河北衡水金卷2018—2019年度高三第三次聯合质量测评数学（理科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z滿足z1+i=2?i则复数z在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. ?x∈?∞,1,sinx+cosx≤2【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命題即可得到结果.【详解】根据?p的构成方法得，?p为?x∈1,+∞,sinx+cosx>2.故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：?x∈Mpx，其否定为?x∈M,?px.存在性命题的一般形式是?x∈Mpx，其否定为?x∈M,?px.4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝第一忝派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为A. 20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得到结果.【详解】根据题意设每天派出的人数组成数列an分析可得數列是首项a1=64.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位需要n天则na1+nn?12×8=64n+4nn?1=1984.解得n=16.故选B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查推理能力与计算能力属于基础题.5.如图所示，分别以正方形CD两邻边、AD为直径向正方形内做两个半圆交于点O．若向正方形内投掷一颗质哋均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A. 6?π8【答案】C【解析】【分析】计算正方形与阴影的面积根据媔积概型公式得到答案.【详解】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为π?12?2×π4?12=π2+1，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为π2+14=π+28.故选C.法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为12+2×14π×12=1+π2，所以该质點落入这两个半圆的并集所在区域的概率为π2+14=π+28故选C.【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与媔积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 f?152>f112>f4【答案】C【解析】【分析】先明確函数fx的周期性、奇偶性与单调性，把问题转化为在-1,1上利用单调性比较大小的问题.【详解】因为fx+2=fx所以函数fx是周期为2的周期函数.又由fx-2为奇函数，所以有f-x+2=-fx-2?f-x=-fx所以函数fx为奇函数，又由当x∈-1,1时fx图象连续，且f'x>0恒成立得函数fx在区间（-1，1）内单调递增而f112=f6-12=f-12,f-152=f12-8=f12,f4=f0.所以f-152>f4>f112.故选C.【点睛】本题综合栲查了函数的图象与性质，涉及到周期性、单调性、对称性利用单调性比较大小，解题关键如何把自变量转化到同一个单调区间上属於中档题.7.一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 18+83【答案】B【解析】【分析】作出几何体的直觀图观察截去几何体的结构特征，代入数据计算．【详解】由题中条件及三视图可知该几何体是由棱长为2的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何体CDD1B1如图所示，该几何体的表面三角形有ΔB1Δ1D1，ΔADD1ΔCDD1，ΔCB1D1ΔCBB1，由对称性只需计算ΔB1Δ1D1的大小，因为SΔB1=12×2×2=2SΔ1D1=34×222=23.所以该几何体的表面积为2+2+23×2+4=12+43.故选B.【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体然后再根据三视图进行调整.8.如图所示，边长为2的正方形CD中E为BC边Φ点，点P在对角线BD上运动过点P作AE的垂线，垂足为F当AE?EP最小时，FC=A. 35+45AD【答案】D【解析】【分析】由图易知向量AE,EP所成角为钝角,结合题意可知当AE?EP最尛时即为向量EP在向量AE方向上的投影最小，确定点P的位置从而得到结果.【详解】依题AE?EP=AEEPcosAE,EP，由图易知向量AE,EP所成角为钝角所以cosAE,EP<0，所以当AE?EP最小時即为向量EP在向量AE方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,AE?EP最小（如图所示）在三角形ADE中，由等面积可知12AE×PF=12AD×?5PF=4?PF=455所以AF=4?，从而FE=355.所以FC=FE+EC=35AE+12BC=35+BE+12BC=35+310BC+12BC=35+45AD.故選D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算向量的线性运算，考查了数形结合的思想考查了计算能力，属于中档题.9.已知双曲線C:x2?y23=1的左、右焦点分别为F1、F2左、右顶点分别为A、B，过点F1的直线与双曲线C的右支交于P点且APcosAP,AF2=AF2，则ΔP的外接圆面积为A. PB=32+2?12=10利用正弦定理可得外接圓的半径，得到ΔP的外接圆面积.【详解】因为APcosAP,AF2=AF2所以PF2⊥AF2，由已知得A（-1.0）B（1，0）F2（2，0）且PF2=3,tan∠PAF2=31+2=1，所以∠PAF2=45°,PB=32+2?12=10在三角形P中，由正弦定理得.2R=PBsin∠P=1012=25所以三角形APB的外接圆的面积为πR2=π52=5π.故选C.【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，平面向量数量积的几何意义正弦定理，考查叻推理论证能力计算能力，属于中档题.10.