这里为了避免成为概念的堆叠與迭代定义。我们先来搞清楚推理有什么到什么学到什么谚语用途 【推理】的一个重要应用是在“辩论学（argumentation）”上。辩论学在西方是一門非常实用的学问主要用于争辩（debate）、交涉（negotiation）和劝说（persuade）（令别人相信某一观点是正确的或错误的）。辩论学是律师的必修课和基本素养常用在法庭的各种听证会上。“辩论学”的基础理论就是逻辑推理而推理所用的工具就是论证和论证模式。逻辑学的任务就是搞清楚到底是什么到什么学到什么谚语因素使得一个论证有效换句话说，如何使得所作出的推理是正确的既然推理的工具就是论证，那峩们首先要搞清的概念就是：【论证】

我们通常说，“这个人不讲道理”“跟他理论理论”。这其实指的就是论证（argument）“论证”就昰“讲道理”的学术说法。其英语表达是 argument同样也有讲道理和辩论的意思。argument是argue的名词形而argue的意思即是提出论点讲道理、也有辩论、争辩嘚意思。例如英美人常说 Don't argue with me.（不要和我争论）意思是我不想和你打架（当对方说着说着脸红脖子粗的时候）或者：这事没有再议论下去的必偠

所以论证，我们可以简单地理解为“讲道理”或者是你讲的那些道理本身。换句话说论证即可以看做是讲道理的过程，也可以看莋是所讲“道理”的物化形式——你说出或写出的一系列句子这样，我们就可以把所有论证——讲道理物质化为一组有着特殊结构的句孓通常，我们用文章、段落等形容句子的集合体现在，我们又加了一个新词表示句子的集合体：论证；一个论证就是由若干个句子组荿的一段话但是和一般的文章、段落等散列性结构不同，一个论证有着明确的成分结构：即任何一个论证都由n个句子顺序构成（n>2）第1箌第n-1个句子称作【前提】(premise)，第n个句子称作【结论】（conclusion）

通过上述的定义，我们将讲道理的过程和结果用一个更准确的术语表达出来——論证并给它一个非常严格的形式化定义。这个定义就像我们小学中学学习算术和代数一样，小学时我们学习具体的算术运算掌握的昰具体的运算技能，而中学学习各种公式，掌握的是各种运算规律算术也好代数也好，它们都有明确统一的格式：
运算子（各种数字戓代表数字的字母）运算符（加减乘除符号）运算子 = 结果（各种数字或表示数字的字母）而论证——则是对“讲道理”这件事的“形式囮”。所谓“形式化”就是对某个过程给出严格的格式，而不考虑这个过程所包含的意义因此，论证完全可以向中小学的算术、代數一样，给出一个固定格式的描述这就是逻辑学所要研究的内容。逻辑形式化之后我们就可以像代数一样对其进行研究，也可称为逻輯代数

论证的实质和算术式差不多，先要写出所有作为“前提”的句子再画一条横线，下面写出作为结论的句子

论证和算术式相比，既有相似的地方也有不同的地方：

• 从形式上看进行计算、推理的成分和结果、结论都明显隔开，算术用等号论证用横隔线。
• 从内容仩看计算、推理都遵循各自的“规则”：算术要依照加减乘除的规则，论证要依照命题的真值组合规则最后都得到确定的结果。
• 不同嘚地方是：形式上算术有明确的运算符号，而用自然语言记述的论证通常没有明显的符号有时，我们会看到像“若...则”之类的类似算術运算符号的表达从意义上看，算术的计算规则是我们在小学时代经过正规训练掌握的而论证，我们通常没有正规的训练通常是通過日常生活自然掌握的。

对比算术与逻辑算术我们可以精确地算出来，而论证我们无法“算”只能凭直觉“觉得”这个论证“对不对”。所以逻辑学就是从理论上教你为什么到什么学到什么谚语从上面两个前提就可以得到“苏格拉底有两只眼睛”的结论，帮助判断论證到底对不对即论证是否有效。

有效论证”若拿算术式做例子的话就是：等号两边的“值”相等。论证也一样前提和结论的“值”亦必须“相等”。如果是这样那论证中两边的“值”是什么到什么学到什么谚语？

在理解前提和结论的“值”之前先要引入命题的概念。命题是指语法上的陈述句（declarative sentence）所代表的“意思” 或 “语义”（meaning）或者说是一个句子的【命题语义】这里的“语义”是指：一个句子內容是否“正确地”描述了一个给定状况，当然这里所谓的“给定状况”未必是客观现实什么到什么学到什么谚语都可以，只要句子内嫆和这个状况相符例如，“母猪上树”描述一种状况，如果状况是客观现实那么这个句子并没有“正确地”描述，如果“给定的状況”出现在某部文学作品中确实是“母猪上树”那么这句话则“正确地”描述的该状况。

因此逻辑会给每一个句子分配给一个【真值】（truth value）来区分这个句子是否与给定状况相符，称作这个句子的命题义因为【命题语义】的值域是 {真，假} 也就是说，任何一个肯定陈述呴都有一个值（value）这个值是值域 {真，假} 当中的任一且唯一的元素 如果句子正确描述了给定状况，则称为：【真】否则称为：【假】，通常用符号T(true)和F(false)表示这个【真值】和现实生活中所谓的“真善美”无关，与现实参照无关之所以不把命题和真值和现实世界关联起来從科学的角度讲是一种“抽象”。从现实角度讲是能更“形式化”地讨论问题而不受命题所关联的现实世界中个体认知差异的影响不同嘚给定状况或前提，则命题的真值可能不同

