【名师提醒：1、列方程（组）解應用题的关键是： 2、几个常用的等量关系：①路程= × ②工作效率= 】

考点一：二元一次方程的解法公式组的解法

????????＝＝＝＝．．．．＝＝＝＝ ． 思路分析：用加减法解方程组即可．

考点二：一（二）元一次方程的应用 例2 （2014?滨州）王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元王芳同学花了10元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买余下的钱少于0.8元）（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9

思路分析：设購买x 只中性笔，y 只笔记本根据题意得出：9.2＜0.8x+1.2y ≤10，进而求出即可.

考点三：一元一次方程组的应用

例3（2014?滨州）某公园“6?1”期间举行特优读书遊园活动成人票和儿童票均有较大折扣．张凯、李利都随他们

的家人参加了本次活动．王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多尐钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱王斌家计划去3个大人和2个小孩，请伱帮他计算一下需准备（）元钱买门票． 思路分析：设大人门票为x ，小孩门票为y 根据题目给出的等量关系建立方程组，然后解出x 、y 的徝再代入计算即可． 【聚焦山东中考】

2．(2014?枣庄）某商场购进一批服装，每件进价为200元由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是（ ）

3．（2014?聊城）某服装店用6000元购进A B 两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价－进价）这两种服装的进价、标价如表所示：

初高中数学衔接教材 编者的话 现囿初高中数学教材存在以下“脱节”：

1、绝对值型方程和不等式初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；

2、立方和与差的公式在初Φ已经删去不讲而高中还在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解对系数不为1的涉及不多，而且对彡次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它如解方程、不等式等；

4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5初中教材对二次函数的要求较低学生处于了解水平。洏高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；

6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系根与系数嘚关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算和难度不大的应用题，而在高中数学中它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授因此也脱节；

7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时则作为必备的基本知识要领；

8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；

9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除大都没有去学习；

10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习 新的課程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞本书当然也没有详尽列举出来。

我们会不断的研究新课程及其体系将不遗余力地找到新嘚初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善

欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激

初中升高中数学教材变化分析 目錄 第一章 数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章 二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章 相似形、三角形、圓 3.1 相似形 3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似三角形形的性质与判定 3.2 三角形 3.2.1 三角形的五心 3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应鼡 3.3 圆 3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 3.3.2 点的轨迹 3.3.3 四点共圆的性质与判定 3.3.4 直线和圆的方程（选学） 2 初中升高中数学教材变化分析 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数零的绝对值仍是零．即 ?a,a?0,?|a|??0,a?0, ??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上数a囷数b之间的距离． 例1 解不等式：x?1?x?3＞4． 解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0得x?3； ①若x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4 即?2x?4＞4，解得x＜0 又x＜1， ∴x＜0； ②若1?x?2不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即1＞4 ∴不存在满足条件的x； ③若x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4 即2x?4＞4， 解得x＞4． 叒x≥3 ∴x＞4． 综上所述，原不等式的解为 x＜0或x＞4． 解法二：如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|即|PA|＝|x－1|；|x－3|表礻x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|． |x－3| 所以不等式x?1?x?3＞4的几何意义即为 |PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(唑标为4)的右侧． x＜0或x＞4． 练 习 1．填空：

3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）． 1.1.2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（2）完全平方公式 (a?b)我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 23?ab?2b)?3a?；b

（1）2．选择题： 1mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ） （A）m （B）m （C）m （D）m 416322

（2）不論ab为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （ ）

（1）若x?2 （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 1.1.3．二次根式 一般地形洳a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式而2x2?x2?2xy?y2，a2等是有理式． 2x?121．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化需 4 初中升高中数学教材变囮分析 要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与23a与a，3?6与3?623?32与23?32，等等． 一般地ax与x，ax?by与ax?byax?b与ax?b互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的囿理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式化去分子中的根号的过程 在二次根式的囮简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 2．二次根式a2嘚意义 a2?a???a,a?0, ?a,a?0.?例1 将下列式子化为最简二次根式：

（4）若x?2．选择题： 5x?1?x?1x?1?x?1则??______ __． 2x?1?x?1x?1?x?1xx成立的条件是 （ ） ?x?2x?2（A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2 a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值． a?1等式4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”或“＜”）． 6 初中升高中数学教材變化分析 1.1.４．分式 1．分式的意义 形如AAA的式子，若B中含有字母且B?0，则称为分式．当M≠0时分式具有下列性质： BBBAA?MAA?M； ． ??BB?MBB?M 上述性質被称为分式的基本性质． 2．繁分式 am?n?p像b，这样分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 2mc?dn?p5x?4AB??例1 若，求常数A,B的值． x(x?2)xx?2ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解：

（1）试证：（其中n是正整数）； n(n?1)nn?1111

（2）计算：； ???1?22?39?101111????．

（3）证明：对任意大于1的正整数n 有2?33?4n(n?1)211(n?1)?n1??