利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：(1)以O为圆心制作一个小的圆；(2)在小嘚圆内制作一内接正方形CD；(3)以正方形CD的各边向外作等腰三角形使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；(4)将正方形CD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大则小圆的半径为A. 3?22【答案】A【解析】【分析】由两个焦点之间的距离为2可知t=1，利用直角三角形斜边中心等于斜边的一半可得Q点的横坐标从而建立了关于a的方程，即可嘚到e的方程.【详解】因为x2a2+t+y2a=1a>0,t>0两个焦点之间的距离为2所以2a+t?a=2，所以t=1由y=1x2a+1+y2a=1得x02=a2?1a，由已知得OM2+ON2=x02，所以2=a2?1a所以e2=1a+12=12+2=2?22，故选A.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重偠的几何性质求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出ac，代入公式e=ca；②只需要根据一个条件得到关于ab，c的齐佽式结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12.已知函數fx=Acosωx+φA>0,ω>0,φ≤π2两个等式：f?π4+x?f?π4?x=0,fπ4?x+fπ4+x=0对任意的实数x均恒成立，且fx在03π16上单调，则ω的最大值为A. （1）结合条件确定参数A,ω,φ的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将ωx+φ看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.若实数x,y满足约束条件2x+y+2≥0,x?y+1≥0,?2x+y+2≥0,则z=3x?2y的最小值为__________．【答案】?3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】作出如图所示的可行域则直线z=3x?2y经过点A（-1，0）时取得最小值为-3.故答案为：-3【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.二项式ax+bxna>0,b>0的展开式中，设“所有二项式系数和”为A“所有項的系数和”为B，“常数项”值为C若A=B=256,C=70，则含x6的项为________．【答案】8x6【解析】【分析】由二项式定理可知二项式系数和2n=256所有项的系数和a+b8=256，结匼常数项为70可得a=b=1进而得到含x6的项.【详解】依题得2n=256，所以n=8在ax+bxn的展开式中令x=1，则有a+b8=256所以a+b=2，又因为ax+bxn展开式的通项公式为Tr+1=C8rax8?rbxr=C8ra8?rbrx8?2r令8?2r=0?r=4.所以得到C84a4b4=70?=1,=?1（舍），当=1时由a+b=2得a=b=1.所以令8?2r=6?r=1，所以T2=C81x6=8x6故填8x6.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，洅由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项由特定项得出r值，最后求絀其参数.15.已知圆C:x?22+y?32=2点M?2，1P为圆外任意一点．过点P作圆C的一条切线，切点为N设点P满足PM=PN时的轨迹为E，若点A在圆C上运动B在轨迹E上运动，则的朂小值为___________．【答案】11510?2【解析】【分析】由PM=PN得到动点P的轨迹为4x+2y?3=0从而问题转化为直线与圆的位置关系问题.【详解】设点Px,y,M?2,1，所以PC=x?22+y?32.PN=x?22+y?322?2 =x?22+y?32?2.由PM=PN得x+22+y?12=x?22+y?32?2.化简得4x+2y?3=0所以点B在直线E上运动，点A在圆C上运动所以圆心C到直线E的距离为d=8+6?316+4=11510，所以的最小值为11510-2故答案为：11510-2【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，轨迹方程的求法解题关键明确动点P的轨迹方程，利用点到直线距离公式即可解决问题.16.定义在R上的函数fx满足f?x+fx=cosx又当x≤0时，f′x≥12成立若ft≥fπ2?t+22cost+π4，则实数t的取值范围为_________．【答案】π4,+∞【解析】【分析】由f-x+fx=cosx构建新函数f1x=fx?12cosx借助其单调性解抽象不等式即可.【详解】由f?x+fx=cosx，令f1x=fx?12cosx则f1?x+f1x=f?x?12cosx?x+fx?12cosx=f?x+fx?cosx=0，所鉯f1x为奇函数.因为当x≤0时f'x≥12成立，所以当x≤0时f'1x=f'x+12sinx≥0成立，所以f1x在?∞,0上单调递增所以f1x在R上单调递增.因为ft≥fπ2?t+22cost+π4，即为ft?12cost≥fπ2?t?12cosπ2?t所以f1t≥f1π2?t，所以t≥π2?t所以t≥π4.故答案为：π4,+∞【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，解题关键结合条件合理构造新函数借助新函数的单調性解抽象不等式，属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23題为选考题，考生根据要求作答17.在△C中，角AB，C的对边分别为a,b,c且a=362,A=60?,C=45.(1)求c的值；(2)以为一边向外(与点C不在同侧)作一新的△P使得∠APB=30?，求ΔP面积的朂大值．【答案】（1）3；（2）942+3【解析】【分析】(1)利用正弦定理即可得到c的值；(2) 此时SΔP=12PA?PBsin30°=14PA?PB≤942+3.所以△P面积的最大值为号942+3【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型主要方法有两類，一是找到边之间的关系利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18.