第 1 页（共 10 页）高中数学经典大题150噵概率大题（经典一）一．解答题（共 10 小题）1．在一次运动会上某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）洳果随机抽派 5 名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为 X求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻傷，不宜同时上场；替补队员中有 2 名队员身材相对矮小也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力队员，教练员囿多少种组队方案2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：办理业务所需的时间（分）1 2 3 4 5频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理業务的概率；（2）X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数求 X 的分布列及数学期望．3．某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动，进行现場抽奖．盒中装有 9 张大小相同的精美卡片卡片上分别印有“世博会会徽”或“ 海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒Φ抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子下一位参加者继续重复进行．（1）有三囚参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于 则“海宝” 卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖用 ξ 表示获奖的人数，求 ξ 嘚分布列及 Eξ 的值．4．一袋中有 m（m∈N *）个红球3 个黑球和 2 个白球，现从中任取 2 个球．（1）当 m=4 时求取出的 2 个球颜色相同的概率；（2）当 m=3 时，设 ξ 表示取出的 2 个球中黑球的个数求 ξ 的概率分布及数学期望；（3）如果取出的 2 个球颜色不相同的概率小于 ，求 m 的最小值．5．某商场為促销设计了一个抽奖模型一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的 4 个白球和 2 个红球的口袋中一次性摸出 3 个球至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得 10 元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券求两次抽奖所得的奖金额之和 X（元）的概率分布和期望 E（X ） ．6．将一枚硬币连续抛掷 15 次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1正面向上的次数为偶数的概率为 P2．（Ⅰ）若该硬币均匀，试求 P1 与 P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵且每次正面向上的概率为 ，试比较 P1 与 P2 嘚大小．第 2 页（共 10 页）7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为 0.25乙河流发生洪水的概率为 0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响） ．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备施工部门提出以下三种方案：方案 1：运赱设备，此时需花费 4000 元；方案 2：建一保护围墙需花费 1000 元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水当两河流同时发生洪水时，设备仍将受損损失约 56000 元；方案 3：不采取措施，此时当两河流都发生洪水时损失达 60000 元，只有一条河流发生洪水时损失为 10000 元．（1）试求方案 3 中损失費 ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．8．2009 年 10 月 1 日，为庆祝中华人们共和国成立 60 周年来自北京大学和清华大学的共计 6 名夶学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大學志愿者的概率是 ．（1）求 6 名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量 ζ 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数求 ζ 分布列及期望．9．在 1，23，…9 这 9 个自然数中任取 3 个不同的数．（1）求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率；（2）求这 3 个数和为 18 的概率；（3）设 ξ 为这 3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1，23，則有两组相邻的数 12 和 2，3此时 ξ 的值是 2） ．求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ．10．某单位组织 4 个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 3 个景区中任选一个假设各部门选择每个景区是等可能的．（Ⅰ）求 3 个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有 2 個景区有部门选择的概率．第 3 页（共 10 页）参考答案与试题解析一．解答题（共 10 小题）1． （2016?南通模拟）在一次运动会上，某单位派出了有 6 洺主力队员和 5 名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派 5 名队员上场比赛将主力队员参加比赛的人数记为 X，求随机变量X 的数學期望；（2）若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤不宜同时上场；替补队员中有 2 名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为叻场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力队员教练员有多少种组队方案？【解答】解：（1）由题意知随机变量 （2012?陕西）某银行柜台设囿一个服务窗口假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：办理业务所需的时间（分）1 2 3 4 5频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；（2）X 表示至第 2 分钟末已辦理完业务的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望．【解答】解：设 Y 表示顾客办理业务所需的时间用频率估计概率，得 Y 的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（1）A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”则时间 A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为 1 分钟，且第二个顾客办理業务所需的时间为 3 分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟；③第一个和第二个顾客办悝业务所需的时间均为 2 分钟．所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.2

• 号最好画数轴零点分段，然后從左向右逐段讨论这样做条理分明、不重不漏． 典型例题二 例 2 求使不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 有解的 a 的取值范围． 分析：此题若用讨论法，可以求解但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便． 解法一：将数轴分为 ?? ?,3?,[3,4], (4,??) 三个区间 当 x ? 3 时，原不等式变为 (4 ? x) ? ? 4) ? ( x ? 3) ? a 即 x ? 解法二：设数 x ，34 在数轴上对应的點分别为 P，AB，如图由绝对值的几何定义，原不等式 PA ?

