在古典力学中转动惯量又称惯性矩（Moment of inertia），通常以  或  表示为[kg]·[m²]。转动惯量用以描述一个物体对于其旋转运动的改变的对抗是一个物体对于其旋转运动的。转动惯量在Φ的角色相当于线性动力学中的描述、、和等数个量之间的关系。

对于一个，其中  是其 是质点和转轴的垂直距离。

对于一个有多个質点的系统。

对于可以用无限个质点的转动惯量和，即用计算其转动惯量，其中是密度是体积元。

如果一个质量为  的物件以某條经过质心  点的直线为轴，其转动惯量为 在空间取点 ，使得  垂直于原本的轴那么如果以经过 、平行于原本的轴的直线为轴， 的距离为 则 。

在直线运动。在旋转运动则有，其中是是。

一般物件的是将速度v和质量m，用转动力学的定义取代：

如果一个人坐在一张可转动的椅子双手拿重物，张开双手转动椅子，然后突然将手缩到胸前转动的速度將突然增加，因为转动惯量减少了

对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的 Qxyz ，一个刚体的惯性张量  是

x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量设定  为微小质量  对于点 Q 的相对位置。则这些转动惯量以方程式定义为

矩阵的非对角元素称为惯量积, 以方程式定义为

这里， 代表微小质量  在 Gxyz 座标系的位置 代表微小质量的速度。因为速度是角速度  叉积位置所以，

相似地计算 y-轴与 z-轴分量角动量为

平行轴定理能够很简易嘚，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量转换至另外一个平行的座标系统。假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量  而质心 G 的位置是  ，则刚体对于原点 O 的惯性张量  依照平行轴定理，可以表述为

相似地可以求得对于点 O 的其他惯量积方程式。

参视图 C 设定点 O 为直角座标系的原点，点 Q 为三维空间里任意一点Q 不等于 O 。思考一个刚体对于 OQ-轴的转动惯量是

特别注意，从方程式(2)、(3)这些积分项目，分别是剛体对于 x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量与惯量积因此，

如果已经知道刚体对于直角座标系的三个座标轴，x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量那么，对於 OQ-轴的转动惯量可以用此方程式求得。

因为惯性张量  是个的三维我们可以用对角线化，将惯量积变为零使惯性张量成为一个。所得箌的三个必是正实值；三个必定互相

换另外一种方法，我们需要解析特征方程式

也就是以下等于零的的：

这方程式的三个根  、 、 都是正實的特征值将特征值代入方程式 (8)，再加上方程式

我们可以求到特征向量  、 、 。这些特征向量都是刚体的惯量主轴；而这些特征值则分別是刚体对于惯量主轴的主转动惯量

假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为 、 、 角速度是  。那么角动量为

这里， 是刚体质心的速度 是微小质量  相对于质心的速度。在方程式里等号右边第一个项目是刚体的动能，第二个项目是刚体嘚动能 由于这旋转运动是绕着质心转动的，

假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴这刚体的主转动惯量分别为 、 、 ，角速度是  那么，刚体的动能为

求 摩擦力对 y 轴的力矩

在定轴转动中力矩可用代数值进行计算

2. 刚体对定轴的转动定律

刚体绕给定轴的转动惯量 J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。

转动慣量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量

计算转动惯量的三个要素:
(1)总质量； (2)质量汾布； (3)转轴的位置
(1) J 与刚体的总质量有关
例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量

(2) J 与质量分布有关

例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量

例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量

(3) J 与转轴的位置有关

例 均匀细棒的转动惯量

(2) (薄板)垂直轴定理

例如求对圆盘的一条直径的转动惯量

(3) 几种刚體的转动惯量

下面给出了一些常见刚体的转动惯量

请注意在转动惯量的计算中，转轴位置的重要性

5. 转动定律的应用举例

例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计 (见图)

例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒可绕轴 O 在豎直平
面内转动，初始时它在水平位置

重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩

从上式看到：外力对刚体所作的功等於合力矩对角位移的积分它是力做的功在刚体转动中的特殊表现形式。 

(2) 力矩的功就是力的功

(3) 内力矩作功之和为零

3. 转动动能定理 ——力矩功的效果

绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和

这就是绕定轴转动刚体的——动能定理

对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立：
系统外力所作的功与系统非保守内力所作的功之和等于系统机械能嘚增量如果只有保守内力做功，系统的机械能也守恒

例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒可绕轴 O 在竖直平
面内转动，初始时它在水平位置

此题也可用机械能守恒定律方便求解