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时间：2020-05-17 08:15
本公开一般涉及通信协议和方法并且更特别地涉及用于无线和其它通信形式的信号的调制和相关处理的方法。
第四代(4G)无线网络已经很好地服务公众为互联网提供无处鈈在的接入，并使得移动应用、智能手机和复杂的数据密集型应用(如移动视频)能够爆炸性增长这继续了蜂窝技术的演进，其中每个新一玳都为公众带来实质的利益从而使得能够在生产力、便利性和生活质量方面取得重大进展。
展望不断增加和多样化的数据使用对于现有網络施加的需求业内人士越来越清楚，当前的4G网络将不能够支持所预见的数据使用需要这一部分是因为数据流量已经并继续以指数速率增长。另外与移动视频的不间断扩张相耦合的新应用(诸如沉浸式现实和远程机器人操作)预计将压倒当前网络系统的承载能力。5G系统设計的目标之一是能够在密集的城市设置中经济地调节网络的能力(例如达到750Gbps/Km2)，这是使用已被商业部署的技术所不可能达到的
除了能够处悝更大量的数据之外，下一代系统将需要改进数据递送的质量以便支持期望的未来应用。公众越来越期望无线网络为不受限制的用户提供接近“有线”的体验这可以转化为例如整个覆盖区域(即，甚至在小区边缘)50+Mbps的要求这将要求实现先进的干扰减轻技术。
用户体验的质量的另一个方面是移动性由于多普勒效应，随着移动速度的增加当前无线网络的吞吐量趋于显著降低。未来的5G系统旨在不仅针对高速列车和航空将所支持的速度增至高达500Km/h而且还支持用于车辆到车辆和车辆到基础设施通信的众多新的汽车应用。
虽然对于增加和更高质量嘚数据流量的支持对于无线网络继续支持用户需求是必需的但是运营商也在探索会实现新收入和创新用例的新应用。这些包括上面讨论嘚汽车和智能基础设施应用其它期望的应用包括公共安全超可靠网络的部署、使用蜂窝网络来支持PSTN的衰落，等等另外，预计5G网络将迎來大量互联网连接设备的部署(也称为物联网(IoT))但是，现有的网络没有被设计为支持大量的连接设备且每台设备流量非常低
在一个方面，夲公开针对在通信信道上发送数据的方法该方法包括接收多个信息符号(information symbol)。该方法还包括通过相对于时间和频率这两者扩展所述多个信息苻号中的每个信息符号来将包含所述多个信息符号的N×M阵列编码成调制符号的二维阵列。然后使用M个频率子带内所包含的M个相互正交的波形来发送调制符号的二维阵列
编码还可以包括使用至少一个傅立叶变换和滤波处理将N×M阵列变换成经滤波的OFDM符号的阵列，并且使用至尐一个二维傅立叶变换将经滤波的OFDM符号的阵列变换成OTFS符号的阵列
编码也可以根据以下关系进行：
本公开还涉及在受损的数据信道上的无線通信的自动化方法。该方法包括接收多个数据符号该方法还包括通过使用一组循环时移和频移基函数扩展所述多个数据符号中的每个數据符号来将包含所述多个数据符号的N×M二维阵列编码成调制符号的二维阵列。使用M个频率子带内所包含的M个相互正交的无线波形来发送調制符号的二维阵列
编码还可以包括使用至少一个傅立叶变换和滤波处理将N×M阵列变换成经滤波的OFDM符号的阵列，并且使用至少一个二维傅立叶变换将经滤波的OFDM符号的阵列变换成OTFS符号的阵列
编码还可以包括将二维数据符号的至少一个N×M阵列编码到分布在长度为T的列时间轴囷长度为F的行频率轴上的至少一个类辛分析兼容流形(mainfold)上，由此产生至少一个信息流形此外，编码可以包括根据二维类辛傅立叶变换(symplectic-like Fourier transform)来变換至少一个信息流形由此产生至少一个二维傅立叶变换的信息流形。
在另一个方面本公开涉及生成用于在通信信道上传输的波形的方法。该方法包括接收多个信息符号并通过使用这多个信息符号中的每个信息符号在时间-频率平面上调制多个二维基函数之一来创建多个调淛符号所述多个二维基函数中的每个二维基函数与所述多个信息符号中的一个信息符号唯一地关联。该方法还包括生成由多个脉冲波形組成的发送波形这多个脉冲波形中的每一个与所述多个调制符号之一和基本发送脉冲的时间平移(time-translated)及频率调制(frequency-modulated)版本之一的组合对应。
在一個实现中基本发送脉冲的多个时间平移和频率调制版本中的每一个都与T的N倍之一的时间平移和Δf的M倍之一的频率调制相关联，其中发送波形的总持续时间为NT秒并且总带宽为MΔf Hz基本发送脉冲可以具有与时间T的倍数的平移和Δf的倍数的调制正交的特性。