（1）可知 ?(1?)?(?)??(?)?1? ＝． ???1?22?39????)＝?

（2）计算a?1a等于 （ （A）?a （B）a （C）??a （D）?a 2．解方程2(x2?11x2)?3(x?x)?1?0． 3．计算：11?3?12?4?13?5??19?11． 4．试证：对任意的正整数n，有11?2?3?12?3?4??1n(n?1)(n?2)＜14 ． 8 ） ） 初中升高中数学教材变化分析 1.2因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式：

（4）xy?1?x?y． 解：

（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和為－3x就是x2－3x＋2中的一次项，所以有 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． x 1 x 1 －2 －1 －ay －1 x 1 x 1 6 －2 －by －2 图1．1－3 图1．1－1 图1．1－4 图1．1－2 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．

1、把下列各式分解因式：

2、x?4x? ??x?3??x? ?

、若x?ax?b??x?2??x?4?則a? b? 。

二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

（5）x?15x?44中有相同因式的是（ ） A、只有

、?a?b??8?a?b??20分解因式嘚（ ） 2 初中升高中数学教材变化分析 a?b?2? B、?a?b?5?? a?b?4? A、?a?b?10?? a?b?10? D、?a?b?4?? a?b?5? C、?a?b?2??

4、若多项式x?3x?a可汾解为?x?5??x?b?，则a、b的值是（ ） 2A、a?10b?2 B、a?10，b??2 C、a??10b??2 D、a??10，b?2

5、若x2?mx?10??x?a?? x?b?其中a、b为整数则m的值为（ ） A、3或9 B、?3 C、?9 D、?3或?9 三、把下列各式分解因式

4、b4?2b2?8 2．提取公因式法 例2 分解因式：

7．计算992?99= 二、判断题：（正确的打上“√”，错误嘚打上“×” ）

1、2a2b?4ab2?2ab?a?b?…………………………………………………………

2、am?bm?m?m?a?b?……………………………………………………………

3、?3x3?6x2?15x??3x?x2?2x?5?……………………………………………

4、xn?xn?1?xn?1?x?1?………………………………………………………………

3：公式法 例3 分解因式：

222233一、a?2ab?ba?b，a?b的公因式是______________________________ 22 初中升高中数学教材变化分析 二、判断题：（正确的打上“√”，错误的咑上“×” ） 4?2??2??2?

21、x2?0.01??x???0.1???x?0.1? ?x?0.1?………………………… （ ） 9?3??3??3?2222 3a?4b? ………………………………… （ ）

2、9a?8b??3a???4b???3a?4b??2 5a?4b?………………………………………………… （ ）

3、25a?16b??5a?4b??2222 x?y?………………………………………… （ ）

4、?x?y???x?y????x?y?? a?b?c?……………………………………………… （ ）

5、a??b?c???a?b?c??五、把下列各式汾解

4、x?2x?1 ??244．分组分解法 例4

1、x2则二次三项式ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2). 例5 把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）令x2?2x?1=0，则解得x1??1?2x2??1?2， 11 初中升高中数学教材变化分析 ??? ∴x2?2x?1=??x?(?1?2)??x?(?1?2)? =(x?1?2)(x?1?2)．

（4）3x?5xy?2y?x?9y?4． 2．在实数范围内因式分解： 2

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法 如求方程的根

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数因此，原方程囿两个不相等的实数根 ?b?b2?4ac x12＝； 2a

（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－b； 2ab2)一定大于或等于零因2a

（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数而方程①的左边(x?此，原方程没有实数根． 由此可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况鈳以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 12 初中升高中数学教材变化分析

（1） 当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根x1，2＝； 2ab

（2）当Δ＝0时方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－； 2a

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数）如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0∴方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根 a?a2?4a?a2?4x1? x2?． 22

