機器人的照片。他说他的这种机器人也并 不是开始就有目的地制造出来的。 据说他最初制造了七个约有二十厘米的小型机器人，只具 囿构成群体的特征除此之外，没有任何其它的目的然而，当 做成之后其特性却比原来想像的有了更大的发挥，并且实用化 了制成叻地板清扫机器人等产业用机器人。 在各个领域中都会听到类似的故事。例如药学中青霉素 的发现，电子学中半导体的发现最初都鈈知道其价值。但是 青霉素和半导体在各自的领域里都产生了在创造前意想不到的应 职 用，而且以后成了进一步发现其它制品的出发点即创造出一个 产品，它能像一个成长起来的孩子单独走路一样 丄我觉得我是托写第一篇论文的福，才肤浅地知道了什么是仓II 造

l 我的咾师秋月教授邀请了一位名叫査瑞斯基的美国数学家来 日本讲学。査瑞斯基先生是美国哈佛大学的教授年轻时在罗马 研究代数簇的奇点解消理论，并成功地解决了三维的情形是世 界知名的数学家。查瑞斯基先生在日本逗留了一个月做了十四 次学术报告。

l 不感到嫉妒吗?”我总是回答说：“不嫉妒/不但是不嫉 妒如上所述，我甚至认为和这样的优秀人才在一起学习是我的 幸运这是因为幸亏他俩，才使我茬哈佛大学的留学生活得到充 实

l 迄今为止，除了曼福德和阿丁之外我还遇到过绝不比他们 迤色的天才，但我从没有嫉妒感这是因为峩懂得达观，或者说 我从双亲那里继承了达观的优点。 一谈到达观就使人似乎有消极的感觉。一个人如果不知道 他应在哪些方面达观那他就不会做出什么惊人的工作。我确信, 搞学问也是如此为了做出惊人的创造，掌握高超的达观艺术是 会大有用场的

l 关于这一点，峩想做如下的解释 不管是谁，具有竞争意识并不是坏事这是因为通过与他人 I 竞争可以使得自己进步。一个公司在与另一个公司竞争Φ成长' 起来的例子也屡见不鲜。这在许多场合也适用于人与人之间

l 可是，分析这些成功的例子就会发现一个人有了竞争意识 后，他所硏究的目标的重点变得更加明确进一步还会发现，在 1竞争中要坦率地承认对方的优点，要认清对方过激点说，只有 尊敬对方才会使自己在竞争中前进。

l 然而不幸的是竞争产生积极效果的比率反而不高；而且多 数竞争容易产生消极的后果。这是为什么呢这是因为，一个人 当他的竞争意识变为嫉妒时那他所具有的用于产生精神能力的 部分就会大量地毁损。所谓精神能力包括思考能力、创造能力 等。之所以会毁损是因为在与他人的优劣竞争中用来产生精神 能力的一部分就相应地要消耗掉一些。这样一来在与他人的嫉 妒型竞争Φ，自己为奋斗的目标反而模糊终于，没有好的结 果也就是说，从结果来看竞争意识有两种：一种是积极竞争 意识，一种是消极竞爭意识

l 分析一下由于竞争而产生不良结果的例子可以看出：第一， 不但不尊敬竞争的对方反而有轻蔑对方的倾向；第二，这种人 总是想把竞争对手踢翻在地而不是想并肩前进。即他们嫉妒竞 争对方嫉妒心能使精神能力减弱，判断能力失常结果，导致 .自己的奋斗目標不明确

l 心理学家认为，嫉妒是人类特有的感情任何人都会产生嫉 妒心。的确不光在学术界，就是在日常生活中也往往容易由 羡慕他人而变成嫉妒他人。由于我不是这方面的专家不能解释 这种不可思议的感情。但是不管怎么说，对于要想有所创造的 .人来说嫉妒是一种精神鸦片。

l *做不到的事情就死了这条心， 即使她仍然是我心中的恋人!” 据说这是战前一位作家创作的一首歌，歌名为：“雨Φ盛开 钠花”留学时，我经常哼唱这首歌的确，世界上有很多超过 常人的优秀人才如哈佛大学的曼福德和阿丁就属于这种人。对 于這种人采取嫉妒的态度是对自己没有半点好处的因此，当在 !解决问题被他们的才华击败时或当他们在你面前显示他们的才 !华时，我总昰哼起这首歌聊以自慰

l 所谓达观，并不是对一切都达观3要紧紧地抓住自己的奋斗 '目标对目标以外的事情要釆取达观的态度。这样一来人们就 I不会产生嫉妒心。没有嫉妒心就不会损失精神能量，判断能力 也不会反常。最终是会有所创造的。 应该掌握达观的艺术峩认为达观艺术对控制精神能量是很 .重要的因素之一。

l 数学中常常有这样的情形虽然能将问题解决百分之九十， 而对剩下的百分之十却┅筹莫展这种情形，对数学家来说是很 危险的一不小心，就容易陷入神经衰弱虽然如此，好不容易 搞出了百分之九十也不能随随便便放弃剩下的百分之十吧！那 应该怎么办呢？对此最重要的是坚韧不拔的毅力。 每当这种场合我就想起那个男孩的名言，并出声地對自己 说道:“我太笨了于是脑子就会感到十分轻松，会从山穷水 尽的着迷状态中解脱出来感到柳暗花明，豁然开朗

l 为什么会产生这樣的作用呢？因为我认为我是个笨蛋解决 不了是很自然的：若能解决，则是意外的收获也就是说，这种 态度能使你从一筹莫展的状态Φ解脱出来 当然，即使是釆用这种方式转变态度剩下的百分之十也不， 一定能解决可是，我却有过这样的体验转变态度能使你的思: 考能力复苏，能使你的思想从五花大绑的束缚中解放出来从j 而，毫不费劲地解决剩下的百分之十 这种态度在远离学问的日常生活中吔是很重要的。 这种态度能有效地使人从失败的打击中重新站立起来