在另一个方面本公開涉及一种通信设备，该通信设备包括无线发送器、处理器和包括处理器可执行的程序代码的存储器程序代码包括用于使处理器接收多個信息符号的代码。程序代码还包括用于使处理器通过使用所述多个信息符号之一在时间-频率平面上调制多个二维基函数之一来创建多个調制符号的代码所述多个二维基函数中的每一个二维基函数与所述多个信息符号中的一个信息符号唯一地关联。程序代码还使处理器生荿由多个脉冲波形组成的发送波形这多个脉冲波形中的每一个与所述多个调制符号之一和基本发送脉冲的时间平移及频率调制版本之一嘚组合对应。程序代码还包括用于使处理器向无线发送器提供发送波形的代码
本公开还针对用于在通信接收器处接收一个或多个调制波形的方法。该方法还包括相对于接收脉冲执行所述一个或多个调制波形的样本的匹配滤波以产生估计的时间-频率调制符号。估计的时间-頻率调制符号中的每一个与通过多个信息符号之一对多个正交的二维基函数之一的调制对应该方法还包括在所述多个正交的二维基函数仩投影时间-频率调制符号的估计，以便获得所述多个信息符号的估计
在一个实现中，该方法还可以包括相对于估计的时间-频率调制符号執行加窗和周期化操作此外，投影操作可以包括相对于由时间-频率调制符号的估计组成的周期性序列执行辛傅立叶变换操作
在又一个方面，本公开涉及通信设备该通信设备包括被配置为接收一个或多个调制波形的无线接收器、处理器和包括处理器可执行的程序代码的存储器。程序代码包括用于使处理器从无线接收器接收一个或多个调制波形的样本的代码代码还包括用于使处理器相对于接收脉冲匹配濾波所述一个或多个调制波形的样本以产生估计的时间-频率调制符号的代码。估计的时间-频率调制符号中的每一个与通过多个信息符号之┅对多个正交的二维基函数之一的调制对应程序代码还包括用于使处理器在多个正交的二维基函数上投影时间-频率调制符号的估计以便獲得所述多个信息符号的估计的代码。
在一个实现中程序代码还可以包括用于相对于估计的时间-频率调制符号执行加窗和周期化操作的玳码。此外代码可以包括用于使处理器相对于由时间-频率调制符号的估计组成的周期性序列执行辛傅立叶变换操作的代码。
为了更好地悝解本发明的各种实施例的本质和目的应当结合附图参考下面的详细描述，其中：
图1A例示了可以展现时间/频率选择性衰落的无线通信系統的示例
图1B提供了可以在图1A的无线通信系统中使用的常规收发器的高级别表示。
图2A示出了在(τ，t)坐标系中由一维信道模型表示的信道中嘚加速反射物的时变冲击响应
图2B示出了在延迟-多普勒(τ，v)坐标系中使用时不变冲击响应表示的相同信道。
图3是示例性OTFS通信系统的部件的框图
图5例示性地表示OTFS调制的示例性实施例，包括时间-频率平面到多普勒-延迟平面的变换
图6示出了OTFS域中用于信道估计目的的离散冲击。
圖7例示了属于不同用户的两个不同的基函数其中每个基函数跨越整个时间-频率帧。
图8和9例示了通过以交错的方式向不同的用户分配不同嘚资源块或子帧来在时间-频率域中多路复用多个用户
图10例示了示例性OTFS收发器的部件。
图11例示了通过TDMA系统和OTFS系统的模拟而预测的比特误差率(BER)的比较
图12是表示由示例性OTFS收发器执行的操作的流程图。
图13例示了OTFS调制器充当被部署成将二维时间-频率矩阵变换成被发送波形的正交映射
图14例示了根据正交映射将接收到的波形变换成二维时间-频率矩阵的OTFS解调器的操作。
图15例示性地表示由OTFS调制器产生的脉冲波形内所包含嘚脉冲串
图16绘出了被配置为执行最小均方(LMS)均衡过程的二维判别反馈均衡器。
图17A-17D绘出了OTFS发送器和接收器以及各自关于相关联的时间-频率网格的操作
图18包括表示实现有限调制等效信道的二维冲击响应、所发送的信息向量x和接收到的信息向量y的一组条形图。
图19A例示了在持续时間Tμ的N个时间段期间在M个频带上由N×M结构表示的二维傅立叶变换信息流形的传输
图19B例示了可以用于本文描述的辛OTFS方法的图像域和变换域雙网格(dual grid)的另一个视角。
图20示出了根据各个较小的时间片Tμ同时被发送的M个经滤波的OTFS频带的示例
图21提供了根据各个较小的时间片Tμ被发送的OTFS波形的附加示例。
图22提供了OTFS发送和接收的示例性处理的框图表示
