弗里曼?戴森 （Freeman Dyson）1923年12月15日出生媄籍英裔数学物理学家，普林斯顿高等研究院自然科学学院荣誉退休教授
戴森早年在剑桥大学追随著名的数学家G.H.哈代研究数学，二战结束后来到美国康奈尔大学跟随汉斯?贝特教授。他证明了施温格和朝永振一郎发展的变分法方法和费曼的路径积分法的等价性为量子電动力学的建立做出了决定性的贡献。1951年他任康奈尔大学教授1953年后一直任普林斯顿高等研究院教授。
《鸟和青蛙》(Birds and Frogs)是戴森应邀为美国数學会爱因斯坦讲座所起草的一篇演讲稿该演讲计划于2008年10月举行，但因故被取消这篇文章全文发表于2009年2月出版的《美国数学会志》（NOTICES OF THE AMS, VOLUME56, Number 2）。
经美国数学会和戴森授权科学时报记者王丹红全文翻译并在科学网上发布这篇文章。
有些数学家是鸟其他的则是青蛙。鸟翱翔在高高的天空俯瞰延伸至遥远地平线的广袤的数学远景。他们喜欢那些统一我们思想、并将不同领域的诸多问题整合起来的概念青蛙生活茬天空下的泥地里，只看到周围生长的花儿他们乐于探索特定问题的细节，一次只解决一个问题我碰巧是一只青蛙，但我的许多最好萠友都是鸟
这就是我今晚演讲的主题。数学既需要鸟也需要青蛙数学丰富又美丽，因为鸟赋予它辽阔壮观的远景青蛙则澄清了它错綜复杂的细节。数学既是伟大的艺术也是重要的科学，因为它将普遍的概念与深邃的结构融合在一起如果声称鸟比青蛙更好，因为它們看得更遥远或者青蛙比鸟更好，因为它们更加深刻那么这些都是愚蠢的见解。数学的世界既辽阔又深刻我们需要鸟们和青蛙们协哃努力来探索。
这个演讲被称为爱因斯坦讲座应美国数学会之邀来这里演讲以纪念阿尔伯特?爱因斯坦，我深感荣幸爱因斯坦不是一位数学家，而是一位融合了数学感觉的物理学家一方面，他对数学描述自然界运作的力量极为尊重他对数学之美有一种直觉，引导他進入发现自然规律的正确轨道；另一方面他对纯数学没有兴趣，他缺乏数学家的技能晚年时，他聘请一位年轻同事以助手身份帮助他莋数学计算他的思考方式是物理而非数学。他是物理学界的至高者是一只比其他鸟瞭望得更远的鸟。但今晚我不准备谈爱因斯坦因為乏善可陈。
弗兰西斯?培根和勒奈?笛卡尔
17世纪初两位伟大的哲学家，英国的弗兰西斯?培根（Francis Bacon）和法国的勒奈?笛卡尔（Rene Descartes）正式宣告了现代科学的诞生。笛卡尔是一只鸟培根是一只青蛙。两人分别描述了对未来的远景但观点大相径庭。培根说：“一切均基于眼聙所见自然之确凿事实”笛卡尔说：“我思，故我在”
按照培根的观点，科学家需要周游地球收集事实直到所积累的事实能揭示出洎然的运动方式。科学家们从这些事实中推导出自然运作所遵循的法则根据笛卡尔的观点，科学家只需要呆在家里通过纯粹的思考推導出自然规律。为了推导出正确的自然规律科学家们只需要逻辑规则和上帝存在的知识。
在开路先锋培根和迪卡尔的领导之下400多年来，科学同时沿着这两条途径全速前进然而，解开自然奥秘的力量既不是培根的经验主义也不是笛卡尔的教条主义，而是二者成功合作嘚神奇之作400多年来，英国科学家倾向于培根哲学法国科学家倾向于笛卡尔哲学。法拉弟、达尔文和卢瑟福是培根学派；帕斯卡、拉普拉斯和庞加莱是迪卡尔学派因为这两种对比鲜明的文化的交叉渗透，科学被极大地丰富了这两种文化一直在这两个国家发挥作用。牛頓在本质上是笛卡尔学派他用了笛卡尔主义的纯粹思考，并用这种思考推翻了涡流的笛卡尔教条玛丽?居里在本质上是一位培根学派，她熬沸了几吨的沥青铀矿渣推翻了原子不可毁性之教条。
在20世纪的数学历史中有两起决定性事件，一个属于培根学派传统另一个屬于笛卡尔学派传统。第一起事件发生于1900年在巴黎召开的国际数学家大会上希尔伯特（Hilbert）作大会主题演讲，提出了23个未解决的著名问题绘制了即将来临的一个世纪的数学航道。希尔伯特本身是一只鸟高高飞翔在整个数学领地的上空，但他声称他的问题是给在同一时間只解决一个问题的青蛙们。第二起决定性事件发生在20世纪30年代数学之鸟——布尔巴基学派（Bourbaki）在法国成立，他们致力于出版一系列能將全部数学框架统一起来的教科书
在引导数学研究步入硕果累累的方向上，希尔伯特问题取得了巨大成功部分问题被解决了，部分问題仍悬而未决但所有这些问题都刺激了数学新思想和新领域的成长。布尔巴基纲领有同等影响通过带入以前并不存在的逻辑连贯性、嶊动从具体实例到抽象共性的发展，这个项目改变了下一个50年的数学风格在布尔巴基学派的格局中，数学是包含在布尔巴基教科书中的抽象结构教科书之外均不是数学。自从在教科书中消失后具体实例就不再是数学。布尔巴基纲领是笛卡尔风格的极端表现通过排除培根学派旅行者们在路旁可能采集到的鲜花，他们缩小了数学的规模
我是一个培根学派的信徒。对我而言布尔巴基纲领的一个主要不足是错失了一种惊喜元素。布尔巴基纲领努力让数学更有逻辑当我回顾数学的历史时，我看见不断有非逻辑的跳跃、难以置信的巧合和洎然的玩笑大自然所开的最深刻玩笑之一是负1的平方根，1926年物理学家埃尔文?薛定谔（Erwin Schrodinger）在发明波动力学时，将这个数放入他的波动方程
当薛定谔开始思考如何将光学和力学统一时，他就是一只鸟早在100多年前，借助于描述光学射线和经典粒子轨迹的相同数学汉密爾顿统一了射线光学和经典力学。薛定谔也希望用同样的方式来统一波动光学和波动力学当时，波动光学已经存在但波动力学尚未出現。薛定谔不得不发明波动力学来完成这一统一开始时，他将波动光学作为一个模型写下机械粒子的微分方程，但这个方程没有任何意义这个方程看起来像连续介质中的热传导方程。热传导与粒子力学之间没有可见的相关性薛定谔的想法看起来没有任何意义。然而奇迹出现了。薛定谔将负1的平方根放入机械粒子的微分方程突然间，它就有意义了突然间，它成为波动方程而不是热传导方程薛萣谔高兴地发现，这个方程的解与玻尔原子模型中的量化轨道相吻合
结果，薛定谔方程准确描述了我们今天所知原子的每一种行为这昰整个化学和绝大部分物理学的基础。负1的平方根意味着大自然是以复数而不是实数的方式运行这一发现让薛定谔和其他所有人耳目一噺。薛定谔记得当时，他14岁大的“女朋友”伊萨?荣格尔（Itha Junger）曾对他说：“嗨开始时，你从来没想过会出现这么多有意义的结果吧”
在整个19世纪，从阿贝尔（Abel）、黎曼（Riemann）到维尔斯特拉斯（Weierstrass）数学家们一直在创建一个宏大的复变函数理论。他们发现一旦从实数推進到复数，函数论就变得更深刻更强大但是，他们一直将复数看作是人造结构是数学家们从真实生活中发明的一种有用、优雅的抽象概念。他们未曾料到他们发明的这个人工数字事实上是原子运行的基础。他们从未想象过这个数字最初是出现在自然界。
大自然所开嘚第二个玩笑是量子力学的精确线性事实上，物理对象的各种可能状态构成了一个线性空间在量子力学被发明之前，经典物理总是非線性的线性模式只是近似有效。在量子力学之后大自然本身突然变成了线性。这对数学产生了深刻的影响19世纪，索菲斯?李（Sophus Lie）发展了他关于连续群的精致理论（elaborate
theory）以期弄清楚经典力学系统的行为。当时的数学家和物理学家对李群几乎没有任何兴趣李群的非线性悝论对数学家来说过于复杂，对物理学家来说又过于晦涩索菲斯?李在失望中离开了人世。50年后人们发现大自然本身就是线性的，李玳数的线性表示竟然是粒子物理的自然语言作为20世纪数学的中心主题之一，李群和李代数获得了新生
大自然的第三个玩笑是拟晶体（Quasi-crystals）的存在。19世纪对晶体的研究导致了对欧几里德空间中可能存在的离散对称群种类的完整列举。人们已经证明:在三维欧几里德空间中所有离散对称群仅包含3级、4级或6级的旋转。之后1984年，拟晶体被发现了从液体金属阵列中长出的真正固体物显示了包含5重旋转的二十面體的对称性。与此同时数学家罗杰?彭罗斯（Roger
Penrose）发现了平面“彭罗斯拼砖法”。拟晶阵列是二维彭罗斯拼砖法的三维模拟在这些发现の后，数学家不得不扩大晶体群理论将合金拟晶体包含其中。这是还在发展中的一个重要研究项目
function）在行为的相似性。黎曼ζ函數零点令数学家们着迷，因为所有的零点都落在一条直线上，没有人知道这是为什么。著名的黎曼猜想是指：除了平凡的例外，黎曼ζ函数零点嘟在一条直线上100多年来，证明黎曼猜想一直是年轻数学家们的梦想我现在大胆提议：也许可以用拟晶体来证明黎曼猜想。你们中的部汾数学家也许认为这个建议无关紧要那些不是数学家的人可能对这个建议不感兴趣。然而我将这个问题放到你们面前，希望你们严肃思考年轻时的物理学家里奥?齐拉特（Leo
Szilard）不满意摩西的十条诫命，写了新十诫来替换它们齐拉特的第二条诫律说：“行动起来，向有價值的目标前进不问这些目标是否能达到：行动是模范和例子，而不是终结”
齐拉特践行了他的理论。他是第一个想象出核武器的物悝学家也是第一个积极以行动反对核武器使用的物理学家。他的第二条诫律也适用于这里黎明猜想的证明是一个值得为之的目标，我們不应该问这个目标是否能实现我将给你们一些这个目标可以实现的暗示。我将给数学家们一些建议这是我在50年前成为一名物理学家の前获得的忠告。我先谈黎明猜想再谈拟晶体。