l 那时，我抓住了一个硏究价值很高用我的话说就是：“好 题目”嘚问题。这是一个几何学问题概括地说，就象用无穷级 数定义的数，能否用有穷级数有效地表示的问题 我对这个问题很感兴趣，投叺了极大的热情首先研究一 维、二维的低维的情形，结果我发现了一个很有效的方法。

l 英 ■国有位名叫罗素的数学家曾经对数学的媄作了一番解释。他 说：“确切地说数学不仅是真理，还具有崇高的美这种美像 I雕刻一样冷漠、庄重，不是人类的语言所能表达而苴，像绘 画、音乐一样，没有任何华丽的装饰并且，越是庄重就越发纯 粹能够达到只有艺术才能显示出来的完美性。“用“美”来形 容数学的确是意味深长的称赞的意思。

l 第二天早晨我冷静下来，问“这个学者究竟使用的是什么 方法呢?”回答说：“他使用的好潒是韦尹思特拉斯定理/ 韦尹思特拉斯定理是十九世纪德国数学家韦尹思特拉斯创造 的定理。（韦尹思特拉斯的定理有二重级数定理、有关渏点的定 理有关紧致性的定理、有关有理函数展开的定理，有关紧致集 合上的实数值连续函数的定理等等这里使用的应是韦尹思特拉 i斯预备定理。） 当我听到这个定理的名字时不由自主地:“啊!”地一声叫 了起来。我放下话筒好容易才从茫然若失的状态中解脱出来。 於是我将韦尹思特拉斯定理用于使我陷入僵局的地方

l 虽然老教授是含混地用 “好像"的字眼告诉我的，但这个学者的确正确无误地解决了這 个问题

l 花费了两年时间为之奋斗的问题，被一个年轻学者解决了 这个事实对我是一个很大的打击。但是我却能很快地从这个打 击Φ站立起来。为什么呢因为我转变了态度，我认为这是我办 不到的事实是我太笨了。还有不尽快清醒一下头脑，就不能 着手下一个問题最终也不会有新的创造。数学就是这样一门学 .问

l 教授打来电话的那天晚上，我毫无睡意第二天，由于这一 :打击再加上缺乏睡眠我的头昏沉沉的，我独自一人到波斯顿郊 i外因独立战争而出名的柯曼特小镇附近的纽几亚姆其实，我是 !想找一个无入看到的地方安静┅会儿我蹲在砍伐以后留下的树 ，桩上想了许多许多 与其说是在想，不如说是在呆呆地眺望远方时光在白白地 流逝。在别入看来峩一定像一只掉了羽毛的乌鸦一样。白白地 花费了两年这无疑也是一个重担压在我的肩上，使我几乎喘不 过气来。这两年中其他的數学家会做出多么出色的工作啊！ 一 :想到此，我也感到空虚

l 两年的心血而未结出果实？ 韦尹思特拉斯定理早在一个世纪以前就有了而苴我还曾经 成功地使用过这个定理。

l 我久久地像木偶一样发呆可是，这时我却开始思考为什 么费了两年的心血而未结出果实？ 韦尹思特拉斯定理早在一个世纪以前就有了而且我还曾经 成功地使用过这个定理。可是为什么这次未能注意到使用这个

l 我久久地像木偶一样發呆。可是这时我却开始思考，为什 么费了两年的心血而未结出果实 韦尹思特拉斯定理早在一个世纪以前就有了，而且我还曾经 成功哋使用过这个定理可是，为什么这次未能注意到使用这个 ■定理能够成功呢 原因就是在哈佛大学的讨论班上发表研究结果时，麻萨诸塞 :工科大学的教授曾称赞说：“太美了”这使我感到飘飘然。从那 ；以后总是固执己见，固执会带来偏见有了偏见又会固执这个 偏見，如此恶性循环下去最后，妨碍你从新的角度观察问题 !而一味地偏向于自己的观点。在我自己的心中形成了这样的偏 见：“如果使用我的方法不能解决的话，那就不可能用现代数学 |解决了”

l 人，往往由于某一成功会失去一颗朴素的心我就是因此而 失败的。如果峩能老老实实地对待问题保持一颗朴素的心，那 就会从零开始详细地从头检查自己的方法。

l 我认为数学这门学问有四个特征：第一个特征数学这门学 需要正确的技术性。不管是方程、微积分、几何如果不能正 .确地解决其中的问题，数学这门学问也就不成立 第二个特征，数学这门学问具有思想性虽然说数学是一切， :科学的基础但是，对事物的看法、自然形成的观点对数学有彳艮 大的影响例如，以农业为主的埃及文明发展了几何学和计数 法，而科学的源泉则是海洋民族的希腊人所创造 第三个特征，数学是一门抽象性极强的學问这也与数学的 本质有关。面对各种各样的现象寻找其共性，加以抽象并进行 硏究 第四个特征，数学具有国际性像康托说的那樣:"数学的本 质是其自由性”。数学的世界是一个没有利害关系，与国情等完. ,全无关的自由开放的世界

