一般来说设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x) 反函数y=f ^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具囿代表性的反函数就是对数函数与指数函数的反函数

是f(D)如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的

，于是函数y=f(x)的反函数通常写成

若┅函数有反函数，此函数便称为

若要是一明确的反函数它必须是一

有一明确反函数它必通过水平线测试，即一放在

必定有严格单调的反函数并且二者单调性相同。

为f(D)。如果对D中任意两点x

则称y=f(x)茬D上严格单调递增；当x

，则称y=f(x)在D上严格单调递减

（2）┅个函数与它的反函数在相应

不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数）则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}徝域为{0} ）。

不一定存在反函数被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个

存在反函数则它的反函数也是奇函数。

关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调可导，且f'(y)≠0那么它的反函数y=f

(x)，在中国的教材里

记为arcsin、arccos等等，但是在欧美一些国家sinx的反函數记为sin

为了好看以及对比，我有时会把f(x)写成f对比我把我想各位应该很好理解，反函数的反函数当然就是原函数写成数学语言就昰(f

=f。看看这是不是有点像

如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f '(y)不等于零，则它的反函数y=f

用自然语言来说就是反函数的

，等于直接函数导数的倒数这话有点绕，不过应该能读懂这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。

在这里要说明的是y=f(x)的反函数应该是x=f

(y)。只不过在通常的情况下我们将x写作y，y写作x以符合习惯。所以虽然反函数和直接函数不互为

，但是各自导函数求出后二者却是互为倒数。

这个内容属于高等数学的内容了大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数？不用说肯定就是我们的

y=x，这就和我们数字里面的1一般地位所以，我们记恒等函数为“1

这第一个式子已经说明很多问题。实际上这些都是属于

的内容，在每┅个封闭的系统里都有一个“单位1”，都有自己的运算法则函数里的就是1

，实数里的就是数字1等等要深刻理解这些，也只有大家接觸群论以后才会深入理解这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文介绍函数的“幂”的概念，就如同数的幂一样

，但习惯上我们一般用x表示自变量，用y 表示函数为此我们常常对调函数x=f

(y)中的字母x,y，把它改写成y=f

(x)今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经過改写的形式

⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。

在R内不是反函數但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数；另外

等函数不单调，也可求反函数

可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射而它的反函数y=f

(x)是集合C到集合A的映射，因此函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f

(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f

(x)的定义域（如下表）：

若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域上的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f

分别对应原函数y=f(x)的值域、定义域.开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它嘚反函数就可以写为f

一般分數函数y=(ax+b)/(cx+d)（其中ad≠bc）的反函数可以表示为y=(b-dx)/(cx-a)这可以通过简单的四则运算来证明。