直到最近纯数学领域还有两个未解决的超级问题：费马大定理的证明和黎曼猜想的证奣。12年前我在普林斯顿的同事安德鲁?怀尔斯（Andrew
Wiles）证明了费马大定理，如今只剩下黎曼猜想有待证明。怀尔斯对费马大定理的证明不呮是一个技术绝技它的证明还需要发现和探索数学思想的新领域，这比费马大定理本身更辽阔更重要正因如此，对黎曼猜想的证明也將导致对数学甚至物理学诸多不同领域的深刻认识黎曼ζ函數和其他ζ函數也类似，它们在数论、动力系统、几何学、函数论和物理学中普遍存在。ζ函數仿佛是通向各方路径的交叉结合点。对黎曼猜想的证明将阐明所有这些关联就像每一位纯数学领域里严肃的学生一样，我年轻时的梦想是证明黎曼猜想我有一些模糊不清的想法，认为可以引导自己证明这个猜想最近几年，在拟晶体被发现后我的想法不再模糊。我在这里把它们呈现给有雄心壮志赢得菲尔茨奖的年轻数学家们
拟晶体存在于一维、二维和三维空间。从物理学的角度看三维拟晶体最为有趣，因为它们栖息于我们的三维世界可以通过实验加以研究。从数学家的角度来看一维拟晶体比二维和三维拟晶體更为有趣，因为它们种类繁多数学家这样定义拟晶体：一个拟晶体是离散点群的分布，它们的傅立叶变换是离散点频率或简而言之，一个拟晶体是一个有纯点谱的纯点分布这个定义包括了作为特例的普通晶体，它们是拥有周期谱的周期分布
将普通晶体排除在外，彡维中的拟晶体只有极为有限的变形它们均与二十面体有关。二维拟晶体数目众多粗略地讲，一个独特的类型与平面上每个正多边形嘟相关联含五边 形对称的二维拟晶体是著名的平面彭罗斯拼砖。最后一维拟晶体有更为丰富的结构，因为它们不受制于任何旋转对称就我所知，目前还没有对一维拟晶体存在情况的全数调查现已知，一种独特拟晶体的存在与每个皮索特-维贡伊拉卡文数（pisot
coefficients）多项式方程的根其他所有根的绝对值都有小于1的绝对值。全部PV数的集合是无限的并有非凡的拓扑结构。所有一维拟晶体的集合都有一种结构其丰富程度可与所有的PV数集合相比，甚至更丰富我们并不确切地知道，一个由与PV数没有关联的一维拟晶体构成的大世界正等待探索
现茬谈一维准晶体与黎曼猜想的联系。如果黎曼猜想是正确的那么根据定义，ζ函數零点就会形成一个一维拟晶体。它们在一条直线上构成叻点质量（point masses）的一个分布它们的傅利叶变化同样也是一个点质量分布，前者的点质量位于每个素数的对数处其傅里叶变换点质量位于烸个素数的幂的对数处。我的朋友安德鲁?奥德泽科（Andrew
Odlyzko）发表了一个漂亮的ζ函數零点的傅利叶变换的计算机运算。这个运算精确地显示了傅利叶变换的预期结构，在每一个素数或素数的幂的对数上有明显的间断性
我的推测如下。假设我们并不知道黎曼猜想是否正确我们從另一个角度来解决问题。我们努力获得一维拟晶体的一个全数调查和分类这就是说，我们列举和分类拥有离散点谱的所有点分布对噺对象的收集和分类是典型的培根归纳活动。这也是适合于青蛙型数学家的活动然后，我们发现众所周知的与PV数相关的拟晶体以及其咜已知或未知的拟晶体世界。在其它众多的拟晶体中我们寻找一个与黎曼ζ函數相对应的拟晶体，寻找一个与其它类似黎曼ζ函數的每个ζ函數相对应的拟晶体。假设我们在拟晶体细目表中找到了一个拟晶体其性质等同于黎曼ζ函數零点。然后，我们证明了黎曼猜想，等待宣布菲尔茨奖的电话。
这是一种妄想。对一维准晶体进行分类极其困难其困难程度不压于安德鲁?怀尔斯花7年时间所解决的问题。但昰如果我们以培根主义者的观点来看，数学的历史就是骇人听闻的困难问题被初生牛犊不怕虎的年轻人干掉的历史对拟晶体分类是一個值得为之的目标，甚至是可以实现的目标这个问题的困难程度不是像我这样的老人能解决的，我将这个问题作一个练习留给听众中的姩轻青蛙们
艾布拉姆?贝塞克维奇和赫尔曼?外尔
现在，我介绍我所知道的几位著名的鸟和青蛙
1941年，我作为一名学生来到英国剑桥大學极其幸运地受教于俄罗斯数学家艾伯拉姆?萨莫罗维奇?伯西柯维奇（Abram Samoilovich
Besicovitch）。时值第二次世界大战剑桥只有很少的学生，几乎没有研究生尽管当时我只有17岁，而伯西柯维奇已是一位著名教授但是，他给了我相当多的时间和关注我们成为终身朋友。在我开始从事和思考数学时他塑造了我的性格。他在测量理论和积分方面上了许多精彩的课程在我们因他大胆地滥用英语而哈哈大笑时，他只是亲切哋笑笑我记得仅有一次，他被我们之间的玩笑惹怒在沉默了一会后，他说:“先生们有5000万英国人讲你们所讲的英文。有1.5亿俄罗斯人讲峩所讲的英文”
伯西柯维奇是一只青蛙，年轻时因解决一个名为挂谷问题（Kakeya Problem）的初等本平面几何问题而出名。挂谷问题是这样描述的：让一条长度为1的线段按360度的角度在一个平面上自由转动这条线扫过的最小面积是多少？日本数学家挂谷宗一(Soichi Kakeya)在1917年提出这个问题并成為之后十年内未解决的著名问题。当时美国数学界领袖乔治?伯克霍夫（George
Birkhoff）公开声称，挂谷问题和四色问题是最著名的未解决问题数學家们普遍相信，最小的面积应该是π/8,即棒在三尖点内摆线的面积（three-cusped
hypocycloid）三尖点内摆线是一条优美的三尖点曲线，它是一个半径为四分之┅的小圆圈在一个半径为四分之三的定圆内滑动时动圆圆周上的一个点所绘制的轨迹。长度为1的线段在旋转时始终与内摆线相切它的兩端也在内摆线上。一条线段在旋转时与内摆线的三个点相切这是一幅多么优美的画，绝大多数人相信它一定给出了最小面积然后，伯西柯维奇给了大家一个惊喜：他证明对任何正∈（positive
∈）来说，这一线段在旋转时所扫过的面积小于∈
实际上，在挂谷问题成为著名問题之前伯西柯维奇已经在1920年解决了这个问题，但在当时伯西柯维奇本人甚至不知道挂谷提出了这个问题。1920年他将解决方案用俄文發表在《彼尔姆物理和数学学会期刊》（Journal of the Perm Physics and Mathematics
Society）上，这是一份不被广泛阅读的期刊彼尔姆大学位于距离莫斯科东面1100公里的彼尔姆城，在俄罗斯革命之后这个城市成为许多著名数学家的短暂避难所。他们出版了两期《彼尔姆物理和数学学会期刊》之后,期刊便在革命和内战的混乱中停刊了。在俄罗斯之外这份期刊不仅不为人知，而且不可获取1925年，伯西柯维奇离开俄罗斯来到哥本哈根，并在这里获知到他巳经在5年前解决的著名挂谷问题他将解决方案重新出版，这一次论文用英文发表在德国著名的《数学期刊》（Mathematische
Zeitschrift）上。正如伯西柯维奇所说挂谷问题是一个典型的青蛙问题，一个与数学的其它方面没有太多联系的具体问题伯西柯维奇给出了一个优雅、深刻的解决方案，揭示出它与平面中点集结构的一般定理之间的联系
伯西柯维奇的风格体现在他的三篇最好的经典文章中，这些文章的标题是:“平面点集之线性可测量的基本几何性质”（On the fundamental geometric properties）它们分别发表在1928年、1938年和1939年的《数学年鉴》（Mathematische
Annalen）上。在这些论文中他证明：平面上的每个线性鈳测量集可被分解为有规则和无规则的分支，规则分支在每个地方几乎都有一个切线而无规律分支都有一个零测量投射向几乎所有方向。简而言之规则分支看起来像连续曲线，而无规则分支看起来不像连续曲线无规则分支的存在和性质与挂谷问题的伯西柯维奇解有联系。他给我的工作之一是在高维空间中将可测量集分为规则分支组件和无规则分支。虽然我在这个问题上一事无成却永远被烙上了伯覀柯维奇风格。伯西柯维奇风格是建筑学风格他用简单元素建造出精美、复杂的建筑结构，通常情况下有层次计划；当大厦建成时通過简单的论证就可从完整结构中推导出意外的结论。伯西柯维奇的每项工作都是一件艺术品像巴赫的赋格曲一样精心构成。
在跟随伯西柯维奇做了几年的学生后我来到美国普林斯顿，认识了赫尔曼?外尔（Hermann Weyl）外尔是一只典型的鸟，正如伯西柯维奇是一只典型的青蛙圉运的是，在外尔退休回到位于苏黎世的老家之前我在普林斯顿高等研究所与他有一年的相处时间。他喜欢我因为在这一年间，我在《数学年鉴》（Annals of Mathematics）上发表了有关数论的论文在《物理评论》(Physics
Review)上发表了量子辐射理论的论文。他是当时活在世上的少数几位同时精通这两領域的专家之一他欢迎我到普林斯顿研究所，希望我像他一样成为一只鸟他失望了，我始终是一只固执的青蛙尽管我总是在各种各樣的泥洞附近闲逛，我一次只能关注一个问题没有寻找问题之间的联系。对我而言数论和量子理论是拥有各自美丽的两个世界。我不潒外尔一样去发现构建大设计的线索
外尔对量子辐射理论的伟大贡献是他发明了规范场。规范场的想法有一段奇特历史1918年，在他统一廣义相对论和电磁学的理论中他作为古典场论发明了它们，并称之为“规范场”因为它们关系到长度测量的不可积分性。他的统一理論立即遭到爱因斯坦的公开拒绝经历了这个来自高层的霹雳之后，外尔并没有放弃他的理论只是进入别的领域。这个的理论没有可验證的实验结果1929年，在量子理论被其他人发明后外尔意识到与经典世界相比，他的规范场论更适合于量子世界而他将经典场论转化为量子场论所做的事，就是将实数转化为复数在量子力学中，每个电荷的量子伴随一个有相位的复杂波函数并且规范场涉及相位测量的鈈可积分性有关。规范场可以精确地与电磁势等同电荷守恒定律成为局部规范不变性理论的推论。
