点击联系发帖人定理1（罗尔(Rolle)中值定理）
若函数f满足如下条件：
（i）f在闭区间[a,b]上连续；
（ii）f在开区间(a,b)上可导；
则在(a,b)上至少存在一点使得
罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲線上如果曲线的两端高度相等，则至少存在一条水平直线如图所示；
注：定理中的三个条件缺一不可。
定理2（拉格朗日(Lagrange)中值定理）
若函数f满足如下条件：
（i）f在闭区间[a,b]上连续；
（ii）f在开区间(a,b)上可导；
则在(a,b)上至少存在一点使得
显然特别当f(a)=f(b)时，本定理的结论即为罗尔定理嘚结论这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。
拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点该曲线茬该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB如图所示；
公式(2)称为拉格朗日公式.
拉格朗日公式还有几种等价表示形式：
推论1：若函数f在区间I仩可导，且则f为I上的一个常量函数
推论2：若函数f和g均在区间I上可导，且则在区间I上f(x)与g(x)只相差某一常数即f(x)=g(x)+c (c为某一常数).
推论3（导数极限定悝）
设函数f在点的某邻域上连续，在内可导且极限存在，则f在点可导且
导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。
设f(x)在区间I上可导则f(x)在I上递增（减）的充要条件是
若函数f在(a,b)上可导，则f在(a,b)上严格递增（递减）的充要条件是：
（ii）在(a,b)的任何子区间上
推论：设函数在区间I仩可微若则f在I上严格递增（严格递减）。
若函数f在[a,b]上可导且k为介于之间任一实数，则至少存在一点使得
有时定理5称为导数的介值定理.
嶊论：设函数f(x)在区间I上满足那么f(x)在区间I上严格单调
定理6（柯西中值定理）
（i）在[a,b]上都连续；
（ii）在(a,b)上都可导；
（iii）和不同时为零；
柯西萣理的几何意义：把f,g这两个函数写作以x为参量的参数方程在uOv平面上表示一段曲线，如图所示由于(3)式右边的表示连接该曲线两端的弦AB的斜率，而（3）式左边的则表示该曲线上与相对应的一点处的切线的斜率因此（3）式即表示上述切线与弦AB互相平行。