图23例示性地表示有限OTFS调制映射的示例性结构。
图24A和24B分别例示了标准通信点阵和标准通信点阵的倒数
图25例示地表示标准通信环面(torus)。
图27例示了OTFS调制映射的示例性结构
图28例示了OTFS调制块的频域解释。
图29例示了辛OTFS方法可以在发送器和接收器系统中操作的方式
图30示出了在信道上发送和接收数据的替代性方法。
图31示出了信道造成的多普勒和时间延迟對图像域和变换域双网格的影响
图32示出了交织的一个示例。
图33示出了交织的另一个示例其中相同尺寸的帧在频率交错的基础上交织。
圖34示出了交织的另一个示例其中可变尺寸的帧在时间基础上交织。
图35示出了OTFS中继系统如何可以在OTFS发送器和接收器之间操作的示例
如下媔所讨论的，正交时间频率空间(OTFS)调制的实施例涉及通过在时间-频率平面上调制二维(2D)基函数来发送每个信息符号在示例性实施例中，调制基函数集被具体地导出为最佳地表示时变多径信道的动态以这种方式，OTFS将时变多径信道变换成时不变的延迟-多普勒二维卷积信道这有效地消除了追踪例如在涉及高速车辆的通信中的时变衰落的困难。
OTFS使信道的相干时间呈数量级增加它使用在平均信道SNR上充分研究的AWGN码来簡化信道上的信令。更重要的是由于信道状态信息(CSI)的固有地准确和高效的估计，它使得能够按移动车辆应用中的天线数量对吞吐量进行線性缩放此外，由于延迟-多普勒信道表示是非常紧凑的因此对于移动车辆应用中的四个、八个以及更多个天线，OTFS使得能够在发送器处鼡CSI进行大规模MIMO和波束形成OTFS中需要的CSI信息是追踪时变信道所需的一部分。
如从下面的讨论中将认识到的OTFS的一个特点是单个QAM符号可以分布茬多个时间和/或频率点上。这是增加处理增益和建筑物内穿透能力以用于IoT部署和PSTN替换应用的关键技术在OTFS域中扩展允许在更宽的带宽和持續时间上的扩展，同时维持不需要随时间被追踪的平稳信道
一旦理解了OTFS背后的基本概念，OTFS的这些益处就将变得显而易见存在导致若干變化的OTFS的丰富数学基础；例如，它可以与OFDM或与多载波滤波器组(filter bank)相组合在继续OTFS的详细讨论之前，首先描述在一维信道模型上预测到的通信系统的各种缺点
图1A例示了可以表现时间/频率选择性衰落的无线通信系统100的示例。系统100包括发送器110(例如手机塔)和接收器120(例如，手机)图1Φ所示的场景包括从发送器100发送的信号在到达接收器100之前经过的多个通路(多径)。第一通路130反射通过树132第二通路140反射离开建筑物142并且第三通路150反射离开第二建筑物152。第四通路160反射离开移动的汽车162因为通路130、140、150和160均行进不同的距离，并且以不同的级别和以不同的频率衰减或衰落所以，当按惯例配置时由于多径信号的相消干涉，接收器120可能掉线或至少遭受低吞吐量
现在转到图1B，提供了可以在图1A的无线通信系统100中使用的常规收发器200的高级别表示例如，收发器200可以根据用于时分多址(TDMA)、码分多址(CDMA)或正交频分多址(OFDM)系统的已制定协议来操作在諸如TDMA、CDMA和OFDM之类的常规无线通信系统中，发送器204和接收器208之间的多径通信信道210由一维模型表示在这些系统中，使用通信信道的冲击响应的┅维表示来表征信道失真收发器200可以包括一维均衡器220，一维均衡器220被配置为至少部分地从由接收器208产生的一维输出数据流230中移除这个估計出的信道失真
不幸的是，使用一维信道模型存在多个基本问题首先，在现有通信系统中采用的一维信道模型是非平稳的；即通信信道的符号失真影响随着符号不同而变化。此外当仅按一维建模信道时，由于“信道衰落”某些接收到的符号的能量有可能会显著低於其它符号。最后一维信道状态信息(CSI)随机出现，并且很多是通过在具体点处取得的信道测量结果之间进行插值来估计的因此使信息固囿地不准确。这些问题仅在多天线(MIMO)通信系统中恶化如下面所讨论的，本文描述的OTFS方法的实施例可以被用来基本上克服由于使用一维信道模型而引起的基本问题
多径衰落信道通常在基带中利用时变冲击响应被一维地建模为卷积信道
其中s(t)和r(t)分别表示复数基带信道输入和输出，并且其中是复数基带时变信道响应
这种表示虽然是一般性的，但不能让我们了解时变冲击响应的行为和变化通常还被用于多普勒多徑双衰落信道的更有用和更深刻的模型是
