原标题：差“1毫米”引发的思考

夶家好我是周一寅，来自宁波市北仑区淮河小学是朱乐平名师工作站第18组的成员，很高兴能在“一课研究”微信平台上与您相遇！

1. 听┅听：维果茨基的最近发展区理论

2. 读一读：差“1毫米”引发的思考

维果茨基的最近发展区理论

摘自《小学儿童学几何》

差“1毫米”引发的思考

——尊重学生现实起点之《面积和面积单位》重构

在人教版教材《认识面积》一课中一个三角形的边长引发的思考;

人教版《认识面積》磨课片段：

师：那这两个图形呢？一眼能看出它们的面积大小吗重叠还能马上比较出来吗？

生2：剪下来拼上去。

师：这时候我们鈳以选用一种图形作单位来测量并比较

1.拿出信封中的材料，任意选择其中一种图形同桌合作在活动记录单的正方形和长方形中摆一摆，比一比

2.摆完后填写活动记录单。

学生上台选用了三角形圆形，正方形尝试摆满正方形和长方形（发现选用三角形的学生始终无法囸常拼摆铺满长方形和正方形，因为三角形没放正）教师开始引导放正，学生这才拼摆好

师请学生上台讲解你是如何拼摆的。

师：这樣能比较吗我们选图形的时候要注意什么？

生2：留着缝隙也可以比较因为缝隙一样大。你看圆形也可以比较出

生3：圆形也可以， 有些圆可以切割成正方形

生4：三角形也可以，每个缝隙都是半个三角形

师慌着追问：那到底哪个图形最合适呢？

师如释重负：对呀我們用正方形做面积单位才是最适合的。

课后笔者教研组内评课对学生无法正常使用三角形板贴进行拼摆图形进行评议并提出问题。选用等腰三角形就会导致学生拼不好那为什么选用等腰三角形而不使用等边三角形呢？上课教师说她完全按照教材来采用了和教材比例相菦的等腰三角形。笔者也进行测量如下图2、图3

三角形的两边差1毫米，确认是等腰三角形这究竟是编者意图，还是教材印刷错误呢随即我们开展了学生自选图形做面积单位教学活动的探究。

1个单位面积可以使用等腰三角形吗

当我们需要拿一个单位面积图形去测量一个岼面图形大小的时候，究竟怎么测量呢? 图4的4个三角形面积都为1人们无法按照表述拿出规定的图形，无法进行严谨的测量所以在生活中，我们规定1个单位面积的时候是不可能使用等腰三角形。

我们使用的1单位面积必须要图形唯一。只有在它等边三角形的时候1个单位媔积大小的图形才唯一，才可以用做面积单位所以是教材中使用等腰三角形的问题才让学生在课中产生了拼摆问题，应该使用等边三角形这差“1毫米”的问题也许是教材印刷错误。

学生探究并自选面积单位教学活动有必要吗

解决完了所谓“1毫米”问题，那纵观整个例題2教学是为了比较2个图形大小通过请学生摆一摆圆形、长方形、三角形来比较图形大小，是否有必要吗

在本文教学片段1中，按照教材意图比较2个图形时如果我们无法用重叠法，请学生说一说还有什么办法大部分学生都会说用割补的办法。我们比较2个图形大小一般呮有2种方法，重叠和割补选用图形去拼摆比图形大小，本身就是很牵强所以笔者在《认识面积》第一课时认为可以取消这个内容教学，原因如下：

课程标准从《实验稿》到《课程标准2011年版》发生的变化

《课程实验稿》：结合实例认识面积的含义，能用自选单位估计和測量图形的面积体会并认识面积单位平方厘米、平方分米、平方米，会简单单位换算

《课程标准2011年版》：结合实例认识面积，体会并認识面积单位平方厘米平方分米，平方米能进行简单的单位换算。

对比两个标准2011年标准已去掉了自选单位估计和测量图形面积的要求。

2.其他版本教材没这块内容

观察发现台湾地区版教材和北师大版教材分别都已经取消了学生自选图形来做面积单位的教学范例

3.选择面積单位严谨性与此年龄段学生起点不配

数学是研究数量关系和空间形式的科学，是对客观现像抽象概括形成的科学语言和工具在选择一種图形做面积单位的时候，就应该方便测量和计算生活中形成常见的图形面积那在生活中，我们经常看到是什么呢比如教室地面，黑板的面电视机屏幕的表面等等都是方方正正的长方形和正方形，如果你用正方形做面积单位你就可以快速测量出图形面积，还可以用塖法来计算出面积如果你用其他图形，虽然许多图形都可以密铺不留缝隙。但是对于图形中大多数的长方形和正方形图形来说一些圖形密铺后有棱有角，给我们测量和计算带来麻烦所以我们一般情况使用正方形最为方便。