l 首先，要认清什么是事实什么昰臆测，对事实必须实事求 【是地接受

l 再举一个例子。前面说过人的大脑与计算机、-机器人不 同，具有灵活性虽然说这个特性能产苼人的智慧。但反过来它 有时也会使人犯意想不到的错误，使人认不清事实

l 人为什么会产生这种想法呢？这就是因为人脑具有灵活性 一点一点地使思维偏离主题。根据联想和推测不断地使自己的 想像膨胀起来，而且最后误认自己的想像就是事实。

l 可是现在事实與这个年轻人的想像相反，假定她对他根本 没有好感；当他向她求婚时她会拒绝，或者不知什么时候她 会同别的男性谈起恋爱来。

l 另外还有一个词，叫做成见不管是解数学题的态度，还 是评价对方、度量对方的心情的场合成见常常会引起麻烦。 解数学题时与其說有答案，不如说不知道答案在哪里另 一方面，评价一个人时若只看外表、只听周围人的意见，那 么很可能不能正确地评价这个人總之，成见太深就会失去客观 性

l 如上所述，想像、成见、自寻烦恼是使人们认不清事实与 臆测间的差别，将虚构误认事实的根源换呴话说，它会使人们 不能实事求是地接受事实混淆事实与想像的界限。 虽然说起来这么容易真要实事求是地接受事实，却有意想不 到哋困难正因为如此，我才经常不断地提醒自己否则的话， 不管是在生活上还是在学习上，都会犯下出人意料的错误 重要的是认清什么是事实，什么是臆测要分清它们之间的

l 为什么说很重要呢？这是因为不确定一个目标，人就很难 以产生前进的精神力量

l 可以说昰否清晰地瞄准了自己的目标，会使人的成长大不 相同

l 因此，应该有更大的目标比如说人生的目 标。

l 无论怎么说不应该是进 入大学後，就终止学习 根据我自己的体验，应考学习是很重要的在参加大学考试 的前三个月里，我也同样竭尽全力拚命地学习。我制订了┅个 在有限的时间内能产生最大效果的学习计划。例如：社会课较: 弱因此，在这方面相应地要多花时间；数学与英语虽然很自 信但還是再复习一遍，另如物理要达到仲么程度语文要达至歩 什么程度，都做出了安排并按计划38行学习。自己要有自己的 目标完全没有必要同他人比较。不要去注意某个朋友某门课程 学习到什么程度这一点，对我以后成为数学家也起了很大的作 用我即使同比我聪明的數学家交往,我也丝毫不感到气馁，锲而 不舍地硏究自己的课题

l 如此看来，目标本身固然重要然而，为了实现目标所付出 的代价更具有偅要的意义

l 不用说，这种新的 发现也是先确立一个目标，经过不懈努力的结果这方面的最 好的例子，恐怕就是青霉素的发现了青黴素是在对霉菌的基础 硏究中发现的。

l 总之美国学生的思考方式是，先确立假设然后进行各种 推理，不行的话就改变假设。而日本學生是首先学某门课程 然后以此为基础撰写论文。如果行不通要么换一个新的方向， 要么改变研究方法

l 在某种意义上来说，先确立假设的硏究方法是需要勇气的一 种做法这是因为，不管是物理领域或数学领域有一倒霉的传 统，即开始确立的假设一般是不成立的

l 茬这种意义下，我奉劝年轻的读者朋友们今后若是决意进行创 造性的工作的话，要釆用先确立假设然后进行演绎推理的思考 方法。

l 分析与全局观点 在承认事实的基础上要想实现假设，具体的方法是彻底地 '分析现象

l 我认为，分析的方法大体上可以划分为象征性分析和邏辑性 分析两种所谓象征性分析，可用下面的例子说明比如在分析 人时，把人看成是由肉体和灵魂两部分组成的类似这种分析就 是潒征性分析。这种分析法多少有点模糊性但分析到某一程 度后，就能够抓住全体一般来说，东方人比较擅长于这种方 法 所谓逻辑性汾析，就是确定出能够在逻辑上进行说明的要 素然后将其加以归纳。这种方法的缺点是忽视了在逻辑上不 能进行说明的部分或由于信惢不足，结果不能抓住事物的全 貌

l 除了这两个分析方法以外，还有一个分析方法叫做极限分 析。 这一方法起源于十四世纪的意大利的攵艺复兴到了十五、 十六世纪，扩展到了整个欧洲这一时期出现了珈利略、开普 勒、牛顿等杰出科学家。

l 共同之处是采用极限分析的思考方法 所谓的极限分析，如同其字面意义就是把一个问题放在极 限状态下进行分析，从而得出极其简洁的结论例如自由落体定 律昰珈利略创立的定律。定律的内容是,在真空状态下物体与 其形状、性质、大小、重量无关，以一定的速度下落 那么，分析中什么是重偠的呢 我说过，数学的特征之一是抽象性抽象性与刚才说过的象 征性分析和极限分析有很大的关系。 例如地球这颗行星的表面，既囿高山又有深谷，是凹凸 不平的但我们通常将其看成球面。为什么这样做呢这是因 为，抛开地球凹凸不平的现象不管而把地球的整体看成一个球 体，在进行有关地球的自转、运行的计算时理解起来就变得简 单明了。 抽象与具体是对立的它是一种逐次忽视次要的條件、要素、 现象，最后找出普遍的根本原理的方法。“地球是一个球体” 的说法就是抽出了地球的特征，进行了抽象 不管怎么说，对具体的现象抽象化在分析中是必要的。没有 抽象的分析很务情况下，是解决不了问题的 我们数学家，在创造理论的分析中也需偠抽象在可能的范 围内，忽视具体的因素依次解除一些制约条件，使其具有普遍 性抽象对数学家来说是十分重要的，甚至可以说數学是抽象 的学问。 数学的另一个侧面是表现数学上所说的表现，就是把抽象 出来的概念用一种形象的清晰的具体的方式重新表示。這是因 为有很多太抽象的概念即使在逻辑上是正确的，却在意义上不 太清楚但是，如果用一个具体的问题表示时会使人们更清楚 地悝解其意义。 表现概念的方式有两种：一种是忠实的表达一种是象征的 表达。我认为后者也是一种抽象在近代数学中，这种表现方法 取得了很大的发展 数学中的抽象与表现这两个侧面，在艺术中特别是在音乐 中也是一样的。数学家中有很多音乐爱好者，这也是因為数学 与艺术自然地溶为一体的缘故所谓音乐的美，不光是音色美 更是声音的结构美。在近代数学中结构也是非常重要的。选择 音樂的结构有些地方要依赖于美感。在数学中也是如此美感 往往起着很大的作用。 然而人类的创造是各种各样的，它们的总和才叫做創造 因此，并不是说学习了某些东西就能够创造在这里，更需要基 本的、基础训练在创造的态度上，音乐与数学是非常相似的 前媔说过，中学

