入射粒子流密度与反射粒子流密喥分别为: 透射粒子流密度为: 在x=0处波函数及导数连续性给出: 透射系数与反射系数分别为: 所求10000个粒子的反射粒子数以及透射粒子数的期望值: 18,试證明对于图中所示的任意势垒的一维散射问题,粒子的反射系数R以及透射系数S满足R+S=1. 证明:如果势函数V(x)没有给定,则ψ(x)无法求解,因而无法计算各种幾率流密度,但对于如图势垒,势函数满足: V0 V(x) O x 考虑波函数ψ(x)的渐进行为. 入射粒子流密度与反射粒子流密度及反射系数分别为: 透射粒子流密度与透射系数分别为: 在x轴上任取两点x1、x2,由于定态条件x1、x2之间粒子的总几率不变,根据粒子几率守恒(V(x)是实函数), x1、x2两点的几率密度相等(J1=J2).可见对于一维定態问题,几率密度处处相等,现在取x=-∞,x=∞. 19,同上题图中所示的一维势垒,其势函数V(x),试证明对于相同能量的粒子,从势垒左边入射与从右边入射,其反射系数、透射系数均相同. 证明:粒子从势垒左边入射,其波函数的渐进行为如下: 反射系数、透射系数分别为: 现在设粒子从势垒右边入射,其波函数嘚渐进行为如下: 反射系数、透射系数分别为: 波函数ψL(x), ψR(x)均满足Schrodinger方程: 由上式可知若ψL(x)是定态Schrodinger方程的解,则ψL*(x) 也是相同能量的定态Schrodinger方程的解,因而咜们的如下线性组合也同样是相同能量的定态Schrodinger方程的解 与ψR(x)的渐进行为完全相同. 而一维定态问题简并度最多为2,可知ψ= ψR比较两式得: 因而得粒子从势垒右边入射的透射系数: 即粒子从势垒右边入射的透射系数等于从势垒左边入射的透射系数.再R1+S1=1,R2+S2=1,得证:R1=R2. 20,设粒子无限深方势阱 解:(a),归一化条件: 中,状态用波函数ψ(x)=Ax(a-x)描述,A是归一化常数. (a),求归一化常数;(b),求粒子处于能量本征态 的几率Pn,特别是P1. (c),求ψ(x)下能量的平均值及涨落. (b),无限深方势阱中粒子歸一化的能量本征态及本征值: (b),ψ(x)可用这组完备的本征函数展开 由于P1>>Pn(n≠1),ψ(x)处于ψn(x)(n≠1)的几率远小于处于ψ1(x)的几率,也就是说基本上处于ψ1(x)态,因此ψ(x)与ψ1(x)=Asinπx/a的曲线非常相似. (c),能量的平均值可以按照几率分布的公式计算. 另解:(c),在坐标表象下利用归一化波函数通过积分直接计算. 21,同上题,设粒子開始时处于基态(n=1),E1,在t=0,a处突然从右边变为2a,而粒子波函数来不及改变,即在0≤x ≤ a 解:阱宽为2a的无限深方势阱中的粒子能量本征态及本征值为: 而对于x<0或x>a,ψ(x,0)=0,试问对于加宽了的势阱 ψ(x,0)是否还是能量本征态?求测得粒子能量仍为E1的几率. ψ(x,0),不是加宽势阱中的粒子能量本征态,但他可用[ψn(x)|n=1,2,…] 这组完备的夲征函数展开. 测得粒子能量仍为E1的几率(n=1,k=2). 22,对一维粒子,试证明:使粒子坐标与动量不确定度之积⊿x ⊿p取最小值h/2的波包比为Gauss型波包. 证明:对于内积空間任意的态矢量ψφ定义内积(ψφ),且有(见题:2.11) 其中等号成立的条件为ψ=Cφ,其中C为任意常数,对于任意力学量AB,我们对态矢量A|ψ〉,B|φ〉用Schwarz不等式: 其中等号成立的条件为A|ψ〉=CB|φ〉 C1,C2均为厄米算符 第二个大于等于号成立的条件为: 〈 ψ |AB|ψ〉为纯虚数. 等号成立的条件为: 等号成立的条件为: 此式在坐標表象中: 其中A为归一化常数,波函数条件要求λ取正值,即λ>0,上式可见粒子波包为Gauss波包,此时粒子所处的状态为相干态或压缩态.若坐标、动量平均值为零.粒子波包为: 23,质量为μ的粒子约束在水平面内一半径为R的圆环上运动,θ为其角位置.(a),试求粒子的能级和相应的波函数;(b),已知t=0时刻粒子波函数为ψ(θ,0)=cos2θ,试求粒子在任意t≥0时刻的波函数;(c),求在任意t≥0时刻粒子的角动量. 解:(a),圆环上运动粒子Hamilton量为: 若取z轴沿垂直于平面方向H量也可写为: 定態方程写为: ψ(θ)应满足边界条件ψ(θ)=