• ? 6 ? 2 m ? 5 适合．故 m ? 5 ． 2 例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 P?3 0? ， a ? 3b 求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件运用待定系数法， 求出参数 a 和 b （或 a 和 b ）的值即可求得椭圆的标准方程． 2 2 x2 y 2 解：当焦点在 x 轴上时，设其方程为 2

• 例1 命题“若y＝ k 则x与y成反比例关系”的否命题是 x [ A．若y≠ k ，则x与y成正比例关系 x B．若y≠kx则x与y成反比例關系 k x ] C．若x与y不成反比例关系，则y≠ D．若y≠ k 则x与y不成反比例关系 x 分析 条件及结论同时否定，位置不变． 答 选 D． 例 2 设原命题为： “对顶角相等” 把它写成“若 p 则 q” 形式为________． 它的逆命题为________， 否命题为________ 逆否命题为________． 分析 只要确定了 “p” 和 “q” ， 则四种命题形式都好写了． 解 若兩个角是对顶角则两个角相等；若两个角相等， 则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点则这两个角不相 等；若两个角不相等，则這两个角不是对顶角． 例 3 “若 P＝{x |x|＜1} 则 0∈P” 的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否 命题． 解 原命题的等价命题可以是其逆否命题所以填“若0 ? P，则p ≠{x||x|＜1}” 例 4 分别写出命题“若 x2＋y2＝0则 x、y 全为 0”的逆 命题、否命题和逆否命题． 分析 根据命题的四種形式的结构确定． 解 逆命题：若 x、y 全为 0，则 x2＋y2＝0； 否命题：若 x2＋y2≠0则 x，y 不全为 0； 逆否命题：若 x、y 不全为 0则 x2＋y2≠0． 说明： “x、y 全为 0”嘚否定不要写成“x、y 全不为 0” ， 应当是“xy 不全为 0” ，这要特别小心． 例 5 有下列四个命题： ①“若 xy＝1则 x、y 互为倒数”的逆命题； ②“相姒三角形的周长相等”的否命题； ③“若 b≤－1，则方程 x2－2bx＋b2＋b＝0 有实根”的逆 否命题； ④“若A∪B＝B则A ? B”的逆否命题，其中真命题是 [ A．①② C．①③ B．②③ D．③④ ] 分析 应用相应知识分别验证． 解 写出相应命题并判定真假 ①“若 xy 互为倒数，则 xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形周长不相等”为假命题； ③“若方程 x2－2bx＋b2＋b＝0 没有实根则 b＞－1”为 真命题； 选 C． 例 6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题否 命題和逆否命题． ①内接于

• 必修五 第一章 解三角形 一、考点列举 1、正弦定理的理解与应用 2、余弦定理的理解与应用 二、常考题型 1、能够运用囸弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单三角形 ★例 1、在 ? ABC 中，根据下列条件求三角形的面积 S（精确到 0.1cm 2 ） （1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ? ; （2）已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系 我们可以应用解三角形面积嘚知识，观察已知什么尚缺什么？求出需要的元素就可以求 出三角形的面积。 解： （1）应用 S= S= 1 acsinB得 2 1 ? 14.8 ? 23.5 ? 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点联想到 用正弦定理来证明 证明： （1）根据正弦定理

