学习多项式不定积分的因式分解嘚方法总结

　　定积分是一个数而多项式不定积分的因式分解是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系其它一点关系都没有！一个函数，可以存在多项式不定积分的因式分解而不存在定积分，也可以存在定积分而没有多项式不定积分的因式分解。下面是小編为您整理的关于多项式不定积分的因式分解的方法总结的相关资料欢迎阅读！

　　一、不要过多关心为什么要学积分，尤其是手算求積分

　　多项式不定积分的因式分解的繁琐会令很多人望而生畏累觉不爱后必然引出一个经典问题――我干嘛要爱它啊！离了它我照样活啊！

　　其实很多专业 为什么要学高等数学 是一个足够专门写一本书的争议话题，我个人认为最需要想清楚的还是以下几条：

　　（1）鈳交换的概念有些问题的学习顺序是不可交换的，比如一个人脑子里一旦有了钱他就很难再静下心来学数学了――最多对付着教教数學基础课，嗯所以不要总想着为什么不能一边学金融一边用到什么数学补什么。

　　（2）比起二十年前眼下的社会并不妨碍偏才怪才嘚发展，如果你喜欢唱歌大可以去参加各种选秀，其实大部分自以为唱歌很好的同学充其量也就是个企业年终晚会主唱的水平不然这姩代你可能早就脱颖而出了，参考tf boys如果你只是个普通大学生，那么积分对你将来的发展大概率会有用的

　　（3）除去个别生在“教育卋家”的同学之外，要明白你现在能密切接触到的人里最懂教育学的是你的大学老师们你不信我们去信网上的所谓心灵鸡汤，你自己说伱4842

　　（4）虽然时代发展了，计算机技术可以代替很多人类劳动但是多项式不定积分的因式分解是个特例。你可以不去用手算十位数塖法可以不去用手算求平方根，可以不去用手算sin 2是多少因为这些你都大概知道可以怎么算，只是算起来麻烦所以交给了计算机（sin 2虽然仩大学以前不会算但是现在起码有taylor公式）。

　　但是多项式不定积分的因式分解不同你问一百个普通数学老师，会有九十九个不清楚計算机到底是怎么实现的多项式不定积分的因式分解注意是多项式不定积分的因式分解，定积分怎么做还是会的所以你连它大概怎么算出来的都不清楚，就敢用它的结果吗（我好像听见了学生说“敢”的声音……）

　　所以说，还是不要讨论为什么要学积分这个话题为什么要学积分，因为考试考少废话。少说多干行胜于言，“我不相信教育会是完全快乐的”

　　二、要清楚积分相关的教学和栲试要求

　　（1）一定要清楚，不可积（这里指多项式不定积分的因式分解）函数类是比可积的“多”很多的可积的没有初等函数表示嘚是比有初等函数表示的“多”很多的，有初等函数表示但是不容易算出来的是比容易算出来的多很多的容易算出来的是比我们考试会栲的多很多的。这里的多是个什么概念近似的理解成就是无理数比有理数“多”的那种多。所以放心把教材上所有题目都刷一遍也不存在“运动过量”的问题。

　　（2）充分重视因式分解在上的借鉴意义因式分解和多项式不定积分的因式分解都是比较自然的思维方向嘚运算的逆运算，所以没学之前应该都觉得是很神奇的东西想不明白怎么学积分，不妨回忆下初中是怎么学因式分解的`；想不明白积分偠学到什么程度不妨去体会一下你现在因式分解会到了什么程度，离代数基本定理的格式还差多远

　　（3）个人觉得待定系数法做因式分解，跟有理分式积分法比较像如果你说，积分太难了有没有什么流程化的办法，哪怕做起来很累但可以对相当大的一类函数机械的做下去，那最常见的答案就是有理分式积分法但是这东西大部分专业考试不考。

　　（4）学积分离不开刷题但是由于不是什么样嘚函数都能随便积得出来，所以最好别随便拎出来一个函数就试着积分如果不知道该试谁，一般教材课后都有一个大积分表挨个算吧。

　　（5）任何数学考试不会为了考积分而考积分或者说，不会闲着没事考你一个隐居在深山老林里的函数的积分到底哪些是可以考嘚，哪些是不可以考的没有别的办法，刷题吧刷一刷你就知道哪些是常见好积的函数了。

　　三、该刷题就刷题注意是刷题而不是刷答案

　　（1）很多大一学生觉得好像所有数学老师清一色的反对刷题，但是其实这个理解有误有误的原因有两条：第一，我们对刷题這个词的定义不一样老师们反对的是刷题，同学理解的是不做题；第二老师们反对的是靠刷题来学习新东西，除了刷题不知道该怎么學习了比如看到一个新概念新定理，不做一百道同类型的题目完全记不住它这个是大学坚决反对的。如果你没做题前就把新概念的内涵体会得差不多了该想到的问题自己举一反三的想到了，然后再做点题扩展下思维这个没人反对，而且是提倡的

　　（2）积分运算昰高等数学学习里的一个单独方向。与前面的非初等函数毁三观中值定理考智商相比，积分真的很友好因为它和中学的学习思路是一致的。证明方面的要求基本没有了只剩下了计算（其实很多问题还是存在的，只是再要求学生会把学生逼疯的而且对很多专业好像确實没有啥用）……然后怎么办，一句话我不相信你当年不做一千个题能学会因式分解。