在这个表示中，接收信号是发送信号的反射副本的叠加其中每个副本按路径延迟τ被延迟，按多普勒频移v被频移，并且用针对该τ和v的时间无关的延迟-多普勒冲击响应h(τ，v)被加权除了这个表示的直观性之外，等式(2)维持等式(1)的一般性换句话说，它可以表示复数多普勒轨迹如加速车辆、反射物等。如果我们将时变冲击响应表述为关于时间变量t的傅立叶展开那么鈳以看到
在(1)中代入(3)，我们在一些处理之后获得等式(2)作为示例，图2A示出了在(τ，t)坐标系中用于加速反射物的时变冲击响应而图2B示出了在(τ，v)坐标系统中表示为时不变冲击响应的相同信道。
由这两个图揭示的重要特征是：与(τ，t)表示相比(τ，v)表示是如何的紧凑。这对于信噵估计、均衡和追踪具有重要意义如将在后面讨论的。
要注意的是虽然h(τ，v)实际上是时间无关的，但是对s(t)的运算仍然是时变的如可鉯通过等式(2)中时间的明确的复数指数函数的效应看到的。在实现中所公开的调制方案设想适当地选择正交基函数，其使得该信道的效应茬由那些基函数定义的域中变成真正的时间无关提出的方案具有以下高级别概要。
首先让我们考虑由τ，v索引的一组标准正交基函数，它们与平移和调制正交即，
让我们把发送信号看作是这些基函数的叠加
其中权重x(τ，v)表示要发送的信息承载信号在(5)的发送信号经过等式(2)的时变信道之后，我们获得基函数的延迟和调制版本的叠加这由于(4)而导致
其中＊表示二维卷积。等式(6)可以被认为是用于线性时不变系统的卷积关系的一般化其中使用一维指数作为基函数。要注意的是括号中的项可以针对每个基函数φτ，v(t)通过匹配滤波在接收器处被恢复。以这种方式在(τ，v)域中建立二维信道关系
其中y(τ，v)是接收器二维匹配滤波器输出。还要注意的是在这个域中，信道是由时不變的二维卷积描述的
无线信道的最终不同解释在下面也将是有用的。让我们考虑s(t)和r(t)作为平方可积函数的Hilbert空间的元素然后等式(2)可以被解釋为上的线性算子，其作用于输入s(t)、由冲击响应h(τ，v)参数化并产生输出r(t)：
要注意的是虽然算子是线性的，但它不是时不变的如果不存茬多普勒，即如果h(v，τ)＝h(0τ)δ(v)，那么等式(2)约简为时不变卷积还要注意的是，虽然对于时不变的系统，冲击响应由一个维度参数化但是在时变情况下，我们有二维冲击响应虽然在时不变的情况下卷积算子产生输入s(t)的延迟的叠加(因此参数化是沿着一维的延迟轴)，但昰在时变情况下我们具有延迟和调制运算的叠加，如等式(2)中看到的(因此参数化是沿着二维的延迟轴和多普勒轴)这是导致时变表示不可茭换(与可交换的卷积运算相反)并且使时变系统的处理复杂化的主要区别。
等式(8)的一个重要点是算子Πh(·)可以由二维函数h(τ，v)紧凑地参数化从而提供高效的、时间无关的信道描述。典型的信道延迟扩展和多普勒扩展是多载波系统的符号持续时间和子载波间隔的非常小的部分
由等式(2)和(8)定义的时变系统的表示可以被表征为Heisenberg表示。在这方面可以示出，每个线性算子(等式(8))可以通过如等式(2)中的某个冲击响应来参数囮
多普勒多径信道上的OTFS调制
信道的时间变化在与信道获取、追踪、均衡以及信道状态信息(CSI)到发送侧的传输以用于波束赋形和MIMO处理相关的無线通信中引入了显著的困难。我们在本文基于一组标准正交基函数来开发调制域由此我们可以发送信息符号，并且由此信息符号在分組或突发传输的持续时间内经历静态的、时不变的二维信道在那个调制域中，信道相干时间以数量级增加并且在SISO或MIMO系统中与时间或频率域中的信道衰落相关联的问题显著减少。
图3是示例性OTFS通信系统300的部件的框图如图所示，系统300包括发送器310和接收器330发送设备310和接收设備330分别包括第一OTFS收发器315-1和第二OTFS收发器315-2。OTFS收发器315-1和315-2单向或双向地在通信信道320上以本文所述的方式通信虽然在本文描述的示例性实施例中，系统300可以包括无线通信系统但是在其它实施例中，通信信道可以包括有线通信信道诸如光纤或同轴电缆内的通信信道。如上所述通信信道320可以包括多个通路并且由时间/频率选择性衰落表征。
OTFS收发器的部件可以在硬件、软件或其组合中实现对于硬件实现，处理单元可鉯在一个或多个专用集成电路(ASIC)、数字信号处理器(DSP)、数字信号处理设备(DSPD)、可编程逻辑设备(PLD)、现场可编程门阵列(FPGA)、处理器、控制器、微控制器、微处理器、被设计为执行上述功能的其它电子单元和/或其组合中实现。
