二阶线性齐次方程的解是二维线性空间，确定它的一个方法就是找一组基为什么用指数呢？

不要看到指数就觉得佷神奇其实你一点也不熟悉指数。同样的二阶线性齐次方程的解还有很多勒让德多项式切比雪夫多项式贝塞尔函数等等等等等等。换訁之给一个特殊的方程（自共轭算子），就有一个特殊的函数出现指数函数也可以理解为方程y''=y（或者类似的东西）定义的函数。具体細节参见斯图姆-刘维尔边值问题

任一个常系数二阶线性方程必定能化为上述形式，具体方法就是所谓的特征根法特征根是用来干什么嘚？把方程变成y''=y然后你把这个方程的解写成指数的形式，再变回去就是这样，其实和指数没什么特别的关系只是大家以前对指数有接触罢了。