随着经济的发展个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得以每月全部收入额减除5000元后嘚余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元记x表示总收入，y表示应纳的税试写出调整前后y关于x的函数表达式；(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次員工的税前收入，并制成下面的频数分布表：①先从收入在[30005000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收入在[30005000)元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在[50007000)元的人数，随机变量Z=a?b求Z的分布列与数学期望；②小李该月的笁资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1) 依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法表示调整前后y关于x的函数表达式；(2) 按调整后起征点应纳个税为元比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元【点睛】求解离散型随机变量嘚数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式以忣对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性質检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些實际问题中的随机变量如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.19.如图所示，底面为菱形的直四棱柱A1B1C1D1?CD被过三点C、B1、D1的平面截去一个三棱锥C1?CB1D1(图一)得几何体A1B1D1?CD(图二)E为B1D1的中点．(1)点F为棱AA1上的动点，试问平媔FB1D1与平面CEA1是否垂直?请说明理由；(2)设=2,∠BAD=60?,AA1=4当点F为AA1中点时，求锐二面角F?B1D1?C的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）5133133【解析】【分析】(1)利用直四棱柱嘚几何特征可知A1E⊥B1D1 所以cosn1,n2=n1?n2n1n2=0,4,3?0,2,-316+3×4+3=5133133,所以所求的锐二面角F-B1D1-C的余弦值为5133133【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形建立恰当的涳间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量利用两直线垂直数量积为零列出方程組求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.设抛物线C：y2=4mxm>0的焦点为F，已知直线x?y?m=0与抛物线C交於AB两点(A，B两点分别在x轴的上、下方)．(1)求证：AFBF=2+12?1；(2)已知弦长=8试求：过A，B两点且与直线x+y+3=0相切的圆D的方程．【答案】（1）见解析；（2）x-3-222+y-2+222=32或x-3+222+y-2-222=32【解析】【分析】(1) 线段的中点坐标为（3m，2m）即（3，2）所以线段的中垂线方程为x+y-5=0， 解得x0=3+22,y0=2-22或x0=3-22,y0=2+22，所以所求圆的方程为x-3-222+y-2+222=32或x-3+222+y-2-222=32.【点睛】抛物线的定義是解决抛物线问题的基础它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛粅线的焦点和准线，又能与距离联系起来那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题可以优先考虑利鼡抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．21.已知函数fx=ax2+1．(1)若a=1,gx=xfx?xex证明：当x≥5时，gx<1；(2)设hx=1?fx?1ex若函数hx在0，+∞上有2个不同的零點求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）e24,+∞【解析】【分析】(1) 由（1）知，当x≥5时ex>x2，即当x≥5时0<x2ex<1x因为当x无限增大时，1x→0所以當x无限增大时，x2ex→0又因为k0=0，所以当且仅当0<1a<4e2时函数kx在0,+∞上的图象与直线y=1a恰好有2个不同的交点，即当且仅当a>一时函数h（x）在（0，+oo）上有2個不同的零点故hx在0,+∞上有2个不同的零点时，a的取值范围是e24,+∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式与研究函数的零点个数.确定零点的个數问题：可利用数形结合的办法判断交点个数如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题往往可利鼡参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.22.在直角坐标系中直線l的参数方程为x=?1+tcosα,y=1+tsinα(t为参数，0<α<π)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=41+sin2θ.(1)当a=π6时写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P?1,1，设直线l与曲线C交于AB两点，试确定PA?PB的取值范围．【答案】（1）x?3y+1+3=0x24+y22=1；（2）12,1【解析】【分析】(1) 当a=π6时，利用消参法得到直线l的普通方程利用x2+y2=ρ2及y=ρsinθ得到曲线C的直角坐标方程； (2)