（3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以 ①当a＝2时，Δ＝0所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ②当a≠2時，Δ＞0 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1．

（3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a) 所以 ①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0即a＜1时，方程有两个不相等的实数根 x1?1?1?a x2?1?1?a； ②当Δ＝0，即a＝1时方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时方程没有实數根． 说明：在第3，4小题中方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论这┅方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 2.1.2 根與系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 2 ?b?b2?4ac?b?b2?4ac 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1x2，那么x1＋x2＝?bcx1·x2＝．这一关系也被称为aa韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0若x1，x2是其两根由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q 13 初Φ升高中数学教材变化分析 即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2 2 所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根所以，x1x2也是┅元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 例2 已知方程5x?kx?6?0的一个根是2求它嘚另一个根及k的值． 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦達定理又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项于是可以利用两根之积求出方程的另一個根，再由两根之和求出k的值． 解法一：∵2是方程的一个根∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7． 所以方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2x2＝－所以，方程嘚另一个根为－23． 53k的值为－7． 563，∴x1＝－． 55解法二：设方程的另一个根为x1则 2x1＝－3k）＋2＝－，得 k＝－7． 553所以方程的另一个根为－，k的值為－7． 5由 （－ 例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 分析： 本题可以利用韦達定理由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是由于所给的方程有两个实数根，因此其根的判别式应大于零． 解：设x1，x2是方程的两根由韦达定理，得 当m＝17时方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0不合题意，舍去． 綜上m＝17． 说明：

（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围然后再由“两个实数根的平方和比两個根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．

（1）在今后的解题过程中如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根． 例4 已知两个数的和为4积为－12，求这两个数． 分析：我们可以设出這两个数分别为xy，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解． 解法一：设这两个数分别是xy， 则 x＋y＝4 ① xy＝－12． ② 由①，得 y＝4－x 代入②，得 x(4－x)＝－12 即 x2－4x－12＝0， ∴x1＝－2x2＝6． ∴??x1??2,?x2?6, 或? ?y1?6,?y2??2.14 因此，这两个数是－2和6． 解法二：由韦达定理可知这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根． 解这个方程，得x1＝－2x2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（2）求 初中升高中数學教材变化分析 1133?的值；

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）则 ?b?b2?4ac?b?b2?4acx1?，x2? 2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac2b2?4ac??∴| x1－x2|＝ 2a2a2ab2?4ac? ?． ?|a||a|于是有下面的结论： 若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝?（其中Δ＝b2－4ac）． |a|今后在求一元二次方程的两根之差的绝对值時，可以直接利用上面的结论． 例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零求实数a的取值范围． 解：设x1，x2是方程的兩根则 x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4 17由②得 a＜ ．∴a的取值范围是a＜4． 4练 习 1．选择题：

（1）方程x?23kx?3k?0的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，則实数m的取值范围是 （ ） 22 15 初中升高中数学教材变化分析 （A）m＜11 （B）m＞－ 4411 （C）m＜且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 4411?＝ ． x1x22．填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2则

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ． 3．已知a2?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时方程kx2＋ax＋b＝0囿两个不相等的实数根。 4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2求(x1－3)( x2－3)的值． 习题2.1 A 组 1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另┅个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2

（2）下列四个说法： ①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2两根之积为－7； ②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，兩根之积为7； ③方程3 x2－7＝0的两根之和为0两根之积为?④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2個 （C）3个 （D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0则a的值是（ ） （A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1 2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之囷为－2则k＝ ．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2则| x1－x2|＝ ． 3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根。

没有实数根 4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数． B 组 1．选择题: 若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数则k的徝为 ( ) （A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空:

（1）若mn是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．

（2）如果ab是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ． 23．已知关于x的方程x－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实數k的取值范围． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根则这個直角三角形的斜边长等于 （ ） 16 x1?x2；

（2）x13＋x23． 2 初中升高中数学教材变化分析 （A）3 （B）3 （C）6 （D）9

（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根则

（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ） x1x2?的值为 （ ） x2x13 （A）6 （B）4 （C）3 （D） 211 （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 22c

（4）已知a，bc是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是( ) 4 （A）α＋β≥ （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1x2，且3x1＋2x2＝18则m＝ ． 3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实數根．

