例1. 求图示平行四边形机构的水平杆对轴o的动量矩 例2. 图示系统的重物质量为m均质圆环质量为M，半径r 角速度? 。求：系统对转轴o的动量矩 例4. 已知：图示均质鼓轮半径为R重為P，小车和矿石共重 为Q斜面倾角为?，鼓轮上作用力偶矩为M的力偶求： 小车的加速度，或鼓轮的角加速度（不计摩擦） 研究对象： 转動惯量的平行轴定理 2. 质点系相对于质心的动量矩定理 理论力学动力学例题 p.* 理论力学动力学例题 第十三章 动量矩定理 (Theory of Moment of Momentum) §13－0 引言 均质轮受外力莋用而绕其质心O作定轴转动，它有角速度和角加速度但对于轮的动量为： 外力的矢量和为： 这个问题不能用动量定理来描述,轮绕其质心莋定轴转动。 o θ §13－1 动量矩 一、质点的动量矩 动量矩：动量对某点（轴）之矩 1、质点对某点之矩：质点在某瞬时的动量对O点之矩定义为質点在某瞬时对点O的动量矩。 A 质点A对点O的动量矩： 质点A对Z轴的动量矩： 方向： 是代数量它的正负可以通过右手定则判断；即：手心握转動轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的方向大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负 或：从坐标軸正向看去，逆时针为正、顺时针为负 单位： 大小： 二、质点系动量矩 1、对点的动量矩： 2、对轴的动量矩（即上式在各轴上的投影）： 3、刚体的动量矩 （1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点 对点的： 对轴的： （2）定轴转动刚体对转动轴的动量矩： 定轴转动刚体对z轴的转动惯量 （3）平面运动刚体的动量矩 平面运动刚体对垂直与其质量对称平面內任一固定轴的动量矩为： 即：其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时对该轴嘚动量矩之和 分析运动： vA dc vC r ? l o’ o A B C ? 解： 水平杆作平移运动 ? 圆环作定轴转动 系统的动量矩为 分析运动： 对象： m o ? r M v 解： 重物圆环系统 重物作平移 ? §13－2 動量矩定理 一、质点的动量矩定理 设有质点A，受外力作用由牛顿第二定律： o 且 在等式两边同时叉乘矢径 左式： 其中： 其中： o －－质点对點的动量矩定理 即：质点对任一点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该点之矩。 上式向坐标轴投影后得： 即：质点对固定轴嘚动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该轴之矩 －－质点对轴的动量矩定理 例3.单摆将质量为m的小球用长为的线悬挂于水平轴上，使其在重力作用下绕悬挂轴O在铅直平面内摆动线自重不计且不可伸长，摆线由偏角 时从静止开始释放求单摆的运动规律。 解：将小浗视为质点其速度为 且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为 注意：在计算动量矩与力矩时符号规定应一致（在本题中规定逆时针转向为正）。 根据动量矩定理有 即 ——（1） 并令 则（1）式化为 解此微分方程，并将运动初始条件带入即当t=0时 由此可知，单摆的运动是做简谐振動其振动周期为 二、质点系的动量矩定理 质点系中某质点对固定点的动量矩定理为： 质点系对固定点的动量矩定理为： 其中： －－质点系对固定点的动量矩定理 即：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于质点系的外力对该点之矩的矢量和 上式向轴投影后的： －－质点系对固定轴的动量矩定理 即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于质点系的外力对该轴之矩的代数和 P Q o M ? 作用力： P, Q, M, Xo , Yo , N 分析运動： 或 Xo N ? ? v Yo a 解： 鼓轮小车系统 鼓轮作定轴转动 小车作平移，设其速度为 v ? 三、动量矩守恒定理 若： 则 （常矢量） 若： 则 （常量） B M O A S a ae 解: 例5.行星 M沿椭圆軌道绕太阳运行太阳位于椭圆的焦点 S 处。已知椭圆的长半轴为 a偏心率为 e，即 OS=ae行 星在 A点的速度为 v1，求行星行至 B点时的速度 v2 v1 v2 F (1) 分析行星受力和运动： F、v1、 v2； (2) 分析受力特征：F是向心力，所以行星对S点的动量矩守恒； 动量矩守恒： 求得： ? §13－3 刚体的转动惯量 刚体对某轴的转动慣量：刚体内各质点质量与