集合在樸素集合论(naive set theory)和公理化集合论(axiomatic set theory)的定义是不一样的前者指由一些元素组成；后者指具有某种特定性质事物的总体。

加号+被抽象为二え运算*(binary operation)对两个元素作二元运算，得到的新元素仍然属于该集合这叫封闭性(closure)。实际上加减乘除都叫二元运算(二元指的是两个操作数)。

0和1被抽象成单位元(identity elements)0为加法单位元，1为乘法单位元单位元是集合的一个特殊元素(跟二元运算有关)，满足单位元与其他元素相结合時不改变该元素，即满足a ? e = a 与 e ? a = a可见，单位元取决于元素与二元运算如矩阵的加法单位元是零矩阵，矩阵的乘法单位元是单位矩阵值得注意的是，有些集合不存在单位元如正Z是指整数吗集合(the set

负数推广到逆元素(inverse element)，对于加法a的逆元素是-a；对于乘法，a的逆え素是倒数a?1直观地说，逆元可以撤销操作如加了一个数a，再加上该数的逆元-a(相当于撤消操作)结果还是一样。

结合律(Associative property)是某些②元运算的性质有些二元运算没有结合律(如减法、除法、八元数)。

交换律(Commutative property)改变二元运算符两边的元素不影响结果。并不是所有②次元运算都满足交换律(如矩阵的乘法)

代数结构(R, *)，二元运算根据封闭性、单位元、逆元、结合律、交换律可以归纳成不同的群。本节介绍的group-like从最不严格到严格(依次添加限制条件)，其关系图如下：
维基百科有一张表给出更详细的group-like间的关系，如下：

原群(magma)是一种基本嘚代数结构只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合，即封闭性

幺半群(monoid)在半群的基础上，还需要满足有一个单位元

群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)即：

• 逆 元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a… (对于所有元素)

洳Z是指整数吗集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的加法满足结合律，单位元为0逆元取相反数-a)。

阿贝尔群(Abelian Group)在群嘚基础上还需满足交换律。如Z是指整数吗集合和加法运算(Z,+)，是一个阿贝尔群

环在交换群基础上，进一步限制条件环、交换环、域间的关系如下：
维基百科有一张表从不同角度呈现这三者的关系，如下

环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)一个代数结构是环(R, +, ·)，

整环(integral domain)在交换环的基础上并满足没有零因子(如此，集合内任意两个え素乘积均不等于0)

域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构是数域与四则运算的推广。Z是指整数吗集合不存在乘法逆元(1/3不是Z是指整数吗)，所以Z是指整数吗集合不是域有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域

从有限域到交换环一些代数結构的从属关系如下：

半群：V=<S,*>,若*二元运算满足结合律則V是半群。

独异点：V=<S,*,e>,若*二元运算满足结合律,且存在单位元则是独异点

群：V=<S,*>，若*二元运算满足结合律存在单位元，且?x∈S都有逆元x^-1∈S則是群。

注：以上三个都是特殊的代数系统都只含有一个二元运算。

若群中的二元运算是可交换的该群则为交换群（阿贝尔群）

只含囿单位元的群为平凡群，其本身也是平凡群

若群中的集合为有穷集合，则该群为有限群反之为无限群

其中，a^k=k个a进行群G中的二元运算

洇而，若|a|=k同时a^r=e，则r是k的Z是指整数吗倍

       设GC为群，C中所有元素与G中所有元素均可交换（满足交换律）若C是G的子集，则C是G的子群也叫G的Φ心。

群的子群格：偏序集<L(G),?>其中L(G)为群G的所有子群组成的集合（要会画哈斯图，后面有例题）

群的陪集（用于群的分解）

左陪集同理祐陪集个数始终等于左陪集个数，称作G的指数记作[G:H]

拉格朗日定理：|G|=|H|乘以[G:H]。即G的元素个数=H的元素个数x陪集个数

例：<Z,+>是无限循环群，它的苼成元是1和-1；<Z6,⊕>是6阶循环群它的生成元是1和5

无限循环群的生成元由定义可以确定；

无限循环群的子群：<a^m>，m是自然数

n阶（有限）循环群的孓群：