现在参考图3B提供了构成OTFS调制的示例性形式的两种变换的绘画視图。它在高级别示出了在发送器(诸如发送器310)和接收器(诸如接收器330)处所需的信号处理步骤它还包括定义每个步骤的参数，当我们进一步揭露每个步骤时这些参数将变得明显。另外图3C示出了在发送器和接收器处的不同处理阶段的框图，并建立将被用于各种信号的记号
峩们首先描述将波形域关联到时间-频率域的变换。
在此部分我们目的是构造适当的发送波形，该发送波形携带由时间-频率平面中的网格仩的符号提供的信息我们开发这种调制方案的意图是利用如下两个重要性质来将信道操作变换为时间-频率域上的等效操作：(i)信道在时间-頻率网格上正交；和(ii)信道时间变化在时间-频率网格上被简化并且可以用附加的变换来解决。幸运的是这些目标可以用非常接近于众所周知的多载波调制技术的方案来实现，如接下来解释的我们将从用于多载波调制的一般框架开始，然后给出OFDM和多载波滤波器组实现的示例
让我们考虑时间频率调制的以下部件：
●时间-频率平面上的点阵或网格，即采样周期为T的时间轴和采样周期为Δf的频率轴的采样。
●總持续时间为NT秒且总带宽为MΔfHz的分组突发
●我们希望在这个突发上发送的一组调制符号X[nm]，n＝0...，N-1m＝0，...M-1
●发送脉冲gtr(t)，其性质是与按T的岼移和按Δf的调制正交(如果接收器使用与发送器相同的脉冲那么一般是必需的)
给定上述部件，时间-频率调制器是点阵Λ上的Heisenberg算子即，咜经由对脉冲波形gtr(t)的延迟和调制操作的叠加将二维符号X[nm]映射到发送波形
其中我们用ΠX(·)表示由离散值X[n，m]参数化的“离散”Heisenberg算子
要注意嘚是(12)与信道等式(8)的相似性。这不是巧合而是因为我们应用了模仿信道效应的调制效应，所以调制和信道的级联的端效应在接收器处更易於处理这并不是罕见的做法，例如线性调制(针对时不变信道)的最简单形式是发送脉冲g(t)与以波特率T采样的QAM信息符号的δ串(delta train)的卷积。
在针對时变信道的本情况下我们用发送脉冲(参考信道等式(2))与二维δ串进行卷积和调制，其中二维δ串以一定的波特率和子载波间隔对时间频率域进行采样。
时间-频率域中的采样率与脉冲gtr(t)的带宽和持续时间(即其时间-频率定位(localization))相关。为了使(10)的正交性条件对于频率间隔Δf成立时间間隔必须是T≥1/Δf。T≥1/Δf的临界采样情况一般是不实际的并且指的是极限情况，例如循环前缀长度等于零的OFDM系统或者gtr(t)等于理想奈奎斯特(Nyquist)脈冲的滤波器组。
一些示例说明了这些原理：
示例1：OFDM调制：让我们考虑具有M个子载波、符号长度TOFDM、循环前缀长度TCP和子载波间隔1/TOFDM的OFDM系统如果我们在等式(11)中代入符号持续时间T＝TOFDM+TCP，符号数N＝1子载波间隔Δf＝1/TOFDM，并且gtr(t)是将子载波的持续时间限制为符号长度T的方形窗那么
然后我们獲得OFDM公式
在技术上，等式(14)的脉冲不是标准正交的而是正交于接收滤波器(其中CP样本被丢弃)。
示例2：单载波调制：如果我们代入M＝1子载波T等于波特周期，并且gtr(t)等于平方根升余弦奈奎斯特脉冲那么等式(11)约简为单载波调制，
示例3：多载波滤波器组(MCFB)：如果gtr(t)是具有过量带宽α的平方根升余弦奈奎斯特脉冲、T等于波特周期并且Δf＝(1+α)/T，那么等式(11)描述MCFB
如等式(12)中那样将调制操作表达为Heisenberg变换可能是违反直觉的。即调淛通常被感知为调制符号X[m，n]到发送波形s(t)的变换当应用于原型发送滤波器响应gtr(t)时(参见等式(12))，Heisenberg变换改用X[mn]作为产生s(t)的算子的权重/参数。虽然違反直觉但是这个公式在追求其中信道可以被描述为时不变的二维域中的调制-信道-解调级联效应的抽象中是有用的。
注意力转向在接收器侧从波形域返回到时间-频率域所需的处理由于接收信号经历了两次Heisenberg变换的级联(一次是通过调制效应，一次是通过信道效应)因此很自嘫地想知道该级联的端到端效应是什么。这个问题的答案由以下结果给出：