l 几乎是所有的高级神经活动只凭分析大脑 的微细部分是不可能知道的，也就是说不管是分析得多么周到 细致，最终还会囿很多不能解决的问题留在这个世界上所以只 凭分析是不够的，分析是有限度的 从另一观点来说，必须认识到任何事物都具有全局的特性 具有整体的结构。例如棒球比赛中，集中优秀的选手并不一定 能够取得绝对的胜利一个队的力量，不能通过累加各个队员的" 力量来衡量:用加法来衡量集体活动是没有意义的用乘法衡量才? 有意义。有时由于某个契机会产生意外的力量，取得意想不到的 成就無论是机会或运气，都具有一种特性就是用普通的尺子 不能度量。综上所述所谓的分析全局特性，是非常困难的它 关系到各种观点、问题.、硏究课题以及人。但是我们一定要知 道，任何事物都有全局特性这一事实并且由此可产生意外的作 用。 全局特性不光与围棋、象棋的大局有关在任何领域中都是 重要的。特别是当遇到通过分析也找不到线索的问题时，用全 局观点看问题就变得很重要通过這种方式，常常能够意外地找. 到解决问题的线索

l 先生总的意思是，要搞数学必须超越技术。即使是今天 ?我也曾听说，每当先生有叻新学生就带他们到禅寺去，盘腿打 坐让他们读道元的《正法琅藏》。向他们灌输“要搞好数学必 须超越技术”的思想。

l 但是只囿完全、彻底地掌握了技术的人才会说“超越技 .术"这句话。连应该超越的技术都没有掌握的人是说不出这种 话的.

l 人是具有忘记能力的动粅。即使是自己辛辛苦苦搞学问的体 验随着水平的逐级提高，也会逐渐忘记的有些人当自己达到 顶峰，到了超越技术的境地时却忘叻自己学习时的体验，对位 于最低级的人说:“跳到我的位置上来! ”这岂不是不可思议吗即 使是跳上来，到头来也会滑下去

l 然而，数学畢竟不是哲学即使是对数学中的哲学有所贡 献，也不能称为数学成就数学中有技巧的一面，或者说存在 只有数学中才有的独特的技巧。虽然哲学是必要的但那是一种 思想，没有技巧作基础是不会取得大的成就的。

l 刚说完冈先生最先站起来问 道： “广中，使用你這样方法是解决不了问题的应该把它看成 更难的问题，像你这样的态度是不行的”当时，我采取的演讲方 式是这样的：对一个最理想嘚问题我打算用某种形式解决；但 是，又有些过于贪婪；于是就加强条件，我认为在加强条件的 情形下能够解决也可以然而，做下來还是要求过高于是再加 一些更具体的假设，就这样逐渐降低标准把问题从理想的形式 逐渐下降，最后在一般性较差的水平上加以解决。 但是冈先生说这种方式是不行的。当时我虽然表面上没 有流露出来，但内心却很生气先生在数学上有许多成就，也许 算得上┅个伟大的数学家但是，当时即使在世界范围内像我 这样在奇点解消问题上花费心血的人，几乎没有况且，我对这 个问题已取得一些成就但是，不管怎么说因为先生是伟大 的，我没有申辩什么就低下了头

l 于是，先生又说:“所谓的问题正好与你的做法相反，它昰 从具体的问题中逐渐抽象出来最后，整理成最理想的形式这 一点是很重要的。问题理想化后自然也就解决了。”这虽不是先 生的原话但大意就是这样。 我低着头说道:“谢谢你的忠吿”但是我的心里却很气愤。直 率地说我甚至在心里很反感，内心说道:“真是乱彈琴” 但是，至少在这个问题冈先生的话却射中了靶了。

l 正如先生所说的那样对问题加上各种各样的条件限制，常常会 失去问题的夲质相反，将问题整理成理想的形式就能清楚地 看出其本质。

l 例如要创办一个公司时，若把目标集中在一个城市办公 司的宗旨是為了从这个城市取得利润，应该把公司办成什么样 这种想法多数场合是办不好公司的。这是因为掩盖了公司的本 质束缚了公司的经营。换一种想法想把公司办成一流企业， 不光把日本作为市场还要把市场遍布全世界'按这样的方法办公 司，就能够抓住事物的本质成功率较高。 要将问题理想化或者说，将问题整理成白璧无瑕的形式 后再着手解决。我认为这一条对创造也是很重要的

l 为什么如此重偠呢？象刚才说过的那样是因为在方法论上 很有用，并且要创造简单明了的理论事先必须进行这种分析整 理工作。不仅是数学界是这樣的在其它的学问中，凡是重要的 根本的理论都是简单?明了的。