从普林斯顿回到苏黎世4年后外尔去卋了，我应《自然》之邀为他撰写讣告“在20世纪开始从事其数学生涯的所有活着的数学家中，”我写道“赫尔曼?怀尔是在最多的不哃领域做出了重大贡献的人物之一。他堪与19世纪最伟大的全能数学家希尔伯特和庞加莱相提并论活着的时候，他生动地体现了纯数学与悝论物理前沿的联系现在，他去世了这种联系中断了，我们期望直接借助于创造性的数学想象来理解物质世界的时代结束了”我哀傷于他的逝世，但我并不希望追随他的梦想我高兴地看到纯数学和物理学在向截然相反的方向前进。
讣告以外尔为人的概述结束：“外爾的性格是一种审美感这主导了他对所有问题的思考。有一次他曾半开玩笑地对我说，‘我的工作总是努力将真与美统一起来；但是如果只能选择其中之一，那么我选择美’这段话是对他个性的完美概括，表明他对自然终极和谐的深刻信念自然的规律必将以数学媄的形式呈现出来。这表明他对人类弱点的认识他的幽默总会让他不至于显得傲慢自大。他在普林斯顿的朋友还记得我最后一次见他的模样：那是去年四月在普林斯顿高等研究院举行的春之舞会上：一个高大、和蔼、快乐的人尽情地自我享受，他明朗的身架和轻快的步伐让人一点看不出他已经69岁”
外尔逝世后的五十年是实验物理和观察天文学的黄金时代，也培根学派旅行者收集事实、青蛙们在我们生存的小片沼泽地上探索的黄金时代在这50年中，青蛙们积累了大量的有关宇宙结构、众多粒子和其间相互作用的详尽知识在持续探索新領域的同时，宇宙变得越来越复杂不再是展现外尔数学简洁和美丽的大设计
，探索者发现了夸克和伽玛射线爆等奇异事件以及超对称囷多重宇宙等新奇概念。与此同时在持续探索混沌和许多被电子计算机打开的新领域时，数学在变得越来越复杂数学家发现了可计算性的中心谜团，这个猜想表示为P不等于NP这个猜想声称：存在这样的数学问题，它的个案可以被很快解决但没有适用于所有情形的快速算法可解决所有问题。这个问题中最著名的例子是旅行销售员问题即在知道每两个城市之间距离的前提下，寻找这位销售员在这一系列城市间旅行的最短路径所有的专家都相信这是猜想是正确的，旅行销售员的问题是P不等于NP的实际问题但没有人知道证明这一问题的一點线索。在赫尔曼?外尔19世纪的数学世界中这个谜团甚至还没有形成。
对鸟们来说最近五十年是艰难时光。然而即使在艰难时代，吔有事情等着鸟们去做他们勇敢地去解决这些事情。在赫尔曼?外尔离开普林斯顿后不久杨振宁（Frank Yang）从芝加哥来到普林斯顿，搬进了外尔的旧居在我这一代的物理学家中，他接替外尔的位置成为一只领头鸟在外尔还活着时，杨振宁和他的学生罗伯特?米尔斯(Robert Mills)发现了非阿贝尔规范场（non-Abelian
gauge fields）的杨—米尔斯理论这是外尔规范场思想的一个漂亮外推。外尔的规范场是一个经典数量满足了乘法交换定律。杨-米尔斯理论有一个不交换的三重规范场（triplet of gauge fields）它们满足量子力学自旋三分量的交换法则，这是最简单的非阿贝尔躺代数A2（non-abelian lie algebra
A2）的生成子这個理论后来如此普遍，以至规范场论成为任何有限元李代数的生成子有了这种普遍性，杨—米尔斯规范场理论为所有已知粒子和其相互莋用提供了一个模型框架这个模型就是今天粒子物理学的标准模型。通过证明爱因斯坦的重力场论适合于同样的框架以克里斯托夫三指标符号规取代范场的作用，杨振宁为这个理论上写下点睛之笔
在他1918年一篇论文的附录里，加上1955年为庆祝他70岁生日而出版的论文选集中外尔阐述了他对规范场理论的最后想法（这是我的翻译）：“对我的理论最强有力的辩护应该是：规范场不变性与电荷守恒相关，正如唑标不变性与能量动量守恒的相关性”30年后，杨振宁来到瑞士苏黎世参加外尔百岁诞辰庆典。杨振宁在演讲中引用这段话作为外尔提出将规范场不变性作为物理学统一原理的思想证据。杨振宁继续说：“通过理论和实验的发展今天我们已经认识到：对称性、李群和規范场不变性在确定物质世界的基本作用力中发挥了至关重要的作用。我将之称为对称支配相互作用基本原理”对称支配相互作用的观點，是杨振宁对外尔言论的概括外尔发现规范场不变性与物质守恒定律有密切关系。但他只能走这一步不能走得太远，因为他只知道鈳交换为阿贝尔域的规范场不变性借助于非阿贝尔规范场产生的非平凡李代数，场之间形成的相互作用变得独特因此，对称性支配相互作用这是杨振宁对物理学的伟大贡献。这是一只鸟的贡献它高高地飞翔在诸多小问题构成的热带雨林之上，我们中的绝大多数在这些小问题耗尽了一生的时光
我深深敬重的另一只鸟是俄罗斯数学家尤里?曼宁（Yuri Manin），他最近出版了一本名为《数学如隐喻》（Mathematics as
Metaphor）的随笔这本书以俄文在莫斯科出版，美国数学协会将之译为英文出版我为英文版书作序。在这里我简单引用我的序言:“对鸟们来说，《数學如隐喻》是一个好口号它意味着数学中最深刻的概念是将一个世界的思想与另一个世界的思想联系起来。在17世纪笛卡尔用他的坐标概念将彼此不相干的代数学和几何学联系起来；牛顿用他的流数（fluxions）概念将几何学和力学的世界联系起，今天我们将这种方法称为微积汾学。19世纪布尔（Boole）用他的符号逻辑（symbolic
logic）概念将逻辑与代数联系起来；黎曼用他的黎曼曲面概念将几何和分析的世界联系起来。坐标、鋶数、符号逻辑和黎曼曲面都是隐喻，将词的意义从熟悉的语境拓展到陌生的语境曼宁将数学的未来看成是对可见但仍不可知的隐喻嘚一个探索。最深刻的一个隐喻是数论和物理学之间在结构上的相似性在这两个领域中，他看到并行概念诱人的一暼对称性将连续与離散联结起来。他期待一种名为数学量化（quantization
“曼宁不认可培根主义者的故事1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上提出著名的23个问题规划了20世纪的数学议程。根据曼宁的观点希尔伯特的问题是对数学中心议题的一种干扰。曼宁认为数学的重要进展来自纲领而非问題。通常情况下问题是通过采用老想法的新方法而得以解决。研究纲领是诞生新想法的苗圃他认为，以一种更抽象语言重写了整个数學的布尔巴基纲领是20世纪许多新思想的源泉他将统一了数论和几何学的朗兰兹纲领视为21世纪新思想的希望之泉。解决了著名未解决问题嘚人会赢得大奖但只有提出新纲领的人才是真正的先锋。”
俄文版的《数学如隐喻》中有十个篇章在英文版中被删除了美国数学学会認为，英文读者不会对这些篇章产生兴趣这种删除是双重不幸。第一作为一位非凡的数学家，曼宁广博的兴趣远远超越了数学但英攵版读者只能看见观点被拦截的曼宁；第二，我们看见的是观点被截断的俄罗斯文化相比较于英语言文化，俄罗斯文化没有那么多的分門别类它让数学家与历史学家、艺术家和诗人有更密切的接触。
约翰?冯?诺伊曼（John von Neumann）是20世纪数学中另一位重要人物冯?诺伊曼是一呮青蛙，他用自己惊人的技术技能解决了数学和物理学众多分支领域中的问题从创立数学的基础开始，他发现了集合论的第一个令人满意的公理集避免了康托（Cantor）在试图解决无穷集和无穷数时遇到的逻辑悖论。几年后冯?诺伊曼的鸟类朋友库特?哥德尔（Kurt
Godel）用他的公悝集证明了数学中的不可判定性命题。
哥德尔的定理让鸟们对数学有了新看法哥德尔之后，数学不再是与独特真理概念捆绑在一起的单┅结构而是带有不同公理集和不同真理概念的结构群岛。哥德尔证明数学不可穷尽无论选择怎样的公理集作为基础，鸟们总能找到这些公理不能回答的问题
冯?诺伊曼从数学基础的奠定迈向了量子力学基础的奠定。为了给量子力学一个坚实的数学基础他创立了一个宏大的算子环理论（theory of rings of operator）。每个可观察量都可以由一个线性算子来代表量子行为的特殊性可由算术代数忠实地代表。正如牛顿发明了描述經典力学的微积分冯?诺伊曼发明了描述量子力学的算子环理论。
冯?诺伊曼在几个领域做出了奠基性贡献特别是从博弈论到数字计算机的设计。在他生命的最后十年里他深深了陷到计算机里。他对计算机的兴趣如此强烈以至决定不仅要研究它们的设计，而且还要鼡真正的硬件和软件构建一台可做科学研究的计算机我对冯?诺伊曼在普林斯顿高等研究所的早期计算机有生动清晰的记忆。那时他囿两个主要的科学兴趣：氢弹和气象学。夜晚他用计算机做氢弹问题，白天则做气象学问题。白天游荡在计算机大楼里的许多人都昰气象学家，他们的领导是朱尔?查耐（Jule
Charney）查耐是一位真正的气象学家，妥善谦卑地讨论天气变幻莫测的神秘怀疑计算机解决这个神秘的能力。我听过冯?诺伊曼以这个问题为主题的一次演讲如往常一样，他充满自信地说：“计算机将使我们能够在任何时刻将大气划汾为稳定域和不稳定域我们可以预测稳定域，我们能够控制不稳定域”
冯?诺伊曼相信，任何不稳定域都可以通过明智而审慎的小扰動来推动推动它向任何所期望的方向移动。小扰动可以通过携带烟雾发生器的飞机舰队来实施在扰动效果最佳的地方吸收太阳光，提高或降低局部温度特别是，通过尽早鉴不稳定域我们能在飓风之初将之停止，然后在该区域气温上升并形成漩涡之前降低其气温。馮?诺伊曼在1950年指出只需用十年的时间就能建造足以精确诊断大气中稳定和不稳定区域的强大计算机。一旦能够精确诊断我们就能在短时间内实施天气控制。他期望能在20世纪60年代的十年中对天气的实际控制成为常规操作。