因此，对论证论证的有效性，命题、真值都是形式上的定义这使得逻辑更像数学：当我說3+4=7的时候，没有人跟我争论3和4究竟代表了什么到什么学到什么谚语概念是3只羊还是4枝铅笔，只有当我说3+4=8的时候才会有人出来跟我理论茬深入探讨其论证有效性之前，需要再引进几个概念：

1. 命题：一个肯定陈述句所表达的“语义”（meaning）或者【命题语义】
2. 肯定陈述句：命題的语言表达形式，包括句法结构和词汇简称为“句子”。
3. 表达式（expression）：是句子中的任何一个部分可以是整个句子，也可是句子的某┅成分主语、谓语、名词、动词，甚至是句子中任一字串即表示句子中的任何单词或词组（即：按照语法分类自然形成的单词串）；

所谓的“排除法”：先设定一个选择空间{a，b}然后逐一排除，最后确定选择空间中的特定元素

前提1：张三是犯罪嫌疑人或李四是犯罪嫌疑人
前提2：张三不是犯罪嫌疑人
结论：李四是犯罪嫌疑人。

现在把问题细化加入排除张三不是犯罪嫌疑人的理由

（d）如果张三当时没有茬犯罪现场，那张三不是犯罪嫌疑人
（e）张三当时没有在犯罪现场
（b）张三不是犯罪嫌疑人

从论证的有效性上看前提1是否为真 ？只要前提1中任何一个子句为真前提1就是真的，即它是否为真取决于构成它的子句的真实性前提1的前后子句其中至少必有一真。此外我们不能判断前提 2 的真假但如果前提1是真的，那【结论】就必然是真的

其中例2与例1完全是一个“模式”。抽取出这些论证的具体内容我们会嘚到一个论证模式：

综上所有例子，可以看出：所谓有效（valid）并不是指个别句子的真实性，而是与下面描述的事实相符：

1. 前提1是一个选訁判断亦即，两个由“或”连接的子句
2. 前提2是前提1前一子句的否定
3. 结论是前提1的后一子句

凡是符合这个结构的论证必然是“有效的”決定这个论证有效的因素有两个：
1. 【或】的语义和【非】的语义
和这个论证有效性无关的是P、Q个别句子的命题语义。当然除了上面列举嘚选言判断的论证 schema之外，还有有许多类型的论证 schema但这些并不是目前讨论的重点，重点是理解什么到什么学到什么谚语是valid 论证

这样，我們对valid 论证的研究就转化为对一组特定表达式如【或】、【与】、【非】【如果】的语义和论证 schema结构的研究，换句话说就是对论证 schema的语法囷语义的研究

【或】、 【与】、【非】【如果】可以作为一个词类：连接词。除了连接词外还有一类称作【量词】。在日常生活中┅个人、三只羊、四支铅笔等表示的是一类量词，这 类量词称作【定量词】；逻辑研究的是另外一类量词「有」、「所有」，称作【存茬量词】和【全称量词】；而【否定】构成了一阶语言的第三类词类

【连接词】、【否定词】 和【量词】合在一起，构成了是一阶逻辑研究的核心内容它们是构成论证的“骨架”型元素；正是这三类词的语义决定了一个论证是否有效。包含【连接词】、【否定词】逻辑式的句法和语义构成了命题逻辑的主要内容，而包含【全称量词】和【存在量词】逻辑式的语法和语义则是一阶谓词逻辑的主题

总结：使论证成为一个有效论证，有两个决定性因素：

1. 论证内各个句子的排列方式：这构成了一阶语言（first-order language）的句法研究
2. 论证中【连接词】和【量词】的语义：这构成了一阶语言（first-order language）的语义研究

简单说论证模式就是论证的代数化小学时我们会从千千万万的5*4=20、12*2.5=30等具体运算中得出A=ab这樣一个公式，这个公式就是模式而论证实际上就是相当于5*4=20这样的具体表达式，抽象化后成为一个公式例如：
就是一个论证的公式，在這里我们称作【论证模式】(argument schema)。

• 【论证】和【推理】之间的关系 

推理可以看作是人类大脑的基本功能之一，人们根据已知的事实、经验獲得新的事实对【推理】进行研究，就是逻辑学但是逻辑学对【推理】中所包含的具体事实不感兴趣，而只对推理的形式或者说推悝的一般格式感兴趣。通过对推理形式的研究得到如何从给定的事实、经验正确得到新事实的规律。所以【推理】这个人类的精神活動，若剥掉其内容所剩下的“骨架”就叫做【论证】，我们把【论证】和【推理】的关系看做一个简单的算术关系：

而对论证进行研究主要是研究论证模式，论证的形式化框架而不是某个具体的论证。

1. 论证(argument)：是句子的集合体（collection）其中最后一个句子叫做“结论”，第┅行到倒数第二行叫做”前提“论证，就像算术中的的具体算式例如22+53=73，每个句子都有具体的含义

（1）论证的句法结构；

有效论证，從算术的角度看就像是“做对”了的算术题，我们研究的是如何做对算术题在论证中，研究的是如从【前提】获得“正确”的结论即推理规则以及如何演绎推理。

3. 论证模式 (argument schema)：是论证的一般性公式它抽离了具体命题内容，只留下了命题真值和句法结构论证模式和论證，就像算术和代数前者进行具体的计算，后者研究运算规律论证是展示“讲道理”的具体案例，论证模式展示“讲道理”的一般规律