l 因此他就考虑在极限状况下，即在真空状态下物体的下落 情况這样一来，就得出了一个推论：在真空中无论什么物 质，其下落速度都是相同的

l 所谓 “好的数学"是什么呢？关于这个问题我也不很清楚但是，我认 为其中一个重要的要素就是具有简单明了的理论给人以“美" 的感觉的数学，也是简单明了地得出来的虽然做到这一点昰很 困难的，但至少我对于数学是这样要求的

l 要想简单明了地将自己的思想传达给别人，就必须对自己的 思想负责

l 以上我谈了自己常瑺告诫自己的研究态度，共有四点实事 求是地承认事实，确立假设分析现象，陷入僵局时要用全局的 观点看问题还有，在思考问题戓进行创造的场合要牢记：简 单明了。这些都是进行创造的具体方法我总是把它们铭记在 心里。而且在三十多年的数学生涯中，也嘚确起了很大的作 用

l 例如，要解决一个数学问题就要站在问题这个对象的立场 上来思考，最后要达到分不清自己与问题的程度即问題是自 己，自己也是问题只有这样，才能抓到解决问题的线索或发 现定律。 有一位物理学家曾说过”所谓天才就是能把作为研究对潒 的问题，与自身结合到不能区别的地步的人”我认为的确如此。 不管是在学习上：创造上还是生活上也不论是学生、学者以及 普通嘚人，都必须知道这句话同时，这句话也告诉我们要有 一颗质朴的心是多么地困难。按这位物理学家的说法夭才才有 一颗质朴的心，而普通的人要想有一颗质朴的心就要付出相当的 努力 话题回到创造上。作为我的研究态度我常常告诫自己的就 是：只有以一颗质朴嘚心才能灵活运用创造的方法。 我说过头等重要的是实事求是地承认事实。

l 例如要解决一个数学问题，就要站在问题这个对象的立场 仩来思考最后要达到分不清自己与问题的程度。即问题是自 己自己也是问题，只有这样才能抓到解决问题的线索，或发 现定律 有┅位物理学家曾说过”所谓天才，就是能把作为研究对象 的问题与自身结合到不能区别的地步的人。”我认为的确如此 不管是在学习仩：创造上还是生活上，也不论是学生、学者以及 普通的人都必须知道这句话。同时这句话也告诉我们，要有 一颗质朴的心是多么地困难按这位物理学家的说法，夭才才有 一颗质朴的心而普通的人要想有一颗质朴的心就要付出相当的 努力。 话题回到创造上作为我嘚研究态度，我常常告诫自己的就 是：只有以一颗质朴的心才能灵活运用创造的方法 我说过，头等重要的是实事求是地承认事实也就昰

l 例如，要解决一个数学问题就要站在问题这个对象的立场 上来思考，最后要达到分不清自己与问题的程度即问题是自 己，自己也是問题只有这样，才能抓到解决问题的线索或发 现定律。 有一位物理学家曾说过”所谓天才就是能把作为研究对象 的问题，与自身结匼到不能区别的地步的人”我认为的确如此。 不管是在学习上：创造上还是生活上也不论是学生、学者以及 普通的人，都必须知道这呴话同时，这句话也告诉我们要有 一颗质朴的心是多么地困难。按这位物理学家的说法夭才才有 一颗质朴的心，而普通的人要想有┅颗质朴的心就要付出相当的 努力 话题回到创造上。作为我的研究态度我常常告诫自己的就 是：只有以一颗质朴的心才能灵活运用创慥的方法。 我说过头等重要的是实事求是地承认事实。也就是抛弃臆 ?测、成见等与事实溶为一体。另外即使有了假设和目标，若 鈈与其溶为一体也不会产生推动前进的精神力量。分析以及分 析中需要的抽象还有用全局观点观察问题等，若不和问题溶为 一体最後，也容易使力量分散这就是说，进行创造的方法 若不以一颗质朴的心作为基础，是不会起作用的.

l 众所周知松蘑在地表面下长有菌根，在比较适应的条件 下这个根会逐渐长成圆形。可是如果条件永远只适合根鮒生 长的话，那它是只能长根而不能长蘑菇；最后老囮枯死。据植 物学家说有的松蘑的根能生长五百年而不绪蘑，最后枯死 那么应该怎么办呢？这就必须在适当的时候对正在生长的根 创慥抑制其生长的条件这种条件可以是外界的，如根据季节的 变化调节温度；也可以是物质条件如添加松脂或酸性物质。添 加了抑制条件后松蘑为了继续生长就出现抱子形式的果实，很 快就长成松蘑

l 我对庞加莱的话有下面的解释。 要进行创造也必须象松蘑在地表下長根一样，有一个积累 的阶段可是，如果永远处于一个积累的阶段那就会有松蘑 只长根而不结实，最后枯死一样不会有所创造，只恏碌碌终 生

l 典型的例子是：有人因患重病而住院几年，在这期间他孜孜 不倦地读书、思考、写文章最后取得了成功，成了作家 在我看来，世上取得成功的人一般都具有把逆境变为有利 于自己人生的能力。必须承认创造与逆境有很大的关系。

l 第二次世界大战之前卋界数学中&在德国；而战后数学中 心转移到了法国。五十年代法国的数学即使在欧洲也雄居领导 地位，世界著名的数学家在这里是济济┅堂 我在前面讲过，数学这门学问是一门具有国际性的学问

l 有人说，作为一个艺术家要想长期地从事创造活动必须有 种饥饿感。看看格罗登迪克这样的数学家我觉得这句话也适合 于学术界的创造活动。一个学者如果没有一种饥饿感是不会长 期有所创造的。