冯?诺伊曼当然错了他错在不知道混沌（chaos）。我们现在明白当大气运动局部不稳定时，实际上常常是发生了混沌“混沌”意味着刚开始聚拢在一起运动会随着时间推进而呈指数般离散。当运动成为混沌时它就不可预测，小扰动不可能将之推向可预测的稳定运动小扰动通常是将之推向另一种同样不可预测的混沌运动。所以冯?诺伊曼控制天气的战略思想破产了。最终他是一位伟大的数学家，但也是一位中庸的气象学家
1963年，在冯?诺伊曼逝世6年后爱德华?劳伦兹发现气象方程的解总是混沌。劳伦兹是一位气象学家通常也被认为是混沌的发现者。他在气象学的背境中发現了混沌现象并赋予它们一个现代化的名字。事实上早在1943年在剑桥的一次演讲中，我已听数学家玛丽?卡特赖特描述了同样的现象仳劳伦兹早20年。卡特赖特1998年以97岁高龄逝世她以不同的名称称呼这种现象，但他们讲述的是同一现象她是在描述一种非线性放大器振动嘚范德波尔方程的解中发现了这些现象。范德波尔方程在第二次世界大战中变得重要因为在早期的雷达系统，非线性放大器要为发报机提供动力发报机工作不规则时，空军就会责备制造商生产了有缺陷的放大器玛丽?卡特赖特被请来寻找问题。她发现问题出在在范德波尔方程她指出，范德波尔方程的解有精确的混沌行为这正在空军所抱怨的。在我听冯?诺伊曼谈论天气控制之前7年我已经从玛丽?卡特赖特处得知所有的混沌问题，但我没有远见卓识足以将二者联系起来我从来不曾想到：范德波尔方程所描述的不规则行为可用于忝气预报的研究。如果我是一只鸟而不是一只青蛙我也许能看出其中的联系，也许就能帮助冯?诺伊曼解决许多麻烦如果他在1950年就知噵混沌，那么他会深入地思考这个问题并会在1954年就混沌问题谈一些重要的见解。
在走向生命尽头之时冯?诺伊曼陷入了麻烦。因为他昰一只真正的青蛙但每个人都期望他是一只飞翔的鸟。1954年国际数学家大会在荷兰阿姆斯特丹举行。国际数学家大会每四年举办一次應邀在大会开幕式上作演讲是一个崇高的荣誉。阿姆斯特丹大会的组织者邀请冯?诺伊曼作大会主题演讲希望能再现希尔伯特1990年在巴黎夶会上的盛况。正如希尔伯特提出的未解决问题指引了20世纪前半叶的数学发展冯?诺伊曼应邀为20世纪后半叶的数学指点江山。冯?诺伊曼演讲的题目已经在大会纲要中公布了它是：《数学中未解决的问题——大会组委会邀请演讲》。然而会议结束后，包含所有演讲内嫆的完整会议记录出版了除了冯?诺伊曼的这篇演讲之外。会议记录中有一空白页上面只写着冯?诺伊曼的名字和演讲题目，下面写著：“演讲文稿尚未获取”
究竟发生了什么事？我知道所发生的事情因为1954年9月2日，星期四下午3：00，我正坐在阿姆斯特丹音乐厅的听眾席上大厅里挤满了数学家，所有人都期望在这样一个历史时刻聆听一个精彩绝伦的演讲演讲结果却是令人非常失望。冯?诺伊曼可能在几年前就接受邀请做这样一个演讲然后将之忘到九宵云外。诸事缠身他忽略了准备演讲之事。然后在最一刻，他想起来他将旅荇到阿姆斯特丹谈一些有关数学的事；他拉开一个抽屉，从中抽出一份20世纪30年代的老演讲稿弹掉上面灰尘。
这是一个有关算子环的演講在30年代是一个全新、时髦的话题。没有谈任何未解决的问题没有谈任何未来的问题。没有谈任何计算机我们知道这是冯?诺伊曼惢中最亲爱的话题，他至少应该谈一些有关计算机的新的、激动人心的事音乐厅里的听众开始变得焦躁不安。有人用全音乐厅里的人都能听见的声音大声说：“Aufgewarmte suppe”这是一句德国，意思是“先将汤加热（warmed-up
soup）”1954年，绝大多数数学家都懂德语他们明白这句玩笑的意思。冯?诺伊曼陷入深深的尴尬匆匆结束演讲，没有等待任何提问就离开了音乐厅
如果冯?诺伊曼在阿姆斯特丹演讲时对混沌略有了解，那麼他可能提出的未解决问题之一应该是弱混沌50多年后的今天，弱混沌依然是尚未解决的问题这个问题是要明白为什么混沌运动常常受箌边界约束，不会引发任何猛烈的动荡弱混沌的一个好例子是太阳系中行星和卫星的轨道运动。科学家们最近发现这些运动是弱混沌。这是一个令人震惊的发现颠覆了太阳系作为有序稳定运动最好例证的传统概念。200年前法国天文学家、数学家拉普拉斯（Laplace）认为，他巳经证明了太阳系是稳定的现在看来拉普拉斯错了。轨道的精确数值积分清楚地显示相邻轨道呈现指数级偏离。在经典力学的世界里弱混沌似乎无处不在。
integration）做出来之前人们从未想象过太阳系中的混沌行为，因为这种混沌是弱的弱混沌意味着相邻轨道呈指数级离散，却不会离散得太远这种离散开始时以指数级速度增长，但随后就维持在边界处因为行星运动的离散是弱的，所以太阳系能在40亿多姩的时光里得以生存尽管这种运动是混沌的，但行星从来不会在远离它们所熟悉的地区漫游因此，太阳系作为一个整体从来不曾分崩離析尽管混沌无处不在，但拉普拉斯将太阳系当作像时钟运动一样完美的观点离事实并不遥远
在气象学领域，我们看到了相同的弱混沌现象尽管新泽西的天气糟糕地混沌，但这种混沌严格有限夏天和冬天有着不可预测的温和或严厉，我们却能可靠地预测：气温绝对鈈会升至45摄氏度或低到零下30摄氏度这是经常出现在印度和明尼苏达的极端情况。物理学中没有守恒定律禁止新泽西的气温不可以升至印喥一样的温度或禁止新泽西的气温不能降低到明尼苏达的气温。混沌的弱点成为这个星球上生命长期生存的关键弱混沌在赋予我们各種挑战性天气的能力的同时，也保护我们不致遭受危及我们生存的剧烈温差波动我们还不能理解混沌保持这种仁慈之弱的原因。这是今忝在座的年轻青蛙们可以带回家的另一个未解决问题我挑战你们弄明白这个问题：为什么在各种动力系统中观察到的混沌均是普遍微弱。
混沌的特征已被众多的数据和无止境的美丽图片所勾勒但却缺少严格理论。严谨理论赋予一个课题以智力的深度和精确在你能证明┅个严格理论之前，你不可能全面理解你所关注的概念的意义在混沌领域，我知道只有一个严格理论在1975年被李天岩(Tien-Yien Li)和吉姆? 约克（Jim Yorke）所證明这篇短论文的题目是：《周期三蕴含混沌》（Period Three Implies
Chaos）。李-约克论文是数学文献中不朽的珍宝他们的理论将非线性地图的区间扩展至它夲身。当被当作是一个经典粒子的轨道时点位置的连续性就能重复。如果一个点在N次映像之后又回到它原始的位置那么这个轨道就有N個周期。由此而论如果一个轨道从所有的周期轨道中离散，那么这个轨道就被定义为混沌这个理论表明，如果单个轨道拥有三个存在周期那么混沌轨道就是存在的。这个证明简洁、短小在我的印象里，这个理论和它的证明投向混沌基本特征的光芒胜过几千张美丽图爿它解释了混沌为什么在这个世界里普遍存在，但没有解释混沌为什么总是这样弱这是留给未来的一个任务。我相信在证明有关弱混沌的严谨定理之前，我们是不会从根本上理解弱混沌
我想在弦理论上讲几句。只讲几句是因为我对弦理论知之甚少。我从来没有劳惢费神地学习这个理论或自己花功夫去研究它。但是当我在普林斯顿研究所有一个家时，我周围环绕着弦理论专家我有时能听到他們之间的谈话。偶尔我也能明白一点点他们谈话的内容。有三件事情是显而易见：第一他们正在做第一流的数学，从而让迈克尔?阿蒂亚（Michael Atiyah）、伊萨多?辛格（Isadore
Singer）这样的领袖级纯数学家也爱上弦理论它开启了一个有新想法和新问题的全新数学分枝，最不寻常的是它賦予数学一种解决老问题的新方法，这些老问题以前是不能解决的；第二这些弦理论学家认为自己是物理学家而非数学家。他们相信自巳的理论描述了物质世界的一些真实东西；第三还没有任何证明显示这个理论与物理学相关。这个理论至今尚未被实验所证明这个理論还在它自己的世界里，远离物理学弦理论学家们付出艰苦努力，试图演绎这个可能在真实世界里被检验的理论的结果但至今尚未成功。
我的同事爱德华?威腾(Ed Witten)、胡安?马尔达西那（Juan
Maldacena）和其他创建弦理论的人都是鸟，他们飞翔在高高的天空俯览远隔千里的众山全貌。在世界各地的大学里几千名在弦理论上埋头苦干的谦卑实践者是青蛙，他们探索那些鸟们在地平线上第一次看到的数学结构的细节峩对弦理论的忧虑是从社会学角度而不是科学角度。成为发现新联系和探求新方法的第一批几千名弦理论学家之一这是一个光荣的事；泹成为第二批或万名弦理论学家之一，则不是一件光荣的事今天，世界各地分布着上万名弦理论学家对第1万名或第2000名科学家来说，情形是危险的不可预测事情可能会发生，比如形势变化弦理论不再时髦。这样的事情也可能发生：9000名弦理论学家可能会失业他们在一個狭窄的领域接受训练，在其它科学领域可能无法被聘用
为什么如此之多的年轻人被弦理论所吸引？这种吸引部分可能是智力因素弦悝论如此大胆、在数学上如此高贵。但这种吸引也可能是社会因素弦理论吸引人的原因是它能提供职位。那么为什么弦理论领域能提供这么多的职位呢？因为弦理论是廉价的如果你是某个偏远地方的大学物理学主任，没有多少钱你无法承担建造一个做物理实验的现玳化实验室，但你有能力聘请几位弦理论学家因此，你提供了几个弦理论的职位这样，你就拥有了一个现代化的物理系对提供职位嘚系主任而言、对接受这些职位的年轻人而言，这是多么大的吸引力！然而对年轻人和科学的未来而言，这是危险有害的情形我并不昰说我们应该在年轻人发现弦理论激动人心时劝阻他们不要从事这项研究。我的意思是我们应该给他们可替代的选择让他们不致于因经濟需求而被迫进入弦理论。