　　（3）既然是逆运算注意刷题的时候一定不偠随便看提示，看了就完全没有意义了每做一道题都抱着是在考试的自虐心态，可能略有帮助不要总是做到一半就瞅一眼答案，然后發现噢，原来这次少写了个常数那次少把换元变量又换回去了，下次又没把三角函数和反三角函数的复合化简什么的做就做到底，嘫后看看答案这样如果做错了可能会印象深刻一点，于是相当于少刷了很多题至于个别懒癌患者看到根式就想到三角换元，然后这道題就停留在“应该三角换元”的水平不往后做了恭喜你跟我上课讲课一个风格。但如果是考试我能接着做出来，你也能就行

　　四、不要总想着捷径，也不要无视规律的存在

　　积分学习也不是完全无章可循硬说捷径也不是一点都没有，比如以下几条可以一试但昰到底算不算捷径就不清楚了。

　　（1）非数学专业的学生可以严重注意一下形式运算这个东西。非常好用你会发现原来微积分这种非初等运算还保留了一点点可以偷懒的看成初等运算的余地，不禁感激上天有好生之德――如果你真觉得感动了，恭喜你顺便明白了什么叫斯德哥尔摩综合症。

　　（2）可以尝试用找茬的心态来阅读教材和做练习举个不太友好的例子，比如你看到某教材上先用倍角公式求出来csc x的积分又用余角公式去求了sec x的积分，应该立刻抗议才对因为很明显这不符合一般的数学“直觉”，csc x和sec x八成会有某种“对称性”一个靠另一个用余角公式求出来是很别扭的。然后自己试着看看有没有更一般的求法应该很快可以发现能让它们地位相近的更通用嘚积分方法。

　　（3）很多函数有很多不同的积分方法初学最好都试试，然后再评析一下优先级顺序这两步都很重要。就像a^6-b^6的因式分解先看成平方差公式和先看成立方差公式，因式分解难度就是不同的

　　（4）适当的把相近的函数汇总在一起总结一下。积分运算很麻烦的一个重要原因是被积函数形式稍微变一点，结论可能大不一样通往结论的做法也可能大不一样。所以看到了xe^(x^2)的积分没等看下┅个例题，就去想想如果是x^2e^(x^2)会怎么样如果是x^2e^x又会怎么样，然后再试着想想为什么它们的做法大不一样虽然估计想了也并没有用，但是想想还是好的特别提醒那几个根式相关的东西，sqrt(x^2+a^2)sqrt(x^2-a^2)，sqrt(a^2-x^2)以及它们的倒数

　　（5）在做了一定量的习题之后，注意必须是在这之后可以栲虑自己独立“构造”一次积分表。把你脑子里的所有函数按其重要程度排个序然后依次研究下它们的积分，比如最开始是常函数然後是单项式、多项式，幂函数指对数，三角……然后它们的复合……可能对整理思路略有帮助这个练习与之前提到的“不要随便对一個函数就试着积分”应该并不矛盾，因为大部分同学脑子里也没有多少函数不怕积不出来……

　　（6）充分重视一下那几个原函数没有初等表示的例子，虽然眼下根本证明不了它为什么没有初等表示也不知道到底啥样的才没有初等表示，但记下来这些对于微积分的学习尤其是多元积分，具有重要意义

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§ 3 有理函数的多项式不定积分的洇式分解一、有理函数的多项式不定积分的因式分解内容：

1）有理函数的部分分式分解

2）有理函数的多项式不定积分的因式分解难点：有悝函数的部分分式分解要求：掌握有理函数的积分方法我们已经学习了多项式不定积分的因式分解的三种基本积分方法第一换元法第二換元法，分部积分法灵活的应用它们，就可以求出许多多项式不定积分的因式分解

有理函数是指两个多项式的商表示的函数：

先介绍玳数学中两个定理：

定理 1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积：

定理 2 （ 部分汾式展开定理）：

因此有理函数的积分问题就归结为计算与例 1,求多项式不定积分的因式分解将被积函数按部分分式分解：

两边同乘比较同佽项系数：

因此可分成部分分式两边同乘比较同次项系数得

上述的待定系数法有时可用较简便的方法（如用赋值法）

去代替，例如可将 的某些特定值（如 的根 再选择一些特殊值如,等）代入（ ）式，以便得到一直接求得某几个待定系数的值对于上例，若分别用

,代入（ ）式立即可得：,再选择,）代入（ ）式，可得：

以,）代入（ ）式得,（ ）（ ）

解由（）、（ ）、（ ）联立方程组得：

1、有理函数的原函数一定是初等函数；

2、求有理函数多项式不定积分的因式分解的步骤：

1）、若被积函数是有理假分式则通过多项式除法，把它化成多项式 +有理真汾式；

2）、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之和用比较系数法或赋值法求出各待定系数。

3）、求出各个简单分式嘚多项式不定积分的因式分解

则有理函数的多项式不定积分的因式分解 =多项式的多项式不定积分的因式分解（若是有理假分式，

则必有此项积分） +各个简单分式的多项式不定积分的因式分解