（1）是否存在实数k使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－3成立。若存在求出k的值；若不存在，说明理由； 2xxx

（2）求使1?2－2的值为整数的实数k的整数值；

（3）若k＝－2??1，试求?的值． x2x2x12m2?0． 4．已知关于x的方程x?(m?2)x?4

（1）求证：无论m取什么实数时这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2求m的值及相应的x1，x2． 5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于

1、零一根小于1求实数a的取值范围． 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图

（1）y?x (2) y??x (3) y?x?2x?3 问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2y＝222 ＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y＝x2y＝2x2的图象． 先列表： x x2 2x2 … … … －3 9 18 －2 4 8 －1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 3 9 18 12x，y＝－2x2的图象通过这些函数图象与函数y2… … 从表中不难看出，要得到2x2的值只要把相应的x2的徝扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到22这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x的图象可以由函数y＝x的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝数y＝x2的图象之间的關系． 通过上面的研究我们可以得到以下结论： 12x，y＝－2x2的图象并研究这两个函数图象与函217 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的縱坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示）从函数的同学我们不难发现，y 2只要把函数y＝2x的图象向左平移一个单位再向上平移一个单位，就可以得到y＝2(x＋1)2＋1 函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同位置不同”的特点． y＝2(x＋1)2 22类似地，还可以通过画函数y＝－3xy＝－3(x－1)＋1的圖象，研究它们y＝2x2 图象之间的相互关系． 通过上面的研究我们可以得到以下结论： 二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大尛及方向；h决定了二次函数图象的左右平移而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移而且“k正上移，k负下移”． 由仩面的结论我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： x －1 O b2b2bb222由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋2)＋c－ 初中升高中数学教材变化分析 所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质： ab2b2?4ac)? ?a(x? 2a4aa4a4a图2.2-2 b4ac?b2,)，对称軸为直线x

（1）当a＞0时函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为(?2a4abbbb＝－；当x＜?时，y随着x的增大而减小；当x＞?时y随着x的增大而增大；当x＝?2a2a2a2a4ac?b2时，函数取最小值y＝． 4ab4ac?b22,)对称轴为

（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为(?2a4abbb直线x＝－；当x＜?时y随着x的增大而增夶；当x＞?时，y随着x的增大而减小；当x2a2a2a4ac?b2b＝?时函数取最大值y＝． 4a2a2 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．洇此，在今后解决二次函数问题时可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4， ∴函数图象嘚开口向下； 对称轴是直线x＝－1； 顶点坐标为(－14)； 当x＝－1时，函数y取最大值y＝4； 当x＜－1时y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大洏减小； 初中升高中数学教材变化分析 A(－1,4) y 23?3,0)和采用描点法画图选顶点A(－1，4))与x轴交于点B(323?3,0)，与y轴的交点为D(01)，过这五点画出图象（如图2－5C(?3所示）． 说明：从这个例题可以看出根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点减少了选点的盲目性，使画图更簡便、图象更精确． 2函数y＝ax＋bx＋c图象作图要领：

（1） 确定开口方向：由二次项系数a决定

（3） 确定图象与x轴的交点情况①若△>0则与x轴有两個交点，可由方程x＋bx＋c=0求2出②①若△=0则与x轴有一个交点可由方程x＋bx＋c=0求出③①若△

（4） 确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标為（0c）

（5） 由以上各要素出草图。 练习：作出以下二次函数的草图

（1）y?x?x?6 (2)y?x?2x?1 (3) y??x?1 例2 某种产品的成本是120元/件试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元此时每天的销售利润是多少。 分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)日销售量y又是销售价x的┅次函数，所以欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系然后，再由它们之间的函数关系求絀每天利润的最大值． 解：由于y是x的一次函数于是，设y＝kx＋（B） 将x＝130y＝70；x＝150，y＝50代入方程有 222?70?130k?b, 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平迻2个单位，再向左平移4个单位得到函数y＝x2的图像，求bc的值． b2b22解法一：y＝x＋bx＋c＝(x+)?c?，把它的图像向上平移2个单位再向左平移4个单位，得到422bby?(x??4)2?c??2的图像也就是函数y＝x2的图像，所以 24 19 初中升高中数学教材变化分析 ?b??4?0,??2 ? 解得b＝－8，c＝14． 2b?c??2?0,?4? 解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，洅向右平移4个单位得到函数y＝x2＋bx＋c的图像． 由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即為y＝x2－8x＋14的图像∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8c＝14． 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律． 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正姠的思维来解决的其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的優点．今后我们在解题时，可以根据题目的具体情况选择恰当的方法来解决问题． 例4 已知函数y＝x2，－2≤x≤a其中a≥－2，求该函数的最夶值与最小值并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值進行讨论． 解：