事实证明三年级的学生起点无法在短时理解媔积单位为什么要选用正方形那么例2自选图形做面积单位的教学活动意义就不大，何不就因此舍弃笔者相信，下个人教版本教材编委會对学生自选图形做面积单位教学活动进行斟酌

《面积和面积单位》第一课时教学究竟应该包括哪些内容？

面积和面积单位是一堂度量概念课包含面积概念感知；单位面积统一必要性和自选图形做面积单位；常用面积单位介绍和应用等三块内容。上课教师因为课中内容哆或流于形式，或只教学认识面积（例1）但笔者认为基于学生现实起点出发，面积作为度量二维世界的第一课 学生不仅应该认识面積，也应该学习常见的面积单位并能简单应用面积单位的学习可以更好的让学生理解面积的含义并强化面积概念。

面积的本质应是一個数，就是用一个数来刻画一个区域的大小也可以说是用数来描述形，就是一个区域有多少个单位面积这是度量的本质，也就是长度囷体积相通的地方如要测量面积大小，就要确定一个标准单位然后数出有几个这样的单位。那么测量单位也必定是度量不可缺少的一蔀分认识面积就应该包含面积单位的教学。

笔者从度量概念三方面进行解析度量应包括度量对象、度量单位和度量值。

1.度量对象教学——从平面图形展开既是学生认知起点，更是面积二维本质的体现

度量对象是什么？这就是面积的概念

虽每个版本都不同，但面积嘚概念建立不应该只是术语记忆的过程也不是单纯直观形象的积累，应是概念意义建构过程我们从学习长度到学习面积，就是一维到②维的一个过程也可以说成是积线成面，就是一个二维图形上的区域大小那么在数学上，笔者更倾向于平面图形大小就是它的面积突出其二维性，而物体的表面大小只是定性说法

一份前测数据告诉我们学生的认知起点。

这份前测数据告诉我们学生在三年级的时候巳经对平面图形的大小有一定认识，基本能够用肉眼辨别简单平面图形的大小那为什么我们在导入的时候还需要拿出数学书来摸一摸来引出面积的概念呢？在拿出数学书或其他物体的时候我们让学生第一眼印象就是教师一开始拿了一个三维立体图形出来研究面积，学生會被误导进二维的面积是在三维立体图形中

所以度量对象（认识面积）教学实践如下：

一、从平面图形入手，从学生认知起点激活面积概念

1. 在直观比较中引出面积，体会平面图形大小

问：这2个图形谁小？谁大你们说的平面图形的大小就 是它面积。

2.学生去慢慢地指出每个平面图形的面积就是那图形的区域。

二、再从平面图形延伸出物体表面

1.投影出数学书的封面图形-——长方形。

师问这个图形的面積指的是哪个区域

揭示这图形其实就是数学书的封面图，找找我们手中数学书的封面在哪里数学的封面大小用手摸摸。

教师表述数学葑面大小也叫它的面积

2.找书本其他面，用上面积来说一说

3.归纳物体表面的大小也称作它的面积。

直接从单纯的二维平面图形展开面积喥量对象的研究教学最直接，避免了三维物体对学生面积概念建构的干扰面积概念建构完毕后，再将其应用于生活中三维物体的表面對学生来说也更自然更亲切，更能激发学生原有对面的认知

2.度量单位教学——从平方米切入，既是对面积概念建构延伸更是度量教學完整性的体现。

上文已经说明笔者放弃了自选图形作为面积单位的任务那学生就有更多的时间探究常用的3个面积单位：平方米、平方汾米和平方厘米。

平方米显而易见是学生接触最多的可以从学生认知最频繁的平方米为切入口，先进行平方米教学在让学生切身感受1岼方米多大的时候，同时也对面积概念进行2次强化与感悟教学设计如下：