l 数学这門学问容易使人觉得与感情追求没有什么关系，然 而恐怕所有看起来与感情无缘的自然科学中的新理论、定律与定 理的创造都要大大地借助于追求的力量

l 英语中的需要主要有两种表达方式needs和want。然而我们 通常将这两个词都译为需要。实际上这两个词的意义有本质的差 别所谓needs 一词的意思，从空间上来说是通过判断事物外 部情况推断出来的需要；从时间上来说，是把从过去到现在人们 的经验加以总结推斷出的需要与此相反，want是从自己内部产 生的需要是以现在和将来作为时间轴的需要。也就是说want的 意思是欲望

l 我们常常看到在一些企業的小册子上写着这样的话，“要善于 捕捉消费者的需要（needs）.....”这种写法是不太恰当的need 是从过去的经验中推断出来的。如果公司企业按這种needs经营 迟早要落后的。要写的话应该这样写;''要看准消费者的want” 总之needs是通过理性判断得出的需要而want则是由人们， 心中的追求产生的需偠我个人认为，创造固然需要needs,但如 果没有want也是无济于事的。也即要有创造的欲望要有一味追 求目前还不存在的东西的念头。

l 我特别想向年轻的读者朋友们强调这一点一个人在决定自 己的未来的时候有很多信息可供参考。例如根据自己的学习成 绩来决定报考某所大學的某个系，或根据某个职业有前途就职 于某间公司。很多人就是这样从各种信息中找出需要决定自己， 的前途的

l 飞跃，就必须借助于内 部欲望的力量所以

l 总的说来在创造的过程中必须有飞跃。越是要创造闻所未 闻、令人耳目一新的东西飞跃就越发显得重要。没囿飞跃就会 落于俗套也就不会有惊人的创造。要想飞跃就必须借助于内 部欲望的力量。所以我认为飞跃的原动力不是needs,而是want。

l 我开始對这个问题感兴趣也并非已经纵览了从古到今的数 学史才决定来解决这个问题的。也即并不是认识到needs才这样 做的这只不过是我当时一種梦想，觉得如果能发现这个定理 就一定会产生很大的震动。也就是说是从对未来数学的want中 产生的兴趣，而且也只有这种内心的want,才是使我在大约八年 的时间里坚持不懈地努力实现这个梦想，最后产生飞跃的原动 力

l 假设要修筑一条从东京到大阪的高速公路，中途要绕琵琶湖 转一圈但是，这样一来就要在某处形成一个交点而在平面上 要想修筑一条没有交叉点的高速公路是办不到的。这个交叉点就 是渏点那么怎样才能去掉这个奇点呢？把绕湖一周的道路用立 体交叉的办法就迎刃而解了也就是说.只要增加高度即可。在 ?数学上把这种莋法叫做增加参数将一楼和二楼同一位置上的厕 所，投影到平面上画出图来表示的话就势必要重叠起来，使得 图形很不清楚同样的噵理，如果加进高度这一参数画出图来 就一目了然。

l 可是通过增加高度的办法去掉交叉点后的上下两段道路， 落在地上的影子却仍嘫会有交叉点。也即仍然存在着奇点也就 是说，尽管物体本身没有奇点了但它的影子中的奇点却依然存 在。这就需要反复增加参数或減少参数直到影子上产生的奇点 消除为止。

l 这种场合奇点还只限于是平面（二维）的，更为麻烦的是 在所有维上都会产生奇点这个問题的最后目标就是要创造一种 理论，用它能够消除所有维上产生的奇点

l 任何现象都可表示为图形，经济现象也是如此今天，经济 发展已到了一个相当高的水平表现出的经济现象也是多方面 的，用于分析的参数也随之急剧增加用来说明经济现象的图形 也就变成了高維的了。若将经济现象描绘于一张图形中复杂的 图形中常会出现很多交叉点或呈尖状的点，称为奇点如果置这 些奇点于不顾，那么对於把握现象和进行计蔓都会带来很大的困 难通常的一些定律也将不能适用。在这种情形如果使用奇点 1解消定理将其变换成没有奇点的圖形，就会使得列方程式和计算 容易得多使复杂多变的经济现象可由局部简单明了的图形组合 而成，对问题也就一览无余了 这是奇点解消定理的用途之一。关于定理的应用还有很多例 子，这里就不一一列举了

l 从我遇到这个问题起，直到将它完全解决我几乎没有想過 它会起什么作用？会应用到何处

l 当时京都大学有这样一股学 风，教授都让自己的弟子当助教授①并继承他所教授的课程。

l 秋月康夫敎授毅然地进行改革在别的大学里只要发现优秀人才 就马上拉到自己身边，让其成为自己的弟子

l 在京都大学的这个最革命的讨论班里，说起来我要算秋月的 弟子的弟子即秋月的孙弟子。

l 每星期他们都要发表自己的新结果而我只是 默不作声地听取他们广博的讨论。

l 每煋期他们都要发表自己的新结果而我只是 默不作声地听取他们广博的讨论。我在此能够亲眼看到数学是怎 样创造出来的对我来说起了佷大的作用。在前面谈及数学的特 征时首先例举出来的便是它的技术性。

l 査瑞斯基先生当时在 意大利发表了很多理论他用他那一流的方法解决了一维情形的 奇点解消问题；进i步，又在二维奇点解消问题上写出了三篇论 文；而后又解决了三维的情形 可是，査瑞斯基先生茬三维情形的奇点解消中所使用的方法 却是异常别扭和沉繁简直没有比这个更复杂的理论了。因此 大家一致认为四维以及四维以上的凊形是没法解决的事。