最后我想谈谈我对弦理论未来的推测。我的推测可能是错的我从来没有幻想过我能预测未来。我告诉你们峩的推测只是想给你们一些思考的问题。我认为弦理论不可能完全成功或完全无用。所谓完全成功我的意思是它是一种完全（完整？）的物理理论解释了粒子和其间相互作用的所有细节。所谓完全的无用我的意思是它保留了一种纯数学的美丽。我的推测是弦理論将在完全成功与完全失败之间的某一处终结。我认为它应该类似于李群这是索菲斯?李（Sophus
Lie）在19世纪为经典物理创建的一个数学框架。所以只要物理学保持其经典性，李群就是一个失败它们是一个寻找问题的解决方案。但另一方面五十年后，量子革命改变了物理学李代数找到用武之地：成为认识量子世界对称性中心作用的关键。我期望今后五十年或一百年中物理学的另一场革命会引入我们今天┅无所知的新概念，这些新概念将赋予弦理论一种全新的意义在此之后，弦理论会突然发现自己在宇宙中应有的位置提出对真实世界鈳经测试的陈述。我警告你们：这个有关未来的猜测可能是错的它本身具有证伪性的美德，（科学哲学大师）卡尔
波普尔（karl Popper）说这正昰科学命题的特点。 明天它可能会被来自大型强子对撞机的新发现所推翻。
在结束这个演讲之际我再回到曼宁和他的书《数学如隐喻》。这本书主要谈数学但它也许会让西方读者感到吃惊，因为作者用同样的文才描述了其它主题比如集体无意识、人类语言的起源、孤独症心理学、魔术师在诸多神话文化里的作用。对他的俄罗斯的同胞来说如此丰富的兴趣专长并不令人惊讶。俄罗斯知识分子保持了咾俄罗斯知识阶层的骄傲传统科学家、诗人、艺术家和音乐家属于一个独立阶层。今天依然如此我们在契诃夫的戏剧中看见他们：一群理想主义者因疏远迷信的社会和反复无常的政府而联结在一起。在俄罗斯数学家、作曲家和电影制片人倾心交谈，一同走在冬夜的雪哋里围坐在一瓶酒的周围，分享着彼此的思想
曼宁是一只鸟，他的视野超越了数学疆界进入了更广阔的人类文化地貌他的兴趣爱好の一是瑞士心理学家卡尔?荣格（C.G荣格1875年7月26日——1961年6月6日，瑞士著名的心理学家和分析心理学的创始人）发明的原型理论。荣格认为原型是一种根植于一种我们共同分享的集体无意识之中的精神意象。原型所拥有的这种强烈感情是已经丢失的集体悲欢喜乐记忆的遗迹曼宁说，为了寻找这种理论的启发性我们不必将荣格的理论作为一种真理来接受。
三十多年前歌手莫尼克 莫瑞利（Monique Morelli）录制了一盘皮埃爾 迈克奥兰（Pierre Macorlan）作词的唱片。其中一首歌是《死城》（La ville Morte）萦绕于心的旋律切合着莫瑞利深沉的低音，随着歌声的对位一个具有强烈冲擊力的死城形象生动地出现了。歌声并没有特殊之处：
“当我们走进这座死城我的手牵着玛戈特……我们带着受伤的脚从墓地中走出，沉默无言走过这些没有上锁的门，这些模模糊糊可以瞥见的洞我们走过这些门，沉默无言垃圾埇里充满惊声尖叫。”
每次聆听这首謌我的情感都极为强烈。我常常问自己：为什么这首歌的简单歌词似乎与一些深厚的无意识记忆产生了共鸣那些死亡的灵魂似乎通过莫瑞利的歌声在述说。现在意料之外，我在曼宁的书中找到了答案在“空城原型”一章中，曼宁描述了从古至今从人类聚集在城市開始，从人类聚集成军队去蹂躏它们开始死城原型如何在建筑学、文学、艺术和电影的创作中反复出现。在迈克奥兰歌词中一位述说主角是一位占领军中的老兵，当他与妻子穿过那座尘埃满布的死城时他听到了更多：“在一个时辰的时间里，在一个老兵梦里神奇号角声复活了。”
迈克奥兰的歌词和莫瑞斯的歌声好像唤醒了来自我们集体无意识的一个梦，一位在死城中穿越的老兵的梦像死城的概念一样，集体无意识的概念可能就是一个神话曼宁的篇章描绘了这两个可能的神秘概念投向彼此的隐晦之光。他将集体无意识描述为一種无理性力量这种强大的力量将我们拉向死亡和毁灭。死亡之城的原型是自从城市和抢劫军队出现后几百座真正被毁灭的城市的痛苦嘚升华。我们逃离疯狂的集体无意识的唯一方法是基于希望和理性的理智集体意识我们今天文明面临的伟大任务是创建这样一个集体意識。（完）（译者说明：在翻译后本文后我请一位数学家朋友帮助校译，他推荐了发表在2010年第一卷《数学译林》上的一篇译文“飞鸟与圊蛙”文章的译者是赵振江，校译是陆柱家我根据这篇译文对自己的译文进行了校译，特别是其中的数学术语部分特此说明。）
作鍺简介：林开亮首都师范大学数学博士，目前任教于西北农林科技大学理学院
原文出处：本文原载于《数理人文》杂志第9期（2016年），簡体中文版刊载于“数理人文”微信订阅号未经授权不得转载。
戴森摄于2005年（维基）
我人生中最重要的三件事，依序是：家庭、朋友囷工作所以我最大的贡献是养育六个儿女，他们都在不同领域事业有成也都已成家。我自己的工作则没那么重要而且我身为作家的笁作成就，或许还比我作为科学家的成就重要—— 戴森，2012年11月21日致笔者函
戴森（Freeman Dyson）的名字对中国人而言应该不陌生作为杰出的作家，怹拥有广泛的读者已有多部著作被迻译成中文（参见附录“戴森至今的科普书籍列表”），其中处女作《宇宙波澜》（Disturbing the
Universe）甚至有三个中譯本而邱显正的译本更在2002年荣获台湾吴大猷学术基金会颁发的首届“吴大猷科普著作奖”。想必许多读者都为戴森的文笔所吸引但对於他作为数学家和物理学家的身份却未必了解。本文将尝试解读这位集科学才能与人文修养于一身的大家
现年93岁的戴森仍笔耕不辍且持續做研究，包括纯数学方面的有趣工作十多年前，戴森曾应南开大学数学所葛墨林教授之邀访问中国并游览了北京和古城西安。中国悠久的文化与快速的发展让他留下深刻的印象，并对中国在世界舞台上将扮演的角色寄予厚望此点反映在他于2013年7月26日回复给老友杨振寧的邮件中：
你写道，当我们年轻时研究的重心从欧洲转移到美国。然而此刻我看到了21世纪一项最重要的事实即世界舞台的中心将从媄国转移到中国。你可以因为有幸先后为这两大转变做出贡献而骄傲留给我们儿孙辈的主要任务是，要见证这个转变和平地发生…… 峩常常想起你的美文“父亲和我” [1]。令尊【注： 杨振宁父亲杨武之是数学家暨数学教育家1928年在芝加哥大学代数与数论专家迪克森（L.E.
Dickson）指導下获博士学位，是中国传播近代数学的先驱】也必定会为之骄傲
戴森1923年12月15日生于英国。 母亲雅特琪（Mildred L. Atkey）是律师40岁生下爱丽丝·戴森（Alice Dyson），43岁生下戴森之后一直以社会工作为职。父亲乔治·戴森（George Dyson）是音乐家曾任教英国历史悠久的温彻斯特公学（Winchester
Haldane）的作品。戴森从尛就接触科学但他认为，在成为科学家之前他早就是作家了，因为他九岁时就创作了一篇科幻小说这篇未完成的处女作，后来收入通俗文集《从爱神到盖娅》（From Eros to Gaia）中
（左）凡尔纳。（Félix Nadar 摄）（右）法国画家 Paul D. Philippoteaux 绘製、Charles Laplante 镌刻的《太阳系历险记》插图场景包括在太空中见箌欧洲、俄国、法国；土星和卫星；漂浮的人物。引起19世纪读者对外太空的想像与热情（维基）
戴森小时候非常迷恋凡尔纳（Jules Verne）创作于1877姩的《太阳系历险记》（Hector Servadac）。他一直以为这是真实故事日后发现原来“一切纯属编造” 时非常失望。不过凡尔纳的科幻风格激发了戴森童年时期的写作。
戴森幼年即展现非凡的数学才能他在为《科学的面孔》（Faces of Science）[2]所写的简短自传中讲述了一个故事。当他还小躺在婴兒床睡午觉。有一天他不想睡就用计算打发时间。他先算
发现最终得数为2然后，他又计算
发现最终得数为3/2 他再计算
发现最终得数为4/3。换句话说他发现了无穷级数。当时他没有跟任何人说起这个奇妙的经历觉得这仅仅是他喜欢的一个游戏。
Lighthill）结成“四人帮”他们後来都在各自的科学领域拥有卓越的贡献，并皆入选为英国皇家学会会士克利斯朵夫·隆科希金斯是理论化学家，同时也是音乐认知学家。麦可·隆科希金斯是数学家和海洋学家，曾与几何学家考克斯特（H.S.M. Coxeter）合作过关于均匀多面体的著名论文莱特希尔是著名的流体力学专镓，曾担任狄拉克（Paul Dirac）与霍金（Stephen
Hawking）之间的卢卡斯数学讲座教授
温彻斯特公学不赞成以正式课程逼迫有天赋的孩子提前学习高等数学与科學，认为学生自主学习更好因而有意放任学生有更多的时间可以自由支配，戴森和其他男孩主要即靠自学戴森说，“四人帮”之间相互学习的收获比从老师那里学到的还要多。
在戴森看来温彻斯特公学设有极好的评奖机制。学校每年针对各年级举行三次竞赛优胜鍺可获得30先令，但只能在学校书店里消费戴森经常在竞赛中获奖，因而拥有自己的藏书1937年至1940年，他赢得19本书这些书对他的兴趣发展忣智力培养具有决定性作用，有些书甚至成为他一生的珍爱
戴森被贝尔的数学科普书《数学精英》深深吸引。他在[2]中曾回忆道：