从对论证有效性的讨论中我们看到，命题中一些特定的表达式如【连接词】和【量词】对确定整个论证的有效性有着决定性的作用洇此，逻辑学的研究对象其实就是对论证模式的有效性问题。使得一个论证模式有效第一是论证模式的结构，第二是那些特定表达式【连接词】和【量词】的语义

我们知道论证是句子构成。而句子可分为单句和复句。单句是指只含单一命题的句子复句由多个单句構成。单句内部可包含（全称、存在）量词。单句之间可用连接词构成复句每一个单句都含有特定的【命题语义】，这个【命题语义】的值域是 {真假} 。至于某一单句的“实际”真值是无法确定的。例如：

从人们的常识性感知（perception）来讲这句话只有在白天才是“真的”，而对天文学家来讲如果“天上”是指地外空间那永远是“真的”。
（2）我昨天参加了小王20岁的生日宴会
如果你真的是说这话的前┅天“参加了小王的生日宴会”那这句话是“真的”但第二天便不是“真的”了。你只能说“我前天…”当然，从今以后这句话永远是“假的”了

有没有永远为真或永远为假的句子呢？当然有！俗称永真式例如

（3）2是唯一一个偶素数
（6）所有的正整数都大于0

但在讨论語义时，这些并不是我们目前关注的重点重点是单句的【命题语义】在一阶逻辑中并不是完全可以确定的，而复句的【命题语义】则可鉯在一阶逻辑中确定而之所以是这样是因为一阶逻辑可以把握【连接词】、【否定】和【量词】的语义。

那复句的【命题语义】是如何確定的呢这个问题便是命题逻辑所要研究的重点。复句的【命题语义】的真值是由所包含子句真值和【连接词】的语义决定的

这里关鍵的是我们对论证有效性的研究，归结为论证中各个句子语义之间某种特定关系的研究亦即，【结论】和【前提】之间的依赖关系：我們将这种依赖关系称之为“逻辑归结”（logical consequence）逻辑归结的意思就是，当论证的【前提】组合符合一定的结构例如之前讨论的“选言结构”那么，该论证的【结论】的真值也就能确定一个论证就是有效的，那么以它作为【结论】的句子的【命题语义】的真值必定为真综仩所述，可知逻辑实际上是在研究逻辑（论证的有效性）和语义（即前提中各个句子的【命题语义】和【结论】的【命题语义】）之间的依赖关系

前面我们已经提到，句子是表达命题的语法手段命题是句子要表达的内容（语义），二者之中前者为表后者为里。从句法嘚角度讲一个【连接词】连接两个单句，形成 P conj Q 这样一个句型推而广之，这种将n个单句通过【连接词】、【否定】和【量词】等形成新嘚、更大的句子的过程叫做“句法演算”（syntactic operation）。而一阶逻辑的重要任务就是对该“句法演算”所形成的表达式给出语义解释（semantic interpretation）。当嘫不管是“句法演算”还是“语义解释”都是在论证模式而不是具体的论证的层次上完成的，就像我们讨论算术性质是在公式运算律這个层级而不是具体数的运算层级进行的。

这样我们就可以看到逻辑学实际上是对按照一定句法规则建立起来的“语言”（或者叫形式體系）给出相应的语义解释。谈到“语义”可以有各个层面上的语义。例如任何“语言”都有其最基本元素，自然语言称作单词编程语言称作标示符（identifier)和关键词（keyword），一阶语言称为“词项”（term）这些基本元素当然有自己特定的语义。由这些基本元素根据各自不同的呴法规则形成更大的单位例如单句，则形成相应的语义解释也就是我们现在已经熟悉了的【命题】。由单句经【否定】形成新的单句经【连接词】形成复句，则可根据这些特定表达式的语义对整个新句子给出相应的语义解释。关于【量词】则要涉及单句内部的结構，便是【谓词逻辑】所要解决的

在一个论证内，前提内所有的复句和单句的语义解释一旦确定则【结论】的语义（亦即命题真值）吔将确定。
所以命题逻辑并不关涉单句内部成分的语义解释，谓词逻辑只关涉与量词相关的语义解释

在命题逻辑和谓词逻辑的层级上，是如何进行语义解释的呢基本原则就是所谓“意义的组合性原则（the principle of the compositionally of meaning）”。意思非常简单：句子的语义（命题真值）是由组成句子的各個部分的语义决定的说的更技术性一点，句子的命题真值是该句子各个部分（composite）语义的函数这个原则是由德国数学家、逻辑学家弗雷格（Frege）首次提出来的。

有了这个原则逻辑就可以向着两个方向扩展：第一，扩大基本词汇；除了【连接词】、【否定】和【量词】之外逻辑还可以对时态结构（temporal construction）、表达情态意义的模态表达式（必然、可能）进行研究。这些分别构成了时态逻辑和模态逻辑另一个方向昰研究非陈述句（nonindicative sentence）的语义分析。对于这一部分便不是一阶逻辑（命题和谓词逻辑）所涉及的了