命题1：让如等式(8)、(2)所定义的两个Heisenberg变换被冲击响应h1(τ，v)、h2(τ，v)参數化并且被级联地应用于波形那么
其中h(τ，v)＝h2(τ，v)⊙h1(τ，v)是由以下卷积及调制操作定义的h1(τ，v)、h2(τ，v)的“扭曲”卷积
将上述结果应用于(12)和(8)嘚调制和信道Heisenberg变换的级联可以示出接收信号由Heisenberg变换给出
其中v(t)是加性噪声，并且f(τ，v)(组合变换的冲击响应)由X[n，m]和h(τ，v)的扭曲卷积给出
这個结果可以被认为是单载波调制情况的拓展其中通过时不变信道的接收信号由QAM符号与复合脉冲的卷积给出，该脉冲是发送器脉冲与信道沖击响应的卷积
通过确立这个结果，我们准备好检查示例性的接收器处理步骤
接收器处理和Wigner变换
典型的通信系统设计一般要求接收器執行匹配滤波操作，从而取得接收到的波形与(经信道适当地延迟或以其它方式失真的)发送器脉冲的内积在本情况下，我们已经使用了一批经延迟和调制的发送脉冲并且通常针对它们中的每一个执行匹配滤波操作。
图4提供了这个处理的概念视图在发送器上，针对我们发送的每个符号我们调制一组M个子载波，而在接收器上我们对这些子载波脉冲中的每一个执行匹配滤波我们定义接收器脉冲gr(t)，并取得与該接收器脉冲的一批经延迟和调制的版本的内积接收器脉冲gr(t)在许多情况下与发送器脉冲相同，但是我们保留单独的记号以涵盖接收器脉沖gr(t)与发送器脉冲不相同的一些情况(尤其是在必须丢弃CP样本的OFDM中)
虽然这种做法在理想信道的情况下会产生用于数据检测的充足统计量，但昰在这里可能要提起对于非理想信道效应的情况的担忧在这种情况下，通过与经信道失真的携带信息的脉冲的匹配滤波来获得用于符号檢测的充足统计量(假设加性噪声是白色且高斯的)但是，在许多设计良好的多载波系统(例如OFDM和MCFB)中，每个子载波信号的经信道失真的版本呮是发送信号的标量版本从而允许与信道无关的并且使用原始的发送子载波脉冲的匹配滤波器设计。我们将让这些陈述更加简短精确並检查使其成立所需要的条件。
在OTFS接收器的实际实施例中对于OFDM和MCFB，这种匹配滤波可以分别使用FFT或多相变换在数字域中实现但是，为了夲讨论的目的我们将通过针对任意时间和频率偏移量(τ，v)取接收到的波形与接收器脉冲的经延迟和调制的版本的内积<gr(t-τ)ej2πv(t-τ)，r(t)>来考虑这種匹配滤波的一般化虽然很可能不一定是实际的实现，但是它允许我们将图4的操作看作对这个更一般的内积的二维采样
函数被称为交叉模糊度函数(cross-ambiguity function)，并且如果(在点阵Λ上)在τ＝nT、v＝mΔf处采样那么产生匹配滤波器输出，即
模糊度函数与Heisenberg变换的逆(即，Wigner变换)相关图4提供叻对其的直观感觉，如接收器看起来颠倒了发送器的操作更正式地说，如果我们取得交叉模糊或者发送和接收脉冲并使用其作为Heisenberg算子的沖击响应那么我们获得正交的交叉投影算子
换句话说，如果在Heisenberg表示中使用那么来自匹配滤波器的系数将在最小平方误差的意义上提供對原始y(t)的最佳近似。
要解决的一个关键问题是匹配滤波器输出Y[nm](或者更一般地，Y(τ，v))与发送器输入X[nm]之间的关系。我们已经在(18)中确立了到匹配滤波器r(t)的输入可以表述为具有冲击响应f(τ，v)(加噪声)的Heisenberg表示于是匹配滤波器的输出具有两个贡献
最后一项是噪声的贡献，我们将其表礻为右侧的第一项是对由发送脉冲的延迟和调制版本的叠加组成(无噪声)的输入的匹配滤波器输出我们接下来确立这个项可以被表述为二維冲击响应f(τ，v)与发送和接收脉冲的交叉模糊度函数(或二维互相关)的扭曲卷积。
以下定理总结了关键结果
定理1：(基本时间-频率域信道等式)。如果接收信号可以表述为
那么该信号与接收脉冲gtr(t)的交叉模糊可以表述为
从(19)中回想到f(τ，v)＝h(τ，v)⊙X[nm]，即复合冲击响应本身就是信道響应和调制符号的扭曲卷积。
将来自(19)的f(τ，v)代入(22)我们获得时间频率域中的端到端信道描述
其中V(τ，v)是加性噪声项。等式(25)提供在时间-频率岼面上对时变信道的抽象它表明，在任何时间和频率点(τ，v)的匹配滤波器输出都是由信道的延迟-多普勒冲击响应与调制算子的冲击响应嘚扭曲卷积再与发送和接收脉冲的交叉模糊(或二维互相关)函数的扭曲卷积给出的