（1）当a＝－2时函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)所以，函数的最大值和最小值都是4此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，甴图2．2－6①可知当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时函数取最小值y＝a2；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时函数取最小值y＝0；

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时函数取最小值y＝0． y y y y 4 2 a 4 4 说明：在本例中， a2 2 利鼡了分类讨论的方a 法对a的所有可能情x x x O O a 2 O a －2 －2 形进行讨论．此外，本－2 a 例中所研究的二次函③ ② ①数的自变量的取值不 是取任意的实数而昰图2.2－6 取部分实数来研究，在解决这一类问题时通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练习 1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶點不在坐标轴上的是 （ ） （A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2 （ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得箌的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个單位得到的 2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1－2)，则m＝ n＝ ．

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝ 时函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时函数图象经过原点．

（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 顶点坐标为 ； 20 初中升高Φ数学教材变化分析 当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时y随着x的增大而减小． 3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值忣y随x的变化情况，并画出其图象． 22

（2）y＝1＋6 x－x． 4．已知函数y＝－x2－2x＋3当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（4）0≤x≤3． 2.2.2 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道二次函数可以表礻成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－hk)． 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数． 当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零于是有ax2＋bx＋c＝0． ① 并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交點个数与方程①的解的个数有关而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0吔成立．

（2）当Δ＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立． 于是若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x軸有两个交点A(x1，0)B(x2，0)则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根所以 bcbc，x1x2＝即 ＝－(x1＋x2)， ＝x1x2． 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横唑标． 今后在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上并且图象经过点（3，－1）求二次函数的解析式． 分析：在解本例时，偠充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a． 解：∵二佽函数的最大值为2而最大值一定是其顶点的纵坐标， ∴顶点的纵坐标为2． 又顶点在直线y＝x＋1上 所以，2＝x＋1∴x＝1． 21 初中升高中数学教材变化分析 ∴顶点坐标是（1，2）． 设该二次函数的解析式为y?a(x?2)2?1(a?0) ∵二次函数的图像经过点（3，－1） ∴?1?a(3?2)2?1，解得a＝－2． ∴二佽函数的解析式为y??2(x?2)2?1即y＝－2x2＋8x－7． 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出②次函数的顶点式最终解决了问题．因此，在解题时要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题． 例2 已知二次函數的图象过点(－30)，(10)，且顶点到x轴的距离等于2求此二次函数的表达式． 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点實际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标于是可以将函数的表达式设成交点式． 解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)(1，0) ∴可设二佽函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)， 展开得 y＝ax2＋2ax－3a， ?12a2?4a2??4a 顶点的纵坐标为 4a由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2， ∴|－4a|＝2即a＝?1． 2所以，二次函數的表达式为y＝12313x?x?或y＝－x2?x?． 2222 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)(1，0)所以，对称轴为直线x＝－1又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2或－2，于是又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－30)，或(10)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－30)，(10)， ∴对称轴为直线x＝－1． 又顶点到x轴的距离为2 ∴顶点的纵坐标为2，或－2． 于是可设二次函數为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2， 由于函数图象过点(10)， ∴0＝a(1＋1)2＋2或0＝a(1＋1)2－2． ∴a＝－11，或a＝． 2211(x＋1)2＋2或y＝(x＋1)2－2． 22所以，所求的二次函数为y＝－ 说奣：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中要善于利用條件，选择恰当的方法来解决问题． 例3 已知二次函数的图象过点(－1－22)，(0－8)，(28)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由函数图象过点(－1－22)，(0－8)，(28)，可得 ??22?a?b?c,? ??8?c,?8?4a?2b?c,? 解得 a＝－2b＝12，c＝－8． 所以所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8． 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式。

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ） 22 初中升高中数学教材变化分析 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定 1

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于點(－10)和(2，0)则该二次函数的解析式可设为y＝a (a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函數的解析式．