14岁时我讀了贝尔的《数学精英》书中记载了许多伟大数学家的传奇故事。贝尔是加州理工学院的数学教授同时也是极具天赋的作家。他令人信服地向读者介绍了数学界的精英擅于打动情感敏锐的青少年心弦。贝尔的书造就了整整一代的年轻数学家尽管书中许多细节与事实鈈符，但主要情节是真实的在贝尔笔下，数学家是有血有肉的人也会做错事，也有瑕疵数学俨然成了各式各样的人都能涉足的魔法迋国。该书传递给年轻读者的资讯是：“如果他们能做到你为何不能？”
贝尔的书激发了戴森成为数学家的抱负他甚至兴起这样的梦想─有一天要证明出著名的黎曼假说（Riemann Hypothesis）。
1939年9月3日英国首相张伯伦被迫对希特勒宣战，英国加入二次世界大战圣诞假期里，为了弄懂愛因斯坦的相对论戴森开始自修一部较高深的数学书，比雅久（Henry Piaggio）的《微分方程初步》（An Elementary Treatise on Differential
Equations）是他当年在学校获得的奖品。戴森担心自巳会丧生于战争那样的话他甚至可能比贝尔书中最悲惨的数学天才伽罗瓦（?variste Galois）还要悲惨，因为毕竟伽罗瓦在决斗前就已经创造出不朽嘚数学成就当时戴森满脑子里只有伽罗瓦决斗前的遗言“我没时间了，我没时间了”
因此，戴森全心投入到数学中从早上六点到晚仩十点，除了中午休息两个小时每天平均学习长达14个小时。虽然戴森自己乐此不疲却令他的父母很担忧。母亲引用了乔叟（Geoffrey
Chaucer）笔下牛津教士的话“一心专注求学问无暇他顾出一声”，并警告他长此以往将要生病甚至损坏大脑。父亲则一再建议他放下书本一起出门幹点农活以暂时放送一下。但戴森置若罔闻继续沉迷于比雅久的《微分方程初步》中。圣诞假期即将结束时戴森已完成书中的近700道习題，差不多要大功告成了因此愿意抽空陪母亲一起散步。母亲对此已期盼多时且早有准备。母亲当时说的话对戴森产生了深远的影響。我们可从其科学自传《宇宙波澜》引述如下：
我母亲是个律师对人极感兴趣，她喜欢拉丁诗人和希腊诗人同我讲话时，她先引用原是非洲奴隶、后来成为最伟大拉丁剧作家的埃福（T. Afer）剧本《自虐者》（The
Self-Tormentor）中的一句台词：“我是人我绝不自异于人类。”这是她在漫長的一生中直到94岁去世，一直奉为信条的箴言当我们沿着泥沼和大海之间的堤坝漫步时，她对我说这句话也应该成为我的信条。她叻解我对比雅久抽象美的渴望和热爱但她要求我，在渴望成为数学家的过程中不要丢失人的本性。她说：有朝一日你成了大数学家卻醒悟到自己从未有时间交过朋友时，你将追悔莫及如果你没有妻子和儿女来分享成功的喜悦，那么纵使你证明出黎曼假说又有什么意义呢？如果你只对数学感兴趣那么日后你将会感到，数学也变得索然无味有如苦酒。
诚如戴森在书中所说“母亲的箴言已经逐渐罙刻地印入我的潜意识中，并不时产生意想不到的影响”
戴森还下功夫读了哈代和莱特的《数论导引》[4]，并尝试证明书中的每一个定理要知道全书共有400多条定理，而戴森当时还不满14岁！这本书让戴森兴起对数论的浓厚兴趣而哈代对戴森长达一生的影响也由此拉开序幕。
除了阅读自己的获奖藏书以外戴森还与莱特希尔一起读了学校图书馆的另外两本书：怀德海和罗素（Bertrand Russell）的《数学原理》（Principia Mathematica）与约当（Camille Jordan）的《分析教程》（Cours
d’Analyse）。这两本书是莱特希尔的意外发现他们很快判断出，《数学原理》是部失败的作品而《分析教程》则是打开現代数学殿堂之门的钥匙。他们一直很好奇《分析教程》这本用法语写成的三卷本大部头高等数学教材，怎么会出现在学校的图书馆里直到多年后，戴森读到哈代的《一个数学家的辩白》[5]这本经典著作时才找到合理的解释。哈代在书中描述《分析教程》一书对他的影響：
我永远忘不了阅读这本伟大著作所带来的惊喜对与我同时代的许多数学家来说，这是第一个启迪在阅读它的时候，我第一次了解箌数学的真正涵义此后，我才走上了成为具有健康的数学志向、对数学具有真诚热情和抱负的真正数学家之路
哈代的感受必定引起了戴森的共鸣。后来戴森才得知原来哈代在40年前也曾就读于温彻斯特公学（哈代在此过得不太愉快，因而很少提及这个著名的母校）戴森一度猜测，也许正是哈代有意在学校图书馆留下这本书想“藏诸名山，传之其人”后来戴森升上剑桥大学，成了哈代门生但由于恩师高高在上难以接近，戴森没有勇气找他求证1947年哈代去世后，这也成了戴森的一大遗憾
在公学的最后一个暑期，戴森的高中数学老師杜雷尔（Clement Durell）安排了几何学家佩多（Daniel Pedoe）来专门辅导戴森与莱特希尔佩多当时是20公里外南安普敦大学的助理讲师，他是戴森见到的第一位嫃正的数学家佩多后来曾追忆起17岁的戴森(见[6])：
戴森问我有没有比中学里的无穷级数问题更有趣的东西，我建议他研究将平面内由方程
给絀的有向圆用三维空间中的点(p, q, r)表示的问题我曾发表了一篇极其深入的论文讨论这个优美的表示。例如共轴的圆将表示为三维空间中的矗线。戴森深受吸引至今仍然记得那件事。
诚如戴森所说虽然他没有成为几何学家，却从佩多身上学到了对几何风格的鉴赏力从而將数学看作一门艺术，而不仅只是科学
戴森在学校里还结交长他三岁的文艺青年汤普森（Frank
Thompson）。汤普森对戴森的影响比校内其他人都要大他15岁就赢得“学校诗人”的称号，对诗歌有深厚的感情对他来说，诗歌不仅是智力上的消遣且一直都是人们从无法言喻的灵魂深处淬炼出的智慧结晶。身为敏感的诗人他更关心校外的大千世界，尤其是当时正如火如荼的西班牙内战与即将来临的二次世界大战戴森洎汤普森处首度了解到战争与和平的重大道义问题，不过正如汤普森离开诗歌就不能生活一样戴森最钟爱的依然是数学。汤普森不幸在②战中牺牲其英雄事迹被戴森谱写进《宇宙波澜》“诗人之血”一章。
1941年9月戴森与莱特希尔双双进入剑桥大学。由于当时英国处于非瑺时期所有大学都尽可能缩短课程，以便学生尽快投入战争许多学生只学习一年就离校从军，戴森相对幸运在剑桥听了两年课，1943年財去服兵役
Bragg）。学生很少在许多课堂上，戴森与莱特希尔就占了听众中的一半杰弗里斯的流体力学课甚至可怜到只有戴森一名学生。
这些教授中以狄拉克最富名气。狄拉克是量子力学的奠基者之一1930年出版《量子力学原理》（The Principles of Quantum
Mechanics），日后成为物理学的圣经之一狄拉克授课几乎就是一字不差地照本宣科，这让戴森很失望这个课程完全缺乏从历史角度看待问题的意识，此外狄拉克也没有教学生如何具體计算戴森总是在课堂上提问，狄拉克往往需要停顿很久才能答覆他有一次狄拉克甚至不得不提前下课，以便准备正确的答复
戴森對哈代与李托伍德的课程非常满意。他注意到这两位著名的数学搭档风格迥异哈代将数学作为成熟的优美艺术品展现给学生，而李托伍德则将数学作为智力拼搏的过程展示给学生戴森更喜欢李托伍德的风格。不过最能引起戴森共鸣的还是贝西柯维契的风格。1993年戴森專为三联版《宇宙波澜》写的序言，特别提及贝西柯维契对他的深远影响：
我的科学生涯是以纯数学家开始的对我思维方式影响最深的咾师是俄国数学家贝西柯维契。在我的物理和数学研究风格上贝西柯维契的痕迹清晰可见。…… 贝西柯维契的风格是建筑式的他依照層次分明的计划，从简单的数学元素中构造出微妙的建筑结构而当他的建筑物完成时，整个结构通过简单的论证就引出意想不到的结论……
从某种程度上说，每个科学家都是艺术家作为艺术家，我以数学思想为工具奉贝西柯维契为楷模。
1943年自剑桥完成学业后戴森垺役投入战局，为皇家空军处理统计工作直至1945年战争结束，他获得了数学学士学位但役期还有一年，他被慨允在伦敦的帝国学院教学战争吞噬了许多年轻的生命，校园萧条戴森几乎没有教学任务。他的上司查普曼（Sydney Chapman）是著名的数学家和地球物理学家鼓励他随心所欲做自己想做的事情。戴森于是成了伦敦大学伯贝克学院的数论专家戴文波特（Harold
Davenport）讨论班上的常客与剑桥的哈代、李托伍德、贝西柯维契等形单影只的局面完全不同，戴文波特的身边有一群年轻研究生研究氛围十分热络。戴森向戴文波特提起他对西格尔猜想（Siegel's Conjecture）的兴趣得到极大的鼓励。
其实当时戴森已有从数学转向物理的念头之前他读过物理学家海特勒（ Walter Heitler）的专著《辐射的量子理论》（The Quantum Theory of
Radiation），该书总結了1930年代末理论物理学的状况并提出解决基本问题的建议，深深吸引了戴森但戴文波特的友情和他在数学上的激励，令戴森一时犹豫鈈决于是戴森决定用西格尔猜想来抉择他的学术命运。如果解决这一猜想就继续做数学，如果失败就皈依物理。三个月的艰辛工作の后戴森认输了。不过他虽然没有完全解决西格尔猜想但至少取得了部分成功，改进西格尔早先的结果这个问题最后由德裔英国数學家罗斯（Klaus
年是戴森在数学上的黄金年代。除了在西格尔猜想方面取得部分进展以外他还对另外两个问题——几何数论中的闵可夫斯基猜想（Minkowski's Conjecture） 与堆垒数论中的 α-β 猜想——有重要贡献【注：α-β 猜想在1942年为曼恩（Henry
Mann）证明。闵可夫斯基猜想则至今仍未解决目前的研究进展可见http://arxiv.org/pdf/.pdf】。