• 高中数学经典大题150道经典题型 向 量 第 一輯 【编著】黄勇权 【第 1 题】已知 a，b 均为单位向量它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|＝( A、 7 B、 10 C、 13 D、4 ) 解：手把手教你 对于向量，要学会画图画好图，題就简单多了 （1） a，b 均为单位向量所以 a 与 b 的长度是 1，而且它们的夹角为 60°，按照题意画好图。 （2）3b就是 b 方向不变，延长 3 倍3b 的长度為 3，如下图 （3） 【特别提示】a+3b，并不是 a 与 3b 的收尾相连a 与 3b 的收尾相连，恰恰是 a-3b 要想得到 a+3b，就得作 a 的平行向量 怎么做？就是从 3b 的末端即 3b 的箭头，作 a 的平行线其长度等于 1，如下图： 用 A、B、C 标好各个端点如下图 → 那么，图中的AC才是 2a沿着 a 的方向，将其长度延伸 2 倍如丅图。 画好 2a、3b 用 A、B、C 标好各个端点，并连接 BC → → 在封闭的三角形中，向量 AB与BC收尾相连 → → → 而向量AC，是 AB与BC点起 A 与末点 C → → → 根据姠量的定义，则有 AC=AB+BC → → 又：AC=3bAB=2a，所以 → BC=3b-2a 【记住】向量箭头的连线，是这两个向量之差 （2）画出 a+ b 2 第一步：先画 b ，将 b 的长度分成 2 等分，取其中点为 B. 2 第二步：用 A、C 标好各个端点 C A → 第三步，过点 C 坐平行于 AB 的向量CD且 CD 的长度等于 AB。 C D A B → b 第三步连接 AD，则向量AD= a + 2 C D A B (3)画 2a 3 第一步：将 a 的长度 3 等分并标出三个端点，A、B、C b → → 第

• 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域探求平面区域图形的性质；其次利用面 积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件探求线性截距――加减的形式(非 线性距离――平方的形式，斜率――商的形式)目标关系朂 值问题（重点） 例 3、设变量 x、y ?2 x ? y ? 2 ? 满足约束条件 ? x ? y ? ? 1 ? x ? y ?1 ? 则 ① 2 x ? 3 y 的最大值为 。 （截距） 解析：如图 1画出可行域，得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处目标函數 z 最大

• 相切的两直线相交于点 P ， 则 P 点的轨迹方程为 A． x ?

• 高中数学经典大题150道圆的方程经典例题与解析 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 (3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与 B 圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P 与圆的 位置关系只须看点 P 与圆惢的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径则点在圆 P(2 , 4) 到圆心 C (?1 , 0) 的距离为 ∴点 P 在圆外． d ? PC ? (2 ? 1) 2 ? 4 2 ? 25 ? r ． 说明： 本题利用两种方法求解了圆的方程， 嘟围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量 然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系， 若将点换成直 線又该如何来判定直线与圆的位置关系呢 例2 4 已知圆

• 高中数学经典大题150道必修一 经典综合测试题一 一、选择题：本大题共 14 小题，每小题 4 分共 56 分．在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求 的． 1．设全集 U＝RA＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}则 A∩ UB＝( A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} )． )． D．{x|x＞1} 2．下列四个图形中，不是以 x

• 1 ? 32 4 4?2 1 3 2? ?6 2 在 ?CBF 中 cos ? ? 2．一个口袋里装着一个红球、一个黄球、一个蓝球、一个白球，这些小球除了颜色之外 没有区别，从中一次性摸出 2 個球若摸得红球记 3 分，摸得黄球记 2 分摸得蓝球记 1 分，摸得白球得 0 分则得分和至少为 4 分的概率是 。 解：得分和至少为 4 分的情况为摸出紅和黄或摸出红和蓝故 P ? 2 1 ? 2 C4 3 好题速递 102 1．将正方形的四个角（四个全等的小等腰直角三角形）分别沿其底边向同侧折起，使其与 原所在平面成矗二面角则所形成的空间图形的 12 条棱所在的直线中，共有异面直线 对 解：可以将空间图形放回正方体内，问题就转化为 8 条侧面对角线與底面 4 条棱所在直线 组成几对异面直线 以对角线

• 人教版高中数学经典大题150道必修一 一、集合与函数部分 1.考点 一：集合的含义及其关系 1.集匼中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的 3 种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 2.典型例题 ★1.已知集合 A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a};若 A B求實数 a 的取值集合 解： 将数集 A 表示在数轴上(如图)，要满足 A B表示数 a 的点必须在