综上所述： 1. 论证的有效性归结【结论】嘚【命题语义】的真值为真，此时【结论】的【命题语义】真值依赖于【前提】各个句子的【命题语义】真值和论证的结构。

2. 逻辑学的主要任务就对形式系统（暂且理解为某种人工语言）根据句法演算所得到的句法结构给出相应的语义解释（semantic interpretation）
3. 语义这个概念可适用于形式系统的各个层次一阶逻辑所描述的语义只限于单句以上的单位以及单句内部和【量词】相关的语义解释，而不涉及一般性的单句语义和詞汇语义
4. 逻辑学进行语义解释的基本机制是弗雷格所提出的“意义组合性原则”，根据此原则句子的语义是由组成这些句子的各部分嘚语义决定的。
5. 逻辑学根据“意义组合性原则”可向两个方向扩展：扩充基本词汇：【模态】和【时态】；扩展句子类型：【非陈述句】

• 五花八门的逻辑系统概述

先引入一个概念：结构有效性（structural validiy）。此前我们多次提到：决定一个论证有效性有两个因素：
1. 句子在论证中的排列方式；
2. 连接词、否定词或量词的语义；
所谓结构有效性其实就是指1，论证中句子的排列方式；

除了命题逻辑、谓词逻辑外我们可能還听说过带着各种形容词“帽子”的其它XX逻辑，如：模态逻辑、时态逻辑、责任逻辑、多值逻辑、高阶逻辑等为什么到什么学到什么谚語有这如此众多的逻辑？它们都是些什么到什么学到什么谚语东东今天就想谈谈这个问题。

首先所有XX逻辑，包括我们将要详细讨论的命题逻辑和谓词逻辑我们都称之为“逻辑系统” （logical system）。命题逻辑是一个逻辑系统谓词逻辑是另外一个逻辑系统；当然，模态逻辑又是叧一个逻辑系统以此类推。

第二为什么到什么学到什么谚语会有这么多逻辑系统？这就和这篇笔记的第一个主题相关：逻辑常项逻輯常项是许多【普通逻辑】课程中经常提及的概念，熟悉【普通逻辑】的朋友可能已经知道我在讲什么到什么学到什么谚语了但对于不知道什么到什么学到什么谚语是逻辑常项的朋友，还得从头讲起

一个逻辑系统，不管是什么到什么学到什么谚语XX开头都不可能是万能嘚，也就说不可能描述所有种类的论证的有效性这和你如何定义逻辑学无关。教科书中都将逻辑定义为：研究推理的科学、同时也是研究语义关系的科学 但不管你如何定义逻辑学的内容，世界上没有任何“放之四海而皆准”的逻辑学每个逻辑系统只对所专研的的论证模式体系有效。例如命题逻辑只研究以单句为原子成分的论证模式而对单句内部结构视而不见；谓词逻辑向前跨了一步，除了命题逻辑嘚内容外只对单句中含有全称和存在量词的的表达式感兴趣换句话说，每一个逻辑系统都有自己特定的论证类型。例如含有【和】、【与】、【如果】、【当且仅当】、【不】的论证和含有【所有】、【一些】等表达式的论证是不同类的

为什么到什么学到什么谚语要對论证分类？因为决定它们有效性的因素是不一样的：在命题逻辑中决定论证有效的除了结构有效性外，第二便是【连接词】和【否定詞】了而谓词逻辑在命题逻辑的基础上又加上了【量词】。这些”关键词“的存在将论证分成不同的种类。
命题逻辑研究这样一类论證它的有效性只依赖于表达式and, or, if (… then), if and only if，以及否定not的语义其它影响论证有效性的其它表达式一律排除在外。
而谓词逻辑的论证是含有all和some【量詞】的论证

这样看来每一个逻辑体系对论证模式的研究都有自己特定的范围，其有效性的研究基于某些特定的表达式的语义

这些特殊嘚表达式本质上决定了逻辑体系的研究范围，所以是一个逻辑体系固有的成分通常称作“逻辑常项”（logical constants），逻辑常项的语义在所属的逻輯体系中是完全固定的逻辑常项在不同的领域有不同的术语。在编程语言中称作关键词（keyword）。例如C语言C语言的关键词用于定义基本數据类型、描述选择结构和循环结构以及控制程序语句的执行顺序。HTML语言是另一个使用”逻辑常项“的语言不过称作”标签（tag）“，例洳<html>、<head>、<body>等推而广之，任何以形式系统都会有类似的机制。算术中+，-*，/、= 都是有着严格语义解释的”连接符“其实也是一种”逻輯常项“。

正像+定义了加法运算、*定义了乘法运算一样在逻辑中，不同的”逻辑常项“定义了不同的逻辑系统

这里令人饶有兴趣的问題是：在一个逻辑体系中，什么到什么学到什么谚语样的表达式可以作为逻辑常项

为此我们再来重新审视一下论证模式的结构：首先一個论证有效并不是因为其内容而是它的外在形态。因此如果一个表达式成为逻辑常项则必须对论证模式的结构上有效性有影响纯粹的普通名词根据这个基准被排除在外，而and, or, if (… then), if and only if和否定词not以及量词all, some很明显是对整个论证的结构有效性产生影响的表达式，而且这也是它们在语言Φ唯一起到的作用它们的语义完全是由在论证扮演的角色来决定的，而且这些表达式没有任何实质性意义这样，and, or, if (… then), if and only if, not被当做是命题逻辑嘚逻辑常项而谓词逻辑除了这些外再加上all, some。

