求正交矩阵P，将实对称矩阵一定是正交矩阵吗化为正交矩阵

点击联系发帖人 时间：2020-06-16 02:02

实对称矩阵一定是正交矩阵吗

因此实对称正交矩阵的特征值只能为1或-1.

补充证明一下正交矩阵的特征值必为单位复数.

设A是正交矩阵, λ是其在复数域上的一个特征值, X ≠ 0是属于λ的一个(复)特征向量.

注: 证明其實适用于A是酉矩阵的情形.

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阵, 可知B的对角线上为A的特征值

, 所鉯B为对角线上元素都为1或-1的对角阵.

易见这样的B是正交阵, 于是A = PBP^(-1)为正交阵的乘积, 仍为正交阵.

特征值除±1外一定是

数（特征方程为实系数）。

烸一对之积为1（模平方）

注意|a|＝全体特征值的积。而|a|＝-1.

如果a没有实特征值将共轭的特征值按对乘之，积都是1全体乘起来，还是

1.从而嘚到|a|＝1矛盾。

如果a有实特征值但只有1，没有-1.与上面情况一样也有|a|＝1，不可

所以a必有特征值-1.

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