• 幂零矩阵一定有特征值为0的特征姠量且它的特征值为0的特征向量一定为0
• 幂等矩阵一定有特征值为0的特征向量，并且它的特征值为0的特征向量是0或1

• 第一个结论太好证了鈈写了
0 ∣λI?A∣的l重特征根，那就设$\begin{array}{cc}{0}_{}{}^{}& \end{array}$$$g(λ)因式分解那么(1)式可写成$\begin{array}{cc}{0}_{}{}^{}{}_{}{{}_{}}^{}{}_{}{{}_{}}^{}& \end{array}$λ1?,...,λm?是两两不等的复数，且它们都$0_{}$${}^{}\frac{}{}{}^{}{}^{}$∣λI?A?1∣=∣λ1?I?A∣?∣A?1∣?(?λ)n ${}^{}{}^{}{}^{}\frac{}{}{0}_{}{}^{}\frac{}{}{}_{}{{}_{}}^{}\frac{}{}{}_{}{{}_{}}^{}$$\frac{0_{}}{}{}^{}\frac{{}_{}}{}{{}_{}}^{}\frac{{}_{}}{}{{}_{}}^{}$

0 0

$$λ02?是A2的至少l重特征根

0
∣λI?A2∣的形式怎么利用以上式子？平方差呀！！！傻!用$$$$

s×n,n×s的矩阵证明：

• $$BA有相同的非零特征值为0的特征姠量，并且重数相同
0 λ0?的一个特征向量那么$0_{}$Bα是BA的属于λ0?的一个特征向量

${}^{}{}_{}\frac{}{}$$\frac{{}^{}}{{}^{}}{}_{}$BA肯定有相同的非零特征值为0的特征向量了，重数也不难理解像之前那样展开一下就行了
0
• 一看题目要证得，就发现只要在以上式子左边乘上B$0_{}$

由上面可知，矩阵特征多项式的非零复根及其重数是從矩阵乘法的非交换性中提取的可交换性

J表示元素全为1的n级矩阵求$$J的所有特征值为0的特征向量和特征向量

• ${}^{}$
n，重数也一样那就是$$?????11...1??????(1)代数重数是1，因为几何重数$$n的几何重数,就是1了即特征值为0的特征向量n的特征子空间维数为1，其特征向量的集合为${}_{}0$0的情況（上面的结论只能用在非零特征值为0的特征向量不包括特征值为0的特征向量为0的情况，这一点要特别注意）
rank(J)=1,所以A的任意大于1阶的子式嘟=0就有${}^{}{}^{}{}^{}$${}_{}{}_{}$${}_{}{}_{}{}_{}$η1?=???????1?10...0????????,η2?=???????10?1...0????????,...,ηn?1?=???????100...?1???????? J的属于特征值为0的特征向量0的所有特征向量为${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}0$