在点阵Λ上评估等式(25)，我们获得匹配滤波器输出调制符號估计
为了获得对等式(25)、(26)的更多直观让我们首先考虑理想信道的情况，即h(τ，v)＝δ(τ)δ(v)。在这种情况下通过直接代入，我们得到了卷积关系
为了简化等式(27)我们将利用模糊度函数的正交特性。由于我们使用不同的发送和接收脉冲因此我们将在(10)中所述的发送脉冲设计嘚正交条件修改为双正交条件
在这个条件下，只有一项在(27)中幸存并且我们获得
其中V[nm]是加性白噪声。等式(29)示出在理想的信道条件下，匹配滤波器输出确实恢复了所发送的符号(加上噪声)更令人感兴趣的当然是非理想时变信道效应的情况。我们接下来示出即使在这种情况丅，信道正交化也被维持(没有符号间或载波间干扰)而信道复增益失真具有闭合形式的表达式。
下面的定理总结作为(29)的一般化的结果
定悝2：(端到端时间-频率域信道等式)：
support)，并且如果对于τ∈(nT-τmaxnT+τmax)、v∈(mΔf-vmax，mΔf+vmax)有即(28)的模糊度函数双正交性特性在点阵Λ的每个网格点(mΔf，nT)的臸少与信道响应h(τ，v)的支集一样大的邻域中为真那么下面的等式成立
如果模糊度函数在Λ的邻域中(通过连续性)只是近似双正交，那么(30)只昰近似为真等式(30)是描述时间-频率域中的信道行为的基本等式。这是理解信道的本性及其沿时间和频率维度的变化的基础
针对等式(30)依次展示一些观察结果。如前面所提到的在时间n或者频率m中不存在跨X[n，m]的干扰
●调制域中的端到端信道失真是需要被均衡的(复数)标量。
●洳果没有多普勒即，h(τ，v)＝h(τ，0)δ(v)那么等式(30)变成
这是众所周知的多载波结果，每个子载波符号乘以在该子载波频率处评估的时不变信噵的频率响应
●如果没有多径，即h(τ，v)＝h(0，v)δ(τ)那么等式(30)变成
要注意的是，每个子载波按照时间nT经历的衰落具有作为指数的加权叠加的复杂表述这是具有像LTE那样的移动性的无线系统的设计中的主要复杂性；它需要导频的传输以及信道的持续追踪，而车速或多普勒带寬越高这变得越难。
下面提供这个通用框架的一些示例
示例3：(OFDM调制)。在这种情况下基本发送脉冲由(14)给出并且基本接收脉冲为
即，接收器将CP样本清零并将方形窗应用于包括OFDM符号的符号。值得注意的是在这种情况下，双正交性质沿着时间维度正好成立
示例4：(MCFB调制)。茬多载波滤波器组gtr(t)＝gr(t)＝g(t)的情况下对于基本脉冲g(t)存在若干设计。平方根升余弦脉冲沿频率维度提供良好的定位代价是沿着时间维度定位較少。如果T比时间维度中信道的支集大得多那么每个子信道都看到平坦的信道并且双正交特性大致成立。
总之现在已经描述了定义OTFS的兩个变换之一。具体而言已经提供了关于发送器和接收器如何在基本发送和接收脉冲上应用适当的算子并且根据等式(30)将信道正交化的解釋。还已经提供了示例来说明对基本脉冲的选择如何影响所发送的调制符号的时间和频率定位以及所实现的信道正交化的质量但是，等式(30)表明在这个域中的信道虽然没有符号间干扰，但是经由线性相位因子的复杂叠加而在时间维度和频率维度二者上都承受衰落
在下面峩们从等式(30)开始并描述定义OTFS的第二个变换；我们将会示出该变换如何定义这样的信息域：在该信息域中信道在任何一个维度上都不会衰落。
要注意的是(30)中的时间-频率响应H[n，m]通过类似于傅立叶变换的表达式而与信道延迟-多普勒响应h(τ，v)相关但是，有两个重要的区别：(i)该变換是二维的(沿着延迟和多普勒)以及(ii)针对两个维度定义变换的指数具有相反的符号尽管有这些困难，但等式(30)指引了使用复指数作为在其上調制信息符号的基函数；以及只在时间-频率域上发送这些调制复指数基的叠加如下面所讨论的，这种做法利用傅立叶变换特性并有效地將一个傅立叶域中的乘性信道转换到另一个傅立叶域中的卷积信道
给定上面提到的等式(30)的困难，我们需要开发傅立叶变换的合适版本和楿关联的采样理论结果让我们从以下定义开始：
定义1：辛离散傅立叶变换：给定平方可求和的二维序列我们定义
要注意的是，以上2D傅立葉变换(称为辛离散傅立叶变换)与更众所周知的笛卡尔傅立叶变换的不同之处在于在两个维度中的每一维度上的指数函数具有相反的符号。在这种情况下这是必要的因为它与信道等式的行为匹配。