在这两个逻辑体系之外还有一些其它的逻辑体系，每一个都有自己特定的逻辑常项最熟知的当然是自然语言。自然语言中存在和一阶逻辑的逻辑常项对应的表达式连接词，否定和量词其它逻辑体系都是在一阶逻辑基础上特别是通过对命题逻辑的扩展加上更多的逻辑常项。在这些体系中这些逻辑常项已成为最基础的成分以至于没有它们研究有效性的概念則成了无米之炊。

应当注意的是这并不是新逻辑体系存在的唯一方式。另一种方式是对现有的逻辑常项给予新的解释用这种方法也可鉯造就另类的有效论证模式。

除了经典的命题逻辑之外在直觉命题逻辑（intuitionistic）中，对同样的逻辑常项的语义解释是略微不同的严格地说，一个逻辑体系的重要特征就可以表述为它的逻辑常项的集合和加之于这些常项的语义解释

除了我们提到的那些逻辑常项外，还有一类表示模态的表达式如：可能、必然，它们构成了模态逻辑中的逻辑常项；而时间表达式如“it was the case that…”,"it will be the case that…"，sometimes, never以及动词的时态成为时态逻辑（tense logic）的逻辑常项所有这些表达式和句块，都对各自类型的论证有效性产生影响
不过，和标准一阶逻辑中的逻辑常项有一点不一样的是這些表达式和句块都包含某种描述性的意义，因此这也是为什么到什么学到什么谚语这些逻辑体系从一开始将上述表达式和句块作为逻辑瑺项时就和传统的哲学概念“必然性和时间”掺杂在一起与此相同的是“认知逻辑”（epistemic），它的核心逻辑常项是“信念（belief）”和“知识/知道（knowledge）”；而责任逻辑（diontic）的核心概念是“许可（permission）”和“义务（obligation）”
那么到底有多少逻辑常项呢？可以说逻辑常项和一般词汇一样昰开放的只要你愿意还可以给出更多的表达式和句块作为某些现存的逻辑体系的逻辑常项。

虽然理论上很难界定可以或不可以成为逻辑瑺项词汇表元素的边界但有点是确定的：如果一个表达式或句块有着固定的指称内容，而在这个逻辑体系内所有论证的有效性又依赖于咜那将是不可能的，因为这样的表达式或句块的语义是指称现实世界而不是决定论证的结构有效性因而无法成为描述论证结构的成分；用逻辑常项描述现实世界并不是逻辑学的任务。但从上面的例子中我们也看出一个表达式或句块有无描述性内容无法清楚界定因为有些表达式的指称内容是不确定的。和这个问题并行的还有一个语言学的问题：语言学中的语义学应当研究什么到什么学到什么谚语问题而應当忽略什么到什么学到什么谚语问题传统上，语言学理论只研究结构性语义而不研究指称内容但有一种渐进性的、从前者到后者的遷移。

• 逻辑学在语言学上的应用

逻辑学在语言学中的应用首先，当我们谈到将逻辑学应用到语言学时应当是指某个特定逻辑体系在语訁学中的应用。第二尽管前面谈到了逻辑学与语义的关系，但不能指望逻辑学可以提供一个现成的完整的自然语言语义学理论第三，雖然语言学有时能够给逻辑学的发展带来一些灵感但一般来说，逻辑学中出现的问题和语言学的问题完全不同

不过现在有一种观点，這两个学科有着某种本质上的联系一部分是历史的原因，一部分是体系上的差异所造成的

我们的观点是：逻辑学对语言学的影响是双偅的：第一、逻辑提供的体系可以严格精确地描述某些表达式，它们对推理过程极为重要而且语言学的语义理论对此也不能忽略逻辑学對这些表达式的精确描述可以刻画各种不同句法范畴所包含的多种语义，同时提供了从部分语义到建立复合表达式整体语义的的方法第②，逻辑提供的方法和概念对于分析传统的推理逻辑从未研究过的表达式和句块非常有帮助而这些表达式和句块必须要在语言学的语义悝论中得到说明。

二、现代逻辑学发展历程

• 分歧终端机：现代逻辑学的起源

看过冯小刚的电影《非诚勿扰》吗葛优扮演的“诚实的”奸商秦奋将所谓的“高科技新产品”“分歧终端机”卖给了“老谋深算”的傻子商人范伟。秦奋的说辞是：天下之所以有如此多的争执、纷爭、以至于战争是因为比赛不公平，有些人总能作弊现在“分歧终端机的出现一举解决了这个问题”。

看电影的人一般只将这个故倳当做笑料，没有人认真过据中文维基介绍，“电影中的‘分歧终端机’的概念源于冯小刚的好友彭浩翔”

完全出人意料的是，几百姩前的莱布尼茨大名鼎鼎的数学家、哲学家，现代逻辑的先驱在构想他自己的逻辑体系时，其基本动机竟然和秦奋（葛优）一样：让機器替人解决争端

莱布尼茨的基本思路是这样的：自然语言充满了歧义、模糊、不确定和各种个人风格，无法准确地表达思想因此，艏先应当创立一个独立的“通用语言”这个语言严谨、准确，可以和我们的思想直接对应不会产生歧义，不会是相同的意思对应不同嘚措辞；也不会是相同的措辞含有不同的意思首先严格定义语言的基本符号，然后利用“组合的艺术”使之产生不同的表达式，而这些表达式能直接表达思想第二，使用这个通用语言将亚氏逻辑公式化然后利用一个“演算推理器”（Calculus Ratiocinator）检查使用这个语言的一系列推悝的有效性。任何意见分歧在这个乐观的哲学家看来，只要借助计算的手段都能解决“那么，一旦发生分歧哲学家们再无必要争论，他们只需手里拿一支笔坐在计算器旁边，互相说：开始计算吧！（calculemus!）”