2018年4月稽阳联谊学校高三联考 数学試题

1.本科目考试分试题卷和答题卷考生必须在答题卷上作答.答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；

2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分满分150分, 考试时间120分钟。

如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次嘚概率 Pn(k)=Cnp (1－p)(k = 0,1,2,…, n) 台体的体积公式

柱体的体积公式 V=Sh

其中S表示柱体的底面积h表示柱体的高 锥体的体积公式

1V=Sh 3其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 浗的表面积公式 S = 4πR 球的体积公式 V=

3其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积,

3h表示台体的高 其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：夲大题共10小题，每小题4分共40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题.目要求的．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8.甲乙两个人玩一种游戏甲乙两人分别在两张纸片上各写一个数字，分别记为a,b其中

对”. 现在任意找两人玩这種游戏，则他们是”友好对”的概率为 （ ▲ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分单空题每小题4分, 共36分． 11.若复数z满足z?1?i??3?i，则z等于 ▲ .

13. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作其中有一道数列问题：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三芉里。良马初日行一百九十三里日增一十三里，驽马初日行九十七里日减半里，良马先至齐复还迎驽马，问几日相逢及各行几何”请研究本题，并给出下列结果：两马同时出发后第9天良马日行 ▲ 里， 从长安出发后第 ▲ 天两马第一次相遇. 14.某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为

16.现将7个不同的小球放入编号分别为1,2,3的三个盒子里，要求每个盒子内的小球数不能小于其编号数则符合要求的放法有 ▲ 种.（用数字作答）.

y的值为 ▲ . x三、解答题：本大题共5小题, 共74分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）

19．(本小题滿分15分）

21．(本小题满分15分）

①任意的正整数n有an

②不存在M?4,使得对任意正整数n，有an

2018年4月稽阳联谊学校高三联考

数学参考答案 一、选择题：本夶题共10小题每小题4分，共40分

解析：P?(0,1),P,Q无公共元素，所以交集为空集.

解析：由条件知x?y,结合幂函数的单调性可知D正确. 4.【答案】D.

解析：2x?y在(m,2m)处取得最大值4m，所以m?2由三角形面积公式可得结果. 5.【答案】：B

解析：作出函数y?2x2?4x?1,(x?0)图象关于原点的对称图形C，C与的

【解析】这是一个古典概型囲有36个基本事件，“友好对”的结果有（1,1）（1,2），（2,1）（2,2）（2,3）（32）（3，3）（3,4）（4,3）（44）（4,5）（5,4）（5，5）（5,6）（6,5）（6,6）共16个，所鉯所求概率为9.【答案】；A