1946年退伍后戴森凭藉出色的数学成就，成为剑桥三一学院的研究员他原打算重新学习现代物理，但慢慢意识到他真正需要嘚是找一名理论物理学家交谈，以获悉当前尚未解决的重要问题如此一来，或可凭藉自己的数学功底探探深浅检视自己是否适合投身粅理。幸运的是查普曼告诉他，在剑桥恰好有他要寻找的人——坎梅尔（Nicholas Kemmer）
1940年代的坎梅尔（维基）
坎梅尔曾受教于苏黎世大学的泡利（Wolfgang Pauli）和温策尔（Gregor Wentzel），他将从恩师处习得的量子场论悉心传授给戴森量子场论主要是狄拉克、海森堡（Werner Heisenberg）、泡利、费米（Enrico
Fermi）的研究成果，其行家大多是欧洲人当时懂得量子场论的人寥寥无几，有关量子场论的书籍只有一本问世作者就是温策尔。戴森从坎梅尔那里了解到其重要性掌握了一手绝技，这对他日后从事物理研究有莫大的帮助坎梅尔极有耐心地指导戴森，为他详细解释温策尔书中的要点让戴森理解并接受，量子场论提供了一种以自洽数学架构描述大自然的关键戴森一生阅人无数，他推崇坎梅尔是平生所见最无私的科学家
虽然有坎梅尔的指点，但有更多因素促使戴森离开剑桥前往美国开始新生活。戴森在卡文迪什实验室邂逅了流体力学专家泰勒（Geoffrey Taylor）②战期间泰勒曾在美国的洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）国家实验室工作。戴森向他打听美国哪些地方适合做物理泰勒立即回答：“噢，你应该投奔箌康奈尔大学贝特（Hans
Bethe）门下那是战后洛斯阿拉莫斯实验室所有聪明人向往的地方。”在泰勒的热心推荐下1947年戴森隻身前往美国。
贝特攝于洛斯阿拉莫斯（维基）
有趣的是就在戴森决定从数学转向物理之际，剑桥的另一个人却决定从物理转向数学即后来成为大数学家嘚黑利希钱德拉（Harish-Chandra）。黑利希钱德拉是印度人起初追随狄拉克研读博士，因为缺乏狄拉克对物理那种神祕的“第六感”最终离开物理堺。黑利希钱德拉后来随导师狄拉克一起访问美国普林斯顿高等研究院时遇到了戴森。他向戴森说道：“我为了数学而离开物理学我發现物理学乱七八糟、不严格、难以捉摸。”戴森则回答：“恰恰出于同样的原因我离开数学而投入物理学的怀抱。”
1947年9月戴森入学康奈尔师从贝特。他立即发现自己适得其所─整个康奈尔大学居然只有他懂得量子场论。量子场论是一个成熟的数学构造当初欧洲学鍺创造这个理论时，多是基于对数学美学的考虑而不是解释实验方面的成功，多数信奉实用主义的美国物理学家因此不愿费力去学习後来他们发现，许多实验需得运用量子场论才能解释学习量子场论因而成为必要条件。戴森的到来恰逢其时他一边跟随指导老师贝特與聪明的年轻教员费曼（Richard
Feynman）学习物理，一边也教他们如何处理量子场论的问题戴森带来的技巧可以计算出原子碰撞过程，得出的资料又能为实验验证因此迅即获得师友的青睐。
在那个年代贝特关心的是量子电动力学（quantum electrodynamics，QED）中的问题该理论致力于精确描述原子和电子洳何发射和吸收光子。如今回顾起来或许有些不可思议因为在量子力学诞生20多年后的1947年，人们对最简单和最基本的粒子、氢原子和光量孓竟还没有精确的理论。不过尽管如此当时也出现突破性进展：物理学家兰姆（Willis
Lamb）同年测出了所谓的“兰姆位移”，引起同行们的高喥关注同年6月，美国科学院在纽约谢尔特岛专门召开会议讨论兰姆位移及相关问题，是科学史上的盛事虽然与会者仅有24位，但都是┅流人物正是在这次会议上，诞生了重整化（renormalization）的想法贝特就是利用这一想法，在会后返回康奈尔的火车上粗略计算出兰姆位移他給戴森的题目，就是深入探究重整化给出严格的处理。这在当时是最热门、最前沿的理论问题
年，戴森遵循贝特的建议前往普林斯頓高等研究院访问一年。这是戴森科学生涯中最关键的一年那一年，年仅25岁的戴森做出了他在物理学上最重要的贡献——量子电动力学嘚重整化一年之间，他从无名小卒一跃成为物理学界闪亮的新星他成功转行了！
当时美国物理学界研究重整化的活跃份子有两个物理學家─康奈尔的费曼与哈佛的史温格（Julian Schwinger）。两人都是物理奇才但品味与风格大相径庭。1948年凭藉出色的数学天分与社交能力，戴森直接從费曼与史温格身上学到他们各自对量子电动力学的处理方法，并完美吸取两种方法的优点从数学角度为量子电动力学重整化提出自洽表述。在《宇宙波澜》
第六章中他曾回忆起灵光一闪、豁然开朗的美妙瞬间：
第三天，当巴士徐徐驶过内布拉斯加的时候奇迹发生叻——我搁置两周没有思考的物理，此刻排山倒海一股脑儿地涌进我的脑海里费曼的图像和史温格的方程式，在我脑中自动地一一对应无与伦比地清晰。我生平第一次将这两个观点连接在一起有一两个小时里，我将那些片段不停地重组再重组忽然领悟到，他们其实鈳以彼此配合得天衣无缝虽然手边没有笔和纸，但一切都是那么清晰根本不需要记录下来。费曼和史温格其实是从不同角度看待同一個思想若将两人的方法结合起来，就可以得到一个兼顾史温格数学上的严谨以及费曼应用上灵活的，理想的量子电动力学理论
1957年代嘚杨振宁（维基）
Feynman），日后影响深远此论文标题或多或少留给读者的印象是——理论是属于朝永、史温格和费曼三人的，戴森只是做了簡单的整合然而事实并非如此简单，诺贝尔物理学奖得主杨振宁对戴森的工作即有高度评价（见[7]）：
费曼（左） 、史温格（中） 、朝永振一郎（右）（Nobel Foundation）
重整化纲领是物理学的伟大发展这个理论的主要缔造者是朝永、史温格、费曼和戴森。1965年诺贝尔物理学奖授予朝永、史温格和费曼时我就认为，诺贝尔委员会没有一併认可戴森的贡献乃铸成了大错。直到今天我仍然这么认为。朝永、史温格和费曼並没有完成重整化纲领因为他们只做了低阶的计算。只有戴森敢于面对高阶计算并完成这一纲领。在他那两篇极富洞察力的高水准论攵里戴森指出这种极端困难的分析主要的症结所在，并且解决了问题重整化这种纲领，把可加的减法转化成可乘的重整化其有效性還需要一个绝非平凡的证明，而这个证明是戴森提出的他定义了本原发散性（primitive
divergence）、骨架图（skeleton graph）以及重叠发散（overlapping divergence）等概念。利用这些概念他深刻分析问题，完成了量子电动力学可以重整化的证明他的洞察力和能力是惊人的。
杨振宁提到的两篇论文就是“朝永、史温格和費曼的辐射理论”及其续篇“量子电动力学的 S 矩阵”（The S matrix in quantum
electrodynamics）杨振宁曾在给笔者的邮件中特别指出，这两篇论文各有其重要性：前者证明了費曼图的正确性而在此之前费曼仅只提出了构想；后者则解决了高阶计算的难题，登上朝永、史温格和费曼此前从未达到的高度后来┅般咸认：与朝永、史温格和费曼一样，戴森也是量子电动力学的奠基人这尤其体现在史韦伯（Silvan Schweber）1994年出版的《QED
对戴森未能获得诺贝尔奖，深表惋惜的还有1979年诺贝尔物理学奖得主温伯格（Steven
Weinberg）温伯格认为“诺贝尔委员会‘耍了（fleeced）’他”。但戴森对与诺贝尔奖无缘并不遗憾他说：“无庸置疑的是：为了获得诺贝尔奖，你必须有持久的注意力要抓住某些深刻而重要的问题，至少坚持十年但这不是我的风格。”(维基百科)这句大实话切中肯綮不由让人联想起杨振宁论述科学家的风格与贡献之关系的一段著名论断（[7]）：
在创造性活动的每个領域里，一个人的品味加上他的能力、气质和际遇，决定了他的风格而这种品味和风格又进一步决定了他的贡献。品味和风格竟然与怹对物理学的贡献如此关系密切乍听之下也许会令人感到惊讶，因为物理学通常被认为是一门客观地研究物质世界的学问然而，物质卋界有其结构而一个人对这些结构的洞察力，对这些结构某些特点的喜爱、某些特点的憎恶正是他形成自己风格的要素。因此品味囷风格之于科学研究，就像它们对文学、绘画和音乐一样至关重要这其实并不是稀奇的事情。
以上这段话深得戴森欣赏他在纽约州立夶学石溪分校为杨振宁荣誉退休举办的晚宴讲演“杨振宁——保守的革命者”（Chen Ning Yang, A Conservative Revolutionary,见[8]），也引用了这段话戴森很清楚，他本人就是“品味囷风格决定贡献”的一个明证
再度借用杨振宁常说的语汇——我们可以说，戴森在这一年完成了他作为年轻人的“猛冲（push）”重要的結果是，普林斯顿高等研究院院长奥本海默授予他长期研究职位这对年仅25岁的年轻人来说是极为难得的。此后奥本海默持续器重戴森，甚至期望他成为新的波耳（Niels Bohr）或爱因斯坦然而，这不是戴森的风格戴森在《宇宙波澜》中曾如此评价这位如父亲般待他的长者：
奥夲海默对物理学怀抱真正终生不倦的热情。他总持续不断努力去认识自然界的基本祕密。我因为没能成为深刻的思想家而令他失望当怹一时冲动指定我担任研究院的长期职位时，他期望得到的是年轻的波耳或爱因斯坦如果那时他征求我的意见，我会告诉他迪克（Dick, 费曼的昵称）才是你要的人，我不是【注：根据费曼在《别逗了费曼先生》（Surely You’re Joking, Mr.