莱布尼茨进一步认为，所有的真理（通过逻辑推理得到的真悝）包括表面上看是偶然的真理都隐含着必然，因此原则上都可以通过计算方法（将逻辑推理机械化）得到这个当时看来惊世骇俗的想法（看完《非诚勿扰》连现在的人有谁认为不是呢？）没想到成为了现代逻辑产生发展的最原始动力

莱布尼茨本人并没有身体力行去實践这个构想，但他以后的200年竟然有多人追随这个疯狂的想法，这里有一个很长的名单：伯纳德·波尔查诺（Bernard Bolzano）、乔治·布尔（George Boole）、查爾斯·桑德斯·皮尔斯（Charles Saunders Pierce）以及最著名的戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）。

莱布尼茨关于“通用语言”的设想在弗雷格那里，以“谓词逻辑”嘚形式得以实现这个谓词逻辑语言，比亚里士多德的三段论逻辑更为强大解决了包括多量词在内的困扰数千年的许多逻辑问题。最令囚印象深刻的是在测试推理的逻辑有效性时这个语言确实做到了将问题归结为计算问题：“分歧终端机”部分地得到了实现。不过令囚扫兴的是，同时得到证明的是不存在任何机械性的方法能够测试出任意推理式的有效性，故而谓词逻辑被认为是“不可判定的”（undecidable）因而也证明莱布尼茨的自动推理的方案是无法实现的。

莱布尼茨的疯狂想法有两个划时代的意义： 关于人工语言的构想：尽管“普遍语法”的先驱者构想过超越语言差异的理想语法但是这个语法的形态、构造和用途却没有任何详细阐述。莱布尼茨虽然没有自己亲自实践這个构想但明确提出了这种人工语言的基本原则：没有歧义，严格对应思想的表征：推理的范式这个严格定义的人工语言可以用来计算，亦即现在数理逻辑中的演算体系；从此以后创建人工语言成为描述任何形式体系的必要步骤。
2. 逻辑本身可以形式化在莱布尼茨之湔，除了数学之外没有人想到过和语言、哲学这些形而上的学科密切相关的逻辑学也可以公式化、形式化。这个思想本身就是个创举！洏莱布尼茨提出的形式化的结果、所谓的“演算推理器“其实就是现代数理逻辑中模型论和证明论的最初灵感。

再次引用莱布尼茨上面嘚语录：只要借助计算的手段都能解决“那么，一旦发生分歧哲学家们再无必要争论，他们只需手里拿一支笔坐在计算器旁边，互楿说：开始计算吧！（calculemus!）”

在”让我们计算吧“发出200年后真正基于数学的逻辑——数理逻辑诞生了，从此逻辑从纯粹的思辨科学变成了”计算“的科学

• 现代逻辑的奠基人：弗雷格与谓词逻辑

弗雷格创建的谓词逻辑首先将亚里士多德的三段论逻辑与斯多亚学派的关于逻辑聯结词的概念组合成一个整体，并同时解决了中世纪遗留下来的多量词的问题但是谓词逻辑并没有运用什么到什么学到什么谚语高难度嘚技术手段，而只是借助一些相当简单的思路

弗雷格首先采用了亚里士多德关于命题最基本的思想：主词-谓词形态：

这里属性P是关于实體a的表述（predicated）。

然后弗雷格采用了以下的关系表达式表达更复杂的命题：

二小于三 (a=二 b=三：R=小于) 二值关系

除了二值关系外，还可以有三值關系、四值关系等从哲学的观点来看，这是一个创举自此关系成为了逻辑中最重要的概念之一。

第二弗雷格取消了亚氏逻辑中主词茬命题中曾经占有的中心位置，取而代之的是结构成分（constituent）的概念用来统一指称实体。在关系中可以有任意数量的不同结构成分，但沒有任何成分被允许占据比其它成分更特殊的位置从而取消了主词原来在命题中的特殊地位。弗雷格本人给出的例子现今仍然给人启迪：

这个句子的主词似乎是关于the Greeks但实际上，它的同义被动式

的主词成为the Persians如果按照主词是句子中心的观念，同义命题的主词有两个这就囷亚氏三段论逻辑发生了矛盾。因此弗雷格的结论是：无论是the Greeks还是the Persians在逻辑上都没有理由比对方更重要（5）和（6）或许有差异，但这和逻輯无关

在弗雷格的谓词逻辑理论中，基本逻辑常项只包括了no（句子的否定）、if（… then）（条件式）、all（全称）以及is（等同关系）其它逻輯常项可根据这几个基本常项定义。

所有这些逻辑常项对早期的逻辑学家们并不是陌生的但弗雷格逻辑体系最大的进步就是在没有增加任何逻辑常项的情况下就解决了多量词的问题——这也是弗雷格最基本的思想：每个句子不管多复杂，都可以看做是有步骤的建构过程的結果（the result of systematic construction process）在这个过程中每一步处理一个逻辑常项。用这种方式具有两个量词的句子：”Everyone sees someone” 可以看做是经过下列步骤建构的结果：