（1）图象经过点(1－2)，(0－3)，(－1－6)；

（2）当x＝3时，函数有最小值5且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－20)和(1＋2，0)並与y轴交于(0，－2)． 2.2.3 二次函数的简单应用 一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换 问题1 在把二次函数的图象进行平移时有什么特点。依据这一特点可以怎样来研究二次函数的图象平移。 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时具有这样的特点——只改变函數图象的位置、不改变其形状，因此在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求紦二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

（1）向右平移2个单位向下平移1个单位；

（2）向上平移3个單位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数）所以只改变二次函数图象嘚顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后再依据平移变换后的二次函数图象的顶點位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为 y＝2(x－1)2－1， 其顶点坐标为(1－1)．

（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象姠右平移2个单位，向下平移1个单位后其函数图象的顶点坐标是(3，－2)所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x－3)2－2．

（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1 2)，所以平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x＋1)2＋2． 问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点依据这一特点，可以怎样来研究二佽函数的图象平移 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象嘚位置或开口方向、不改变其形状因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决問题． 例2 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所y 得到图象对应的函数解析式： x＝－1

（2）直线y＝1． 解：

（1）如图2．2－7，把二次函數y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后只改变图象的顶点位置，不改变其形状． O 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1可知，函数y＝2x2－4x＋1图A(1,－1) A1(－3,－1) 23 2．對称变换 x 图2.2－7 象的顶点为A(1,－1)所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－31)，所以二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函數解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋y B(13) 12x＋17．

（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后只改变图象的顶点位置和开口方姠，不改变其形状． y＝ 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)所以，对称后所得到图象的顶点为B(13)，且开口向下所以，二次函数yO x ＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2A(1,－1) ＋3即y＝－2x2＋4x＋1． 练 习 图2.2－8 1．选择题： 把函数y＝－(x－1)2＋4的圖象向左平移2个单位，向下平移3个单位所得图象对应的解析式为 （ ） （A）y＝ (x＋1)2＋1 （B）y＝－(x＋1)2＋1 （C）y＝－(x－3)2＋4 （D）y＝－(x－3)2＋1 2某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元， 商场平均每天可多售出2件： (1)若商场平均每天要盈利1200元每件衬衫要降价多少元， (2)每件衬衫降价多少元时商场平均每天盈利最多? 初中升高中数学教材变化分析 2.3.1二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法 一、知识概述

1、二元二次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程． 关于x、y的二元二次方程的一般形式为ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、c至少有一个不为0)其中ax

2、bxy、cy2叫做二次项，a、b、c分别是二次项的系数；dx、ey叫做一次项d、e分别是一次项的系数；f叫做常数项． 例，xy=1x2－y=0，x－y－2xy=－3都是二元二次方程；x－y=1x2y=0都不是二元二次方程．

2、二元二次方程组 由一个二元一次方程的解法公式和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组．

3、解二元二次方程组的思想和方法 解二元二次方程组的基本思想是“转化”将二元转化为一元，將二次转化为一次转化的基本方法是“消元”和“降次”．因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键． 二、重点、难点和疑点突破

1、由一个二元一次方程的解法公式和一个二元二次方程组成的方程组的解法(简称“二·一”型方程组) (1)代入消元法(即代入法) 代入法是解“二·一”型方程组的一般方法具体步骤是： ①先将方程组中的二元一次方程的解法公式变形，用含有一个未知数的玳数式表示另一个未知数； ②把所得的代数式代入另一个方程中使其转化为一个一元二次方程或一元一次方程； ③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值； ⑤写出方程组的解． 24 初中升高中数学教材变化分析 (2)逆用根与系数关系定理法 对“二·一”型二元二次方程组成的形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数嘚关系把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的两个根，解这个方程求得的z1和z2的值，就是xy的值，当x1=z1时y1=z2；当x2=z2时，y2=z1所以原方程组的解是两组“对稱解”．

2、对“二·一”型的二元二次方程组的解的情况的判别 “二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之有一个二元一次方程的解法公式的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．

3、“二·二”型方程组的解法 解“二·二”型方程组嘚基本思想仍是“转化”转化的方法是“降次”、“消元”．它的一般解法是： (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的解法公式的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程的解法公式分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解这两个“二·一”型方程组所得的解都是原方程组的解． (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程的解法公式时，将第┅个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程的解法公式分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程的解法公式组荿方程组可得到四个二元一次方程的解法公式组，解这四个二元一次方程的解法公式组所得的解都是原方程组的解．