l 当时我只是有过这种看法来 对待这个问题而根本没有梦想过能够解决这个问题。这是因为 我连查瑞斯基先生的三維情形都不十分明白我只是想：“数学 中还有这样的问题啊!"同时对于解决这个问题会有怎样的应用也 稍微有点兴趣，于是就开始査阅文獻研究起这个问题来了。

l 虽然我的第一篇论文遭到了批评;但是,我的第二篇论文由于 当着査瑞斯基先生的面发表却得到了去哈佛大学留学嘚机会

l 我记得几乎是同一个时期，我曾拜访过当时是康奈尔大学助 教授的阿比扬卡。阿比扬卡是印度人也是从师于査瑞斯基先生 的數学家。我是听说他也対奇点解消理论抱有极大兴趣才去拜访 他的 我从那时起正式硏究这个问题，当然我仍然没有想到我能 解决这个問题，但是我想即使不能解决难道也不能对这个问题 有点贡献吗？我之所以同阿比扬卡交换思想也是想从他那里得 到某些启示。

l 我毫無保留地将我当时对奇点解消的一些想法告诉了阿比扬 卡我讲话的大体意思是，如果有奇点的话那这些奇点就应该 具有某些特性，把這些特性逐渐抽象成数值最后不就解决了 吗？

l 那时我听到哈佛大学的鲍特教授说 过这样一句话:“Sleep with problem （带着问题睡觉 其意思是在解决疑难問题时，重要的是要用与问题同起居的 心情来对待

l 那段时期，我也的确是连做梦也在思考这个问题但只不过 是更进一步认识到了这个問题的困难程度。的确越搞就越有一 种被引到无底的迷宫中一样的感觉。

l 可是我到布朗大学工作的第二年，从我当上副教授起我 渐漸地有了自己独立的思想，虽然很难用一句话说明我的思想 但无论如何这是我与问题同起居的结果，对解决这个问题有所启 .发

l 当时说：“奇点解消问题不是那 么简单就能解决的。纵使将来有人解决了这个问题那时的代数 几何学的一般理论也已经有了很大的发展，奇点解消问题也就没 有什么价值了.”我虽然没有直接听到他讲这些话但听朋友说他 是持绝对的否定态度的。

l 但是他已经下了结论.“奇点解消问题是没有意 义的/失去了解决这个问题的支持和鼓舞，’这不能不令人感到 失望

l 格罗登迪克不但没有丝毫高兴的样子，反而把我的大蔀分话 从东边耳朵进西边耳朵出了。由于这个原因我得一直跟他讲 话而他却一直未予搭腔。他最后说的一句话更加证明了他心 不在焉，根本没有注意听我的谈话他说：“要证明四维情形的 奇点解消问题是不困难的，只需如此这般地去做……”

l 可是另一方面也有人茬鼓励我，他就是査瑞斯基先生

l 有一 天，在校园里我和査瑞斯基先生擦肩而过因为我知道他是一个 大忙人，因此不想跟他寒暄可是怹却叫住了我问：“你现在在 干什么?”我答道：“正在反复考虑奇点解消问题/他想了一会 儿，拍着我的肩膀说："You need strong teeth to bite in（你须 得有一副扎实的牙齒去啃）” .使牙齿扎实是査瑞斯基先生的一流的幽默。他的意思是不 拼命去啃是不会解决问题的，因此必须有一副扎实的牙齿这是 對我的忠告，我想如果査瑞斯基先生懂日语的话，他一定会 说“勒紧兜裆裤，加油干”！ 査瑞斯基先生曾亲自硏究过这个问题他一萣深知其重要 性。不管怎么说这是对我的难得的鼓励。 另外我还将法国的一位名叫汤姆的数学家说过的一句话， 作为我自己发奋图强嘚座右铭常常说给我自己听。他说：“搞 代数几何的人都是些窝囊废：

l 有一 天，在校园里我和査瑞斯基先生擦肩而过因为我知道他昰一个 大忙人，因此不想跟他寒暄可是他却叫住了我问：“你现在在 干什么?”我答道：“正在反复考虑奇点解消问题/他想了一会 儿，拍著我的肩膀说："You need strong teeth to bite in（你须 得有一副扎实的牙齿去啃）” .使牙齿扎实是査瑞斯基先生的一流的幽默。他的意思是不 拼命去啃是不会解决问題的，因此必须有一副扎实的牙齿这是 对我的忠告，我想如果査瑞斯基先生懂日语的话，他一定会 说“勒紧兜裆裤，加油干”！ 査瑞斯基先生曾亲自硏究过这个问题他一定深知其重要 性。不管怎么说这是对我的难得的鼓励。 另外我还将法国的一位名叫汤姆的数學家说过的一句话， 作为我自己发奋图强的座右铭常常说给我自己听。他说：“搞 代数几何的人都是些窝囊废：一遇到棘手的问题，僦说即使解 决了也没有什么意义这是代数几何学家的惯用遁词。”

l 如同前面所述査瑞斯基先生已经解决了一维、二维及三维 情形下的渏点解消问题，而我要做的是创造一种能在任意维情形 下解消奇点的理论

l 我在电话里 对査瑞斯基先生说：“我好像解决了问题的一般情形/査瑞斯基 先生的声音同往常一样，非常冷静、只说了声：“要愼重噢1”就 轻轻地放下了电话 的确，现在最重要的就是慎重又慎重否則的话，很容易陷 入不可挽回的境地

l 数学界中经常有这样的情况，自己以为百分之百地解决了 但由于忽视了一些细微的部分，结果实際上一点边也没挨到曾 有一位年轻的数学家宣布解决了一个重大问题，但写成论文发表 后被指出了重大错误，结果一蹶不振再也没囿东由再起。查 瑞斯基先生忠吿我“要愼重”，为的是不让我重蹈这位不幸的数 学家的覆辙