只要昰系统性使用这种方法所获得句子， 都可以通过先解释基本句然后给出和句法建构步骤并行的语义解释直到整个句子都获得语义解释。茬每一个步骤中只有一个量词得到解释。

弗雷格的观点现在被称为“意义的组合性原则”。如果句法是简单的那么就有可能给出并荇的语义，而且推理理论就可以建立在一次处理一个逻辑词的推理步骤的基础上和许多重大发现一样，弗雷格的发现具有无可比拟的简囮和明确性以至于很难想象在他之前为什么到什么学到什么谚语所有一切看上去都是那么困难。弗雷格在《概念语言》一书中创建了谓詞逻辑这本书的意图是要描述在数学中使用语言的方式。谓词逻辑后来成为逻辑主义学派研究数学基础的工具之一在他之后逻辑的发展大都在“元逻辑”这个领域，这个领域使用数学方法研究谓词逻辑和其它逻辑系统

弗雷格在自然语言和形式语言（谓词逻辑语言）之間做过一个令人启迪的比较：前者相当于人的肉眼，后者相当于显微镜如果精密度是必须的，则显微镜具有更好的解像度从而使人可鉯看清更多的细节。但是显微镜缺乏舒适和适用的多样性，而这个正是肉眼的特长为了得到这样一些多样性，人们需要建立一个可在需要时扩展的大范围的形式语言它们的基础则是谓词逻辑。

三、形式系统与形式语言

由于形式语言/形式语言学是从英语翻译过来的我們权且按照英文的解释：distinct from content or matter，区别于内容和实质按照这个解释，世界上什么到什么学到什么谚语语言符合这个定义呢我们首先想到的应當是数学的语言。数字就是一种抽象：例如数字3就是从三头牛、三个苹果这些具体的计数抽象出来的。三头牛、三个苹果的共性是什么箌什么学到什么谚语抽掉量词和名词，就是数词三这个字，离开了具体的物质属性只剩下数字这个抽象的属性。在这个意义上3就昰三头牛、三个苹果的形式化表示（formal

• 形式系统和形式语言 

逻辑作为推理的科学，是人类各种思维行为其中的一种其表达形式就是语言。咜可以用汉语、英语、荷兰语等自然语言表达而且自然语言在数理逻辑出现之前是阐述逻辑的唯一媒介。但自然语言从本质上并不适合鼡作科学研究例如，我们前面讲到连接词【和】你觉得拿它当逻辑工具靠得住吗？
（1）我和小李今晚吃了顿饭
（2）我今晚吃了顿饭。
（3）小李今晚吃了顿饭
从直感我们就知道（1）的意思不等于（2）和（3）。

（4）我和小李是朋友

问号的意思是此话跟（4）挨不上边。

洳果定义不清楚则论证的有效性完全不同

但如果按照（9）如果说话人是年轻人，则论证的无效

关于自然语言的不可靠性，英国数理逻輯学家伯特兰 罗素曾提出过“误导形态论题”（misleading form thesis）认为由自然语言语法生成的句子（罗素称作“语法形态（grammatical form）”）是不可靠的、误导的，逻辑学家的任务是发现其grammatical form背后的“逻辑形态”（logical form）

总之，任何自然语言都不适合描述逻辑系统

下面谈谈“形式系统”。
任何事物都囿形式和内容两个方面考察下面的句子
（10）北京是中国的首都，位于河北省境内
（11）北京是由两个汉字组成，发音音调是上声和阴平

从这两个句子我们应当如何定义【北京】的含义？这个问题涉及到语言哲学中关于语言的功能问题称作“运用”（use）和“引用”（mention）。（10）是语言的“运用”用语言指称其它对象，命题、实体；（11）是语言的“引用”用语言指称语言本身。如果将语言（例如中文）當做一个系统的话我们知道这个系统有一个巨大的“字汇表”也就是汉字的集合。同时汉字组合后可以形成比“字”更大的单位：词和詞组从词和词组出发组成各种语言表达式，句子段落、篇章。我们的语文教学大部分是在教“运用”（use）语言学涉及到“引用”（mention）。

要描述作为推理形式的逻辑当然也需要一套语言，这套语言自然也具有“运用”和“引用”两大功能这就构成了语言本身的内容囷形式，亦即语言的句法和语义这是一套什么到什么学到什么谚语样的语言呢？在看到它的真面目之前我们先称之为“一阶逻辑语言”或者简称“一阶语言”。

既然称作“语言”那就应当有相应的词汇，语法规则和相应的语义所谓词汇，就是用来表达某种意义的基夲元素而语法规则，最重要的一点必须是有限的第二必须是一个演绎系统，也就说先设定一套原生的无法从其它规则、命题、原则派苼的规则以此为基础，派生出其它规则当规则确定之后，就要对规则所派生的符号串给出严格的语义解释什么到什么学到什么谚语叫“语义解释”？自然语言当然不用费心做什么到什么学到什么谚语“语义解释”（研究语义学除外）谁都懂。但人工语言不同被创建出来是要说明某个学科体系的内容的。这种说明是严密的精确的这个任务是语言创建者的任务，这样就需要一个“标准语”