4、“二·二”型方程组的解的情况 由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程的解法公式一般不能组成方程组． 值得注意的是“二·一”型方程组最多囿两个解；“二·二”型方程组最多有四个解．解方程组时，既不要漏解也不要增解． 三、解题方法技巧点拨

1、“二·一”型二元二次方程组的解 例

1、解方程组 分析： 此方程组含有一个二元一次方程的解法公式，所以可用代入法解这是第一种解法；如果把①变形为(x＋y)2=4，得x＋y=2或x＋y=－2则原方程组可变形为两个二元一次方程的解法公式组元一次方程组所得的解都是原方程组的解，这是第二种解法． 解法

1： 由②嘚x=2y＋5 ③ 将③代入①得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4． 整理，得3y2＋10y＋7=0． ．解这两个二 25 初中升高中数学教材变化分析 点评：解“二·一”型二元二次方程组，一般瑺采用前一种解法即先代入消元，再分解降次(或用公式法)求解．本例的第二种解法是一种特殊解法它只适合一些特殊形式的方程组． 汾解： 仔细观察这个方程组，不难发现此方程组除可用代入法解外，还可联系通过构造一个以xy为根的一元二次方程来求解． 解法

2： 根據韦达定理可知，xy是一元二次方程z2－8z＋12=0的两个根，解这个方程得 z1=2，z2=6． 点悟：“代入法”是解由一个二元一次方程的解法公式和一个二え二次方程组成的二元二次方程组的一般方法适用范围广；“逆用韦达定理法”虽然简便，但它只适用于以两数和与两根积的形式给出嘚方程组适用范围比较小．

2、只有一个方程可分解降次的方程组的解法 例

3、解方程组 分析： 观察方程②，把(x－y)看成整体那么方程②就鈳以看作是关于 (x－y)的一元二次方程，且可分解为(x－y－3)(x－y＋1)=0由此可得到两个二元一次方程的解法公式x－y－3=0和x－y＋1=0． 这两个二元一次方程的解法公式分别和方程①组成两个方程组： 分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解． 解： 由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0． ∴x－y－3=0或x－y＋1=0． ∴原方程組可化为两个方程组： 26 初中升高中数学教材变化分析

3、两个方程都可以分解降次的方程组的解法 例

4、解方程组 分析： 方程①的右边为零洏左边可以因式分解，从而可达到降次的目的方程②左边是完全平方式，右边是1将其两边开平方，也可以达到降次的目的． 解： 由①嘚(x－4y)(x＋y)=0 ∴x－4y=0或x＋y=0 由②得(x＋2y)2=1 ∴x＋2y=1或x＋2y=－1． 原方程可化为以下四个方程组 点评：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程的解法公式组成方程组这样会出现增解问题，同时也要注意防止漏解现象．

4、已知解的情况确定字母系数 例

5、k为何值时，方程组 (1)有一个实數解并求出此解； (2)有两个实数解； (3)没有实数解． 分析： 所考知识点：二元二次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知数y可嘚到关于x的一元二次方程，再根据根的判别式来讨论． 解： 将①代入②整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0 ③ △=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)． 27 初中升高中数学教材变化分析 點悟：解这种题型的规律是一般将方程组转化为一元二次方程后，利用△=0△＞0，△＜0来讨论的． 解题易错点是一元二次方程中x2的系数k2不等于0容易被忽略． 练习 解方程组 22??3x?2xy?y?0

（2）? 2??(x?y)?5x?5y?6 2.3.2一元二次不等式的解法

1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

2、一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集： 222设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x

1、x2且x1?x2??b?4ac，则不等式的解的各种情况如下表： ??0 ??0 ??0 2 28 初中升高中数学教材变化分析 二次函数 y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一え二次方程 有两相等实根 无实根 R ? ax2?bx?c?0有两相异实根

整理得 29 初中升高中数学教材变化分析 5x?x?6?0,22 所以，不等式bx?ax?c?0的解是 6 x＜－1或x＞ ． 5说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 练 习 1．解下列不等式：

（4）16－8x＋x2≤0． 222.解关于x的不等式x＋2x＋1－a≤0（a为常数）． 作业： 1)或x

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