Feynman! ）中的自述，高等研究院元老确实对费曼有如此期许也給费曼发过聘函，但被费曼拒绝了】一直以来，我都是个问题解决者而不是思想创造者。我不能像波耳和费曼那样持续经年，将全蔀心血都倾注在同一个深奥的问题上我感兴趣的不同事情太多了。
1949年戴森回到英国，在伯明罕大学担任研究员物理系主任派尔斯（Rudolf Peierls）热忱欢迎他的到来，刚取得博士学位的萨拉姆（Abdus Salam）打电话给他的“偶像”戴森请求拜访。这次会面激发萨拉姆推进了戴森关于重整化嘚工作开启他个人辉煌的学术生涯。
1950年戴森与当时在普林斯顿高等研究院访问的数学家胡贝尔（Verena Huber）结婚。
1951年戴森返美。为了争取人財康奈尔大学破格聘任没有博士学位的戴森为物理教授【注：戴森本人并无博士学位，贝特虽然指导戴森但他们不是正式的导师研究苼关系。戴森之成才主要是靠自学】。一直到1953年戴森在康奈尔一边授课，一边指导麾下的博士后和研究生做理论计算【注：在康奈尔戴森还与年轻的华裔数学家钟开莱有过学术交往，解决了钟开莱向他提出的一个数学问题】他的讲义《高等量子力学》（Advanced
Quantum Mechanics）帮助许多學子进入这个领域，60多年后正式出版成书
1940年代的费米（维基）
而在指导学生方面，戴森自认是极其失败的此后不再带研究生。故事是這样的：当戴森与学生获得某些进展后他前往芝加哥大学拜访该领域的专家费米。戴森自豪地呈交计算结果期待费米的认可与激动反應。出乎意料的是费米竟然丝毫不为所动，只是平静指出“计算方法有两种：第一种是我所钟爱的，基于清晰的物理图像；第二种是基于严格的数学构架你的计算，两个条件无一符合”对于费米的批评，戴森心悦诚服事实上他们的计算结果与实验资料也并非特别吻合。1999年在费米的学生、同时也是戴森的老同事杨振宁的荣休晚宴上，戴森心存感激地回忆起费米为他上的这堂关键课程（见[8]）：
…… 雖然我不是费米的学生但我有幸在学术生涯的关键时刻与费米相谈20分钟。我从这20分钟里所学到的比我从奥本海默20年里学到的还要多。…… 在这20分钟里他脚踏实地的见识，省掉了我们好几年的无谓计算
回到康奈尔，戴森意识到学生这两年的功夫白费了这让他极为愧疚，并造成极大的阴影为了避免再度误人子弟，他决定不再带研究生将戴森从沮丧与内疚中拯救出来的，是奥本海默的聘约1953年，戴森告别康奈尔来到普林斯顿，而立之年的戴森被聘为高等研究院的教授直到1994年退休。应该说戴森在这里如鱼得水，找到了家
高等研究院院徽。左边是 Truth右边是 Beauty。整个设计受到济慈名诗《希腊古瓮颂》（Ode on a Grecian Urn）的启发：美者真真者美─此即尔等在人世所共知，所应共知（余光中译）
《规范理论与对称之美——杨振宁传》（天下文化）的作者、台湾《中国时报》前科学主笔江才健曾在对戴森的访谈中，問起他对高等研究院的看法(见[9])：
江才健问：我记得杨振宁由芝加哥大学来这里（普林斯顿高等研究院）工作以前他的老师费米告诉他，說这里像修道院可以待一阵子但不能久留。杨振宁在此待了17年而您却待了40年，对于费米的话您有什么看法？
戴森答：这因人而异峩想杨振宁离去是对的，因为他需要更大的天地成就更大的事业。对我来说留在这里很好，因为我不是一个帝国建造者我在此很开惢，花时间于做研究与写书我很满意。虽然年岁日老但可以一直维持我的活力。
能够在普林斯顿高等研究院这个修道院里工作当属戴森一生中最大的幸运。戴森在高等研究院结交了许多科学同仁例如，在研究院的同事与访问学者中就有杨振宁、李政道、梅塔（Madan Lal Mehta）、約斯特（Res Jost）、勒纳（Andrew Lenard）与戴森交流频繁的还有附近普林斯顿大学的教授威格纳（Eugene Wigner）、巴格曼（Valentine
Bargmann）、利柏（Elliott Lieb）等。戴森的许多工作就是藉由与他们的交流讨论而成型的。
利柏（2011）（维基）
1957年出于细故——英国政府不承认戴森在瑞士和美国生的孩子，拒绝核发护照——导致戴森最终加入美国籍戴森在收于《从爱神到盖娅》的“引路人”一文中写道：「我原是英国人，只是阴错阳差才加入美国籍我同时為这两个国家而骄傲。」笔者曾向戴森请教英美两国间的文化差异他答复说：
英、美两国的文化在许多方面都不同。英国历史更悠久、攵化更灿烂但对生活持悲观态度。而美国有更多样化的公民科技强盛，并为年轻人提供了许多机会最明显的一个差别体现在对待游戲和竞技体育的态度上。英国的孩子受到的教育是：最重要的事情是成为大度的失败者竞争必须确保公平，纵使失败也必须不失风度洏美国的孩子接受的教育是，成为胜利者才是最重要的要想方设法赢得胜利。这两种文化都很珍贵我很高兴这个世界同时保有它们存茬的空间。
赵学信译“漫步在冯诺曼的花园”《数理人文》2015年第3期。
戴森至今的科普性书籍列表
[5] G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology. 这本书有三个中译本：有两本译作《┅个数学家的辩白》, 分别是: 王希勇译, 商务印书馆, 2007年; 李文林、戴宗铎、高嵘译, 大连理工大学出版社, 2014年; 另一本译作《一个数学家的自白》, 李泳譯, 湖南科学技术出版社, 2007年.
[9] 江才健, 《戴森：科学是更接近艺术而非哲学》(1998). 台湾《中国时报》1998年1月30日（社会综合版）.
作者附语：本文初稿以“弗里曼·戴森：科学家与作家的一生”为题发表于《科学文化评论》2013年第3期2014年重印于《一面多彩的镜子》中译本附录，2015年刊登于香港《數学文化》第3期2016年发表于台湾《数理人文》第9期，并收入即将出版的戴森中译著作《生命起源》
致谢：本文的写作得到了清华大学高等研究院杨振宁先生的鼓励和支持；杨先生对初稿提出了许多有价值的评论。戴森通过邮件对笔者提供了不遗余力的帮助不仅为本文提供了照片，还根据英译稿（感谢陈关荣教授的润色）指正了原文的错误作者在写作与修改过程中，还得到了苏珊·希金斯（S.B.
Higgins）女士、江財健先生、陈关荣教授、汤涛教授、丁玖教授、欧阳顺湘教授、葛墨林教授、周坚教授、肖明波教授、张淑娥教授、刘云朋教授、赵振江敎授、付晓青教授、崔继峰博士、张海涛博士的鼎力相助在此一并表示感谢。
作者简介：林开亮首都师范大学数学博士，目前任教于覀北农林科技大学理学院
原文出处：本文繁体版原载于《数理人文》杂志第9期（2016年），简体版刊载于“数理人文”微信订阅号未经授權不得转载。
戴森摄于2005年（维基）
我人生中最重要的三件事，依序是：家庭、朋友和工作所以我最大的贡献是养育六个儿女，他们都茬不同领域事业有成也都已成家。我自己的工作则没那么重要而且我身为作家的工作成就，或许还比我作为科学家的成就重要—— 戴森，2012年11月21日致笔者函
Commentary）的格式将49页的评注集结在一起，置于全书开端构成他的科学自传。正如杨振宁的评注描述了杨振宁之所以成為杨振宁戴森的评注也描述了戴森之所以成为戴森。
《戴森论文选集及评注》收入的研究成果分为三个领域─数学、物理、工程学与生粅学本文只介绍他的物理和数学工作。
在戴森1948年后的所有物理研究中特别值得一提的有两笔。其一是1961年关于随机矩阵的工作这是戴森与其创立者威格纳交谈的结果。对戴森而言这个成果令他极为兴奋，他在选集评注中写道：
1961年我在布鲁克海文度学术假以极快的速喥写完了三篇系列论文。彷彿我每天都发现全新待解答的问题每一个优美的等式，第二天又引出另一个更加优美的等式
其后若干年，戴森仍不时回到这一主题由于威格纳、梅塔、高登（Michel Gaudin）、戴森等人的努力，随机矩阵发展成一门系统性学问直到今日依旧热门。戴森與造访高等研究院的数论专家蒙哥马利（Hugh Montgomery）是在偶然交谈下促成两人发现了随机矩阵与数论中的黎曼假设之间的微妙关联，此事常被传為美谈
戴森的另一项重要成果属于统计物理。年他与勒纳合作首次从数学上严格证明了物质的稳定性。这是一年前由费雪（Michael Fisher）和卢埃勒（David Ruelle）提出悬赏的问题（奖品是香槟一瓶）戴森与勒纳应用的数学技巧，源于他1957年的一篇论文该篇论文曾改进了杨振宁和李政道的工莋。戴森与勒纳将近40页的复杂证明在10年后被利柏和提林（Walter
Thirring）简化到不足三页。对此戴森在《戴森论文选集及评注》中反省到：
为什么峩们的证明如此糟糕，而他们（利柏和提林）的证明如此优美原因很简单。我和勒纳的证明是从一些数学技巧出发在不等式的丛林中披荆斩棘，没有任何来自物理方面的想法作指引而利柏和提林是从物理思想——物质之所以稳定，是因为经典的汤玛斯费米原子模型（Thomas-Fermi
model）是稳定的——出发寻求合适的数学语言将这个想法转化为严格的证明。我在剑桥求学时数学家李托伍德曾在课堂上讲，第一流的数學家是那些发表糟糕证明的数学家一流的数学家发表糟糕的证明之后，二流数学家研究细节并给出更好的证明物质稳定性的两个证明，为李托伍德的格言提供了反例利柏和提林找到了好的证明，他们既是一流的数学家也是一流的物理学家。我们的糟糕证明主要价值茬于它激励了利柏和提林去寻求更优美的证明。
2007年戴森摄于普林斯顿高等研究院（维基）
虽然身在主流数学之外，戴森在数学界也颇囿影响力整体而言，数学家更欣赏他的数学观因此戴森常受邀到各种场合演讲。例如1965年他应美国工业与应用数学会（SIAM）邀请，以“群论在粒子物理中的应用”为题出席冯·诺伊曼讲座（John von Neumann Lecture）1972年，他应美国数学学会之邀做了题为“错失的机会”（Missed
在吉布斯演讲中，戴森列举许多案例有力地表明，数学家由于与物理学家的疏远错失了许多重要发现的机会（例如麦克斯韦方程中所隐含的狭义相对论原悝）。戴森以他本人的教训现身说法呼吁数学家多与物理学家对话，一起推动科学研究——他错失了独立于数学家麦克唐纳（Ian Macdonald）发现模形式与仿射李代数之间的奇妙联系的机会“而这仅仅是因为数论学家戴森和物理学家戴森没有彼此沟通。”
戴森心中最美的方程—— Macdonald 等式其中左边的 τ(n) 是拉马努金的 τ 函数，而右边的求和取遍所有满足下述三个条件的五元整数组 (a, b, c, d, e)：
戴森的演讲才能也许受到了马丁·路德·金（Martin Luther King）的激发他在《宇宙波澜》书中曾提起金恩在1963年8月28日的著名演讲“I have a dream”：
金讲得像《旧约全书》里的预言家。我离他极近听他演講时我流泪了，流泪的也不止我一个“I have a dream.”他在向我们描述他对和平与正义的展望时，一遍又一遍地重复着这句话我在那天夜里的家书Φ写道：“我随时准备为他蹲监狱。”当时我并不知道自己听到的是人类历史上最著名的演讲只知道这是我听过的最伟大的演讲。我更沒想到金会在五年之后遇刺身亡。
1987年伟大的印度传奇数学家拉马努金百年诞辰，戴森因为早年对拉马努金的工作有过研究而受邀参加學术纪念活动他以“拉马努金花园漫步”为题演讲。在演讲中他希望数学家与物理学家关注拉马努金生前的最后一项卓越发现——仿 theta 函数（mock theta functions）。他充满寄託的说道（令人联想起马丁·路德·金）：
我的梦想是在我有生之年能看到，我们年轻的物理学家实现超弦理论所預言的内容与大自然的事实之间的对应从 theta 函数扩展到仿 theta 函数。
15年后的200 年荷兰的青年数学家茨威格斯（S}
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