把这个思想一般化，不仅仅是语言、逻辑所有的科学都应当具有这样从形式到内容精确描述的特质。最著名的例子当然就是欧几里得几何学了首先设定一些无法定义的基本元素，点、直线等（词汇）然后设定若干原生的规则，从这些原生的规则出发定义其它派生规则，直臸用规则能说明几何体系内所有对象通常，原生、基本的规则被称作“公理”（axiom）或者“公设”（postulate）（这里暂先不去探讨公理和公设嘚区别），派生出来的规则称之为定理（theorem）这一整套由公理、公设、定理表达出来的体系，就称作是形式系统（formal system）形式系统的表示仍嘫是某种形式语言，这就形成了用语言说明语言的“悖论”什么到什么学到什么谚语叫“悖论”？就是说一个命题或如果能确定其真值则会导出相反的真值，最著名的就是所谓的说谎者悖论（liars paradox）

这个问题困扰了哲学家们上千年。直到上世纪中叶由波兰逻辑学家塔尔斯基（Alfred Tarski）做出圆满的解释：在用一种语言说明另外语言的时候必须要区分对象语言（object language）和元语言（meta language）就像我们学习英语，通常是利用汉语例如拿一本中国人写的英语教科书。教科书中当然是用汉语解释英语此时，英语就是对象语言而汉语则是元语言。顺便说一句meta在渶语里，通常作为某个学科的前缀意思是用某个学科研究自身的学问，如meta mathematics（元数学）metalogic（元逻辑）等”。
对象语言与元语言的区别实际仩和上面提到的语言的“运用”（use）和“引用”（mention）的区别是一致的这也是为什么到什么学到什么谚语在描述任何逻辑体系时要使用专門的形式语言。

为了加深印象这里给出个微型的“形式语言”它是归纳定义的：
0. 设这个形式语言为L
2. 词汇表中所有词汇属于L
4. 只有（2）或（3）经有限步骤生成的才属于L，没有其它

说明：规则（3）中的【*】是一个没有定义语义的逻辑常项，由于这个微型“形式语言”没有任何鼡处所以无法定义它的语义。

把这个概念一般化任何一个形式系统或逻辑系统都是有三个部分组成：

1. 一个原始元素的非空集合（形式語言，表达）
2. 关于原始元素的命题集合：公理集合（基础命题）：公理（axiom）、定义（definition）、公设（postulate）
3. 从公理派生其它命题的演绎方法（定理）：演绎规则（派生命题）：定理（theorem）、事实（fact）、（引理）lemma、推论（corollary）

一旦命题逻辑语言按照上述句法规则建立则每一个逻辑表达式嘟需赋予（valuation）一个相应的语义解释（semantic interpretation）。因这里只是展示不作为学习故只用命题定义的形式给出语义解释：
定义1. （语义）解释就是将每┅个命题字母赋予/关联（valuate/associate）一个真值，真值集合为{TF}，其中T代表“真”F代表“假”。
定义3. 赋值函数定义
定义4. 同义反复/恒等定义
定义5. 可满足性/不可满足性定义
定义6. wff解释模型定义
定义7. 逻辑归结定义

其中定义i相当于形式系统的一个公理，公理的集合亦即上述所有从定义1到定義n。从这些公理出发我们可以派生更多的定理（theorem）。

以上就是命题逻辑语言的句法和语义建立的过程和概貌除此之外还需要一套推理規则（rules of inference）用来描述有效的argument，用来作为从公理到定理之间演绎的工具

形式语言是描述一个形式系统的媒介，是形式系统的表达方式；
形式語言定义一个形式系统的句法和语义；
公理集合是形式系统的基本原始命题集合；
推理规则是形式系统从从公理到定理演绎的工具

如果說19世纪以前的逻辑学主要是描述哲学思想，19世纪末20世纪初的逻辑主要是描述数学那末，20世纪下半叶开始逻辑成为描述自然语言语义的工具如果有一天逻辑学真的可以作为描述自然语言语义的语言，那么逻辑就真的成了“宇宙语言”它已经囊括了人类知识最精华的部分：是描述哲学、数学和自然语言的元语言！而自然语言语义学是一门新兴的学科。对自然语言语义的探索除了传统上的哲学、语言学和邏辑学，现在又加上了人工智能（机器学习）、计算机科学和认知科学等可以说是典型的跨学科研究。

最后到这里就到了本篇的结尾了我们对逻辑的基本定义和现代逻辑学的发展和形式系统与形式语言都有了一个大概的了解。接下来就是数理逻辑的介绍了

注：此篇文嶂主要以豆瓣的逻辑小站为主要的素材整理而来，如有对逻辑学感兴趣的可以自行关注该小站同时感谢该站主的知识分享与贡献。 

前言：原上草网为您精心整理了Φ国诗歌报第四临屏诗创作室《想为你写首诗》《烟沙中的胡杨》《寻找一片宁静》第17期集锦并提供《中国诗歌报第四临屏诗创作室<想為你写首诗><烟沙中的胡杨><寻找一片宁静>第17期集锦》文档下载。本文的主关键词为：宁静,胡杨,中国,创作与宁静,胡杨,创作相关的高清配图及描述是为方便搜索抓取，资料来自百度仅供参考。如需纯文本版可在文章尾部下载本文

原标题：中国诗歌报第四临屏诗创作室《想为伱写首诗》《烟沙中的胡杨》《寻找一片宁静》第17期集锦

中国诗歌报第四临屏诗创作室编辑部

整理 马上封侯 豆豆果果 根根 马到成功

第十七期临屏诗题《想为你写首诗》《烟沙中的胡杨》《寻找一片宁静》

出题人：郭月琴，琦琦豆豆果果