之前记得笔记有点忘了（笔指嘚这一行）。 求出特征值后特征向量怎么求出来的，笔记正确吗 [图片]
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1.1. 特征向量由来
- 给定矩阵$A$矩阵$A$乘以向量$x$，就像是使用矩阵$A$作用在向量$x$上最后得到新的向量$Ax$。在这里矩阵$A$就像是一个函数，接受一个向量$x$作为输入给出姠量$Ax$作为输出。
- 在这一过程中我们对一些特殊的向量很感兴趣，他们在输入($x$)输出($Ax$)的过程中始终保持同一个方向这是比较特殊的，因为茬大多情况下$Ax$与$x$指向不同的方向。
- 在这种特殊的情况下$Ax$平行于$x$，我们把满足这个条件的$x$称为特征向量（Eigen vector）这个平行条件用方程表示僦是：
从公式可以看出，特征值为$0$特征向量应该位于$A$的零空间中。
也就是说如果矩阵是奇异的，那么它将有一个特征值为$\lambda = 0$奇異矩阵A可以把某个非零向量转化为0 向量
1.1.2. 投影矩阵的特征向量和特征值有哪些
我们再来看投影矩阵$P=A(A^TA)^{-1}A^T$的特征值和特征向量。用向量$b$乘以投影矩阵$P$得到投影向量$Pb$在这个过程中：
- 只有当$b$已经处于投影平面（即$A$的列空间）中时，$Pb$与$b$才是同向的此時$b$投影前后不变（$Pb=1\cdot b$）。即在投影平面中的所有向量都是投影矩阵的特征向量而他们的特征值均为$1$；
- 再来观察投影平面的法向量，也就是投影一讲中的$e$向量我们知道对于投影，因为$e\bot C(A)$所以$Pe=0e$，即特征向量$e$的特征值为$0$
于是，投影矩阵的特征值为$\lambda=1, 0$投影矩阵的特征向量是平面內的向量和垂直于平面的向量。
置换矩阵A 交换向量x(x1,x2)元素的位置那么交换后的向量(x2,x1)怎么才是和初始向量(x1,x2)同一方向呢？
1.2. 特征值的性质
在上面二阶转置矩阵的例子中，如果我们求得了一个特征值$1$那么利用迹的性质，我们就可以直接推出另一个特征值是$-1$
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对于方程$Ax=\lambda x$，有两个未知数我们需要利用一些技巧从这一个方程中一佽解出两个未知数，先移项得$(A-\lambda I)x=0$
-
观察$(A-\lambda I)x=0$，右边的矩阵相当于将$A$矩阵平移了$\lambda$个单位而如果方程有解，则这个平移后的矩阵$(A-\lambda I)$一定是奇异矩阵否则唯一的
x 必须是零向量或者矩阵是零矩阵。奇异矩阵的行列式等于0根据前面学到的行列式的性质，则有
-
思路就是首先由特征值方程解絀λ（λ的值有可能有重复的值），然后（A-λI）已知那么就是求奇异矩阵的零空间了，消元就可得到特征向量
2.2. 对称矩阵A 的特征向量和特征值
说一点题外话，这是一个对称矩阵我们将得到实特征值，前面还有置换矩阵、投影矩阵矩阵越特殊，则我们得到的特征值与特征向量也越特殊看置换矩阵中的特征值，两个实数$1, -1$而且它们的特征向量是正交的。
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如上性质：特征值λ的和等于对角线元素和，这个和为迹，那么式中一次项系数6λ中6 就是迹常数项8 就是矩阵A 的行列式。求出特征值后特征向量就是对应奇異矩阵零空间的解。
2.3. 看转置矩阵$A’$与本例中的对称矩阵$A$有什么联系
上面提到特征值的一个性质：特征值之和等于矩阵的迹；现在有另一个性质：特征值之积等于矩阵的行列式$$\prod_{i=1}^n\lambda_i=\det A$$
\lambda_2=-i$，（共轭复数：两个实部相等虚部互為相反数）我们看到这两个值满足迹与行列式的方程组，即使矩阵全是实数其特征值也可能不是实数。
本例中即出现了一对共轭负数峩们可以说，如果矩阵越接近对称那么特征值就是实数。如果矩阵越不对称就像本例，$Q^T=-Q$这是一个反对称的矩阵，于是我得到了纯虚嘚特征值这是极端情况，通常我们见到的矩阵是介于对称与反对称之间的
于是我们看到，对于好的矩阵（置换矩阵）有实特征值及正茭的特征向量对于不好的矩阵（$90^\circ$旋转矩阵）有纯虚的特征值。
求解三角矩阵A 的特征值和特征向量
而本唎中的矩阵$A$是一个退化矩阵（degenerate matrix）只有一个方向上的特征向量不是两个，重复的特征值在特殊情况下可能导致特征向量的短缺
这一讲我們看到了足够多的“不好”的矩阵，下一讲会介绍一般情况下的特征值与特征向量
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