l 讨论完后，我觉得有必要对解决问题中所使用的原始的工具 进行改进

l 那以后不久，我在哈佛大学举行了以这个问题为焦点的讨论 班以大家提问我回答的方式，对每一个细节都進行了检査 讨论完后，我觉得有必要对解决问题中所使用的原始的工具 进行改进离那不久的一天，偶然碰到了査瑞斯基先生他问 道： “Is your resolution still a theorem （你的解消法仍是一 个定理吗）? ” 这是因为数学界常常有这样的情况，自己认为证明了一个定 理仔细一考虑却发现了问题，使得已寫成的定理又成为未决的 问题查瑞斯基先生担心我也会这样，善意提醒我我挺起胸 脯，勇气十足地答道 "Still a theorem （仍是一个定理） 虽然还有幾个地方需要进一步改进，但我有把握我的思想 是正确的。

l 我睡下不久妻子就起床， 数一数我写的草稿的页数然眉用打字机帮我打茚。我醒来后再 看一遍打好的稿子检査一下逻辑结构上有无错误，证明的细节 是否正确如果没有什么不完备的地方，就开始考虑下一步的内 容直到吃晚够 那一段时间的日程就是这样。 当然学校里有课的时候，我还必须去上课

l 我睡下不久，妻子就起床 数一数我写嘚草稿的页数，然眉用打字机帮我打印我醒来后再 看一遍打好的稿子，检査一下逻辑结构上有无错误证明的细节 是否正确。如果没有什么不完备的地方就开始考虑下一步的内 容，直到吃晚够 那一段时间的日程就是这样 当然，学校里有课的时候我还必须去上课。但昰毕竟是 一天只睡三、四个小时，而且前一天晚上思考问题意犹未尽所 以，不能把精力百分之百地集中在讲课上对于必须听我的课嘚 学生来说，可算是倒霉透了

l 虽然我没有写过小说，不能武断地下结论但我觉得写数学 论文和写小说是不一样的。例如写小说时，Φ途发现了不够完 备的地方大概也用不着从头另写3而写数学论文却不然。哪怕 是发现一点不符合逻辑的地方也必须从头改写因此，常瑺有这 样的情况一天写下来很顺利，一写十几页但到了第二天却全 都成了一堆废纸。

l 在数 学上用如此庞大的篇幅证明一个定理恐怕昰空前的。 论文分两次刊登在美国的《数学年刊（Annals Mathematics）* ±o 论文发表相当长的一段时间后査瑞斯基先生在美国数学会 会长引退的纪念讲演中這样说道： "Battle was won. by Hironaka （广中在战斗中胜利了）1” 据说，我的论文发表眉査瑞斯基先生还多次用他自己独自 的方法检验我的理论的正确性。他之所鉯在纪念讲演中讲这句 话我想可能是由于他自己未能解决的问题由我解决了，他是用 这句话来表达对弟子的同情而发出的感叹吧。

l 这僦是 我以前所学的数学专业所进行的研究与创造，无意识地都是以 解决奇点解消问题为目标的在京都大学研究院里发表的第一篇 论文嘚结果也与奇点解消有关。从那以后所发表的论文都是如 此我的博士论文创造了自己的有理变换理论，这看起来好像与 奇点解消无关泹实际上对此也有间接、的作用。

l 回顾我的工作我还感到我有着得天独厚的好条件。第一个 条件就是我能够从师于査瑞斯基先生他深知奇点解消的重要 性，并且解决了一维、二维与三维的情形（可是，如果拘于他 的方法也许解决不了这个问题。）第二个条件是我在巴黎的半年 硏究跟随具有全局观点的格罗登迪克学习。第三个条件是同秋 月讨论班的永田雅宜在一起学习他和我同一年受聘为哈佛大學 的客座教授。这些都成了我解决这个问题的重要因素当然，其中 有我自己的思想但是，如果把他们三人的创造性的工作归纳整理 一丅不难发现问?题的答案。我不能撒谎,这是我的真实感受每 当我想到这一点，对他们给予我的优越条件我从内心表示感谢。

l 作为一個总结我谈谈通过自 己的工作得到的三个教训： 第一，创造过程中的一个重要因素是柔性 我在解决奇点解消问题之前，曾有两次花尽氣力专攻过这个 问题然而却都失败了。那时我丝毫没有固执地囿于这个问 题，而是把它暂时放到一边现在想来，当时的这种作法是奣智 的每当前进的道路上出现不可逾越的障碍时，我总是以旁观者 清的态度省度问题耐心地期待着思想和理论工具的发展。 假如我碰壁的时候仍然默守成规将会是怎样的呢我想恐怕 会被大山一样的墙壁压跨，最后陷入奄奄一息的地步每当想到 这一点，我深深地感到對付难题的最好的办法就是柔性地处置 这种柔性的态度在教育孩子的过程中也是很重要的。孩子在 成长过程中既有令人可爱的时期，吔会有令人憎恶的时期那 么应该怎么办呢？我认为应该像遇到棘手的问题时所釆取的方法 那样隔一段距离来照看孩子，这种柔性的处置方法在这里也是 必要的 前面我虽说过创造同教育孩子一样，但我的意思是说在这一 点上两者是相似的

l 第二，我深深地感到创造中必須有want,而且必须是彻底发 自自己内心的want 那么什么是want呢？有很多人觉得自己具有自己的want

l 第三，只有有所创造,.才会产生价值这一点与前面引用的 富兰克林的话是一样的，只有创造才有意义才能前进。 前面说过很多人几乎没有认识到解决奇点解消问题的必}

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