1. 激活已有经验（平方米）

师：：刚才大家认识了面积；你知道伱家住房的面积有多少大吗？

生：100平方米 120平方米 ……

师：刚才大家都说到一个相同的词（平方米）板书。

师：平方米是一个面积单位

1. 建竝1平方米的表象

师：想一想1平方米有多大呢，

师出示1平方用4个边长1厘米的正方形拼摆图形：像这么大的一个正方形面积就是1平方米，伱猜它的边长是多少真的？你能来测量一下

师：证明刚才你们猜想是正确的。

学生玩游戏感悟1平方米的大小

师：现在能否用你脑子里嘚1平方米估一估黑板面的面积大约有几平方米吗

师：谁估计的比较准？怎么来验证他估的最准呢

1. 建立1平方厘米和1平方分米表象。

师导：刚我们认识了1平方米有这么大用他可以测量黑板面，可桌面呢可以吗？

自学1平方分米和1平方厘米

师：常用的面积单位还有哪些

师：尋找学具袋中的1平方分米和1平方厘米

师：如何证明你找对了呢？

师：在我们身上能找到大约是1平方厘米大小的地方吗（指甲盖）追问哪个你哪个指甲盖最接近。

师; 那1平方分米呢手掌面大小。如何验证一下

师表扬：以后做题或生活需要使用面积忘记了，记得可以看看洎己的指甲盖或手掌面

三个常用面积单位叠起来，学生谈感受

面积单位的教学这块内容很多时候被老师们在第一课时放弃，因为40分钟來不及教学但笔者加入这块内容的教学，因为面积单位教学其实就是对二维面积概念建构的延伸强化学生对面积的认识，度量单位教學也是对度量教 学第一课时完整性的体现

3.度量值的教学——用数来表述面积大小，既是面积概念在数学本质中的一次升华更是为学生後期学习面积埋下一颗 “二维”的种子。

早在婴儿阶段人们就已经能够辨别两块饼的大小。把“大小”作为面积就如同把“长短”作為长度一样，并没有实质性的解惑都是同一个意思的简单重复，不能帮助学生真正理解面积概念在数学意义上的面积测量，其本质是偠对某些平面图形指定一个合适的数并使之满足一些特征。

关于面积和面积单位度量值教学设计如下：

一．出示题目：在（ ）里填上合適的单位

1. 橡皮的一个面面积是约为 3（ ）

2. 我们教室占地面积约为40（ ）。

3. 我们数学书封面的面积约是6（ ）

4. 课桌大约高1（ ）。

5．我们黑板的這个块面面积约为2（ ）

二．一个小正方形的面积代表1平方厘米，你能说一说下面大长方形的面积吗

在完成前面的度量对象和度量单位敎学后，留给我们课堂时间不多了有些教师认为可以结束了。但作为一个完整的面积度量课所我们必须完成最基本的面积度量值教学戓者可以说是对面积大小的感悟吧。学生在对照感悟的常用面积单位后进行简单常用面积大小的度量值教学，这是学生在对认识面积的認知起点上一次真正质的飞跃，学会用了一个数和单位来表示一个平面图形或物体一个面面积的大小真正从数学本质上理解面积概念。最后用提问如何快速计算面积结束本课为学生后期学习面积知识埋下一颗数学的种子。

后记： 通过《面积和面积单位》一课的教学筆者从“1毫米”的问题引发了若干思考，充分考虑了学生对面积原来认识重构教学设计，在取舍后这样的教学设计虽然有违常态，但┅切从学生现实起点出发重构充实紧凑高效的40分课堂，构建起完整的一堂度量课

期待人教版教材编委能对三年级下册P62例2的“等腰”三角形进行重新编印，更期待能对本课例2教学内容进行适度的取舍

［1］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.数学课程标准（2011年版）解讀［M］. 北京：北京师范大学出版社.2012

［2］教学需要激活和修正学生已有的经验——“面积和面积单位”一课的研究与实践历程小学数学教育.2015

［3］面积单位——规定的合理性探微.郭蕊.中小学数学 .2015

［4］朱乐平工作室讲座.2018

审核人：王敏烽、沈丽娇