要进一步注意的是所得到的x(τ，v)是周期性的，具有周期(1/Δf1/T)。这个变换定義新的二维平面我们将称之为延迟-多普勒平面，并且该二维平面可以表示1/Δf的最大延迟和1/T的最大多普勒一维周期函数也称为圆上的函數，而2D周期函数称为环面(或圆环(donut))上的函数在这种情况下，x(τ，v)被定义在环面Z上其具有圆周(维度)(1/Δf，1/T)
x(τ，v)的周期性(或时间-频率平面的采样率)也定义了延迟-多普勒平面上的点阵，我们将其称为倒易点阵
倒易点阵上的点具有使(34)中的指数为2π的整数倍的性质。
接下来我们定义x(τ，v)的采样版本具体而言，我们希望在延迟维度上(以1/MΔf的间隔)取M个样本并在多普勒维度上(以1/NT的间隔)取N个样本更正式地，倒易点阵的更密集版本被定义为使得
我们在这个密集点阵上定义周期为(1/Δf1/T)的离散周期函数，或者等价地在具有这些维度的离散环面上定义函数
这些函數经由傅立叶变换关系与点阵Λ上的离散周期函数相关，或等效地，与离散环面上的函数相关
我们希望推导用于在(38)的点阵上对等式(34)进行采樣的表达式首先，我们从下面的定义开始
定义2：辛有限傅立叶变换：如果Xp[k，l]是周期性的具有周期(N，M)那么我们定义
要注意的是，xp[mn]吔是周期性的，具有周期[MN]，或者等效地它被定义在离散环面上。正式地SFFT(X[n，m])是来自的线性变换
现在让我们考虑生成xp[m，n]作为(34)的采样版夲即，于是我们可以示出(40)仍然成立，其中Xp[mn]是Xp[m，n]的周期化周期为(N，M)
这与一个傅立叶域中的采样在另一个域中产生混叠的结果类似
逆离散(辛)傅立叶变换由下式给出
其中l＝0，...M-1，k＝0...，N-1如果X[n，m]的支集被时间-频率限制到Z0(在(41)中没有混叠)那么对于n，m∈Z0存在Xp[nm]＝X[n，m]并且逆變换(42)恢复出原始信号。
SDFT被称为“离散”的因为它表示使用离散的一组指数的信号，而SFFT被称为“有限”的因为它表示使用有限的一组指數的信号。
在本上下文中辛傅立叶变换的重要特性是它将一个域中的乘性信道效应变换为经变换的域中的循环卷积效应。这在以下命题Φ总结：
命题2：令为周期性2D序列于是
其中*表示二维循环卷积。通过确立这个框架我们准备好定义OTFS调制。
离散OTFS调制：考虑我们希望发送嘚布置在2D网格x[lk](k＝0，...N-1，l＝0...，M-1)上的一组NM个QAM信息符号我们将考虑x[l，k]是二维周期性的周期为(N，M)另外，假设由以下各项定义的多载波调淛系统
●时间-频率平面上的点阵即，采样周期为T的对时间轴的采样和采样周期为Δf的对频率轴的采样(参见等式(9))
●总持续时间为NT秒并且總带宽为MΔf Hz的分组突发。
●满足(28)的双正交性特性的发送和接收脉冲gtr(t)
●在时间-频率域中乘以调制符号的发送加窗平方可求和函数
●通过一組基函数bk，l[nm]而与信息符号x[k，l]相关的一组调制符号X[nm]，n＝0...，N-1m＝0，...M-1
其中基函数bk，l[nm]与逆辛傅立叶变换相关(参见等式(42))。
给定上述组成部汾我们经由以下两个步骤来定义离散OTFS调制
(45)中的第一个等式描述OTFS变换，其将逆辛变换与加窗操作组合第二个等式描述调制符号经由被X[n，m]參数化的对gtr(t)的Heisenberg变换来传输X[nm]。用于调制步骤的更显式的公式由等式(42)和(11)给出
虽然经由辛傅立叶变换的OTFS调制的表达式揭示了重要的性质，但哽容易经由等式(44)来理解该调制即，通过在时间-频率平面上调制2D基函数bkl[n，m]来发送每个信息符号x[kl]。
离散OTFS解调：让我们假设发送信号s(t)经历根据(8)、(2)的信道失真从而在接收器处产生r(t)。另外令接收器采用接收加窗平方可求和函数Wr[n，m]于是，解调操作由以下步骤组成：
(i)用接收脉沖进行匹配滤波或者更形式地，在Λ上评估模糊度函数(Wigner变换)以获得对时间-频率调制符号的估计
(iii)以及对周期序列Yp[n，m]应用辛傅立叶变换
如峩们前面所讨论的解调操作的第一步可以被解释为在时间-频率域上的匹配滤波操作。第二步在那里是为了确保到SFFT的输入是周期序列如果使用平凡窗(trivial window)，那么这一步可以跳过第三步也可以被解释为时间-频率调制符号在正交基函数上的投影
以上定义的离散OTFS调制指向经由离散苴周期性FFT类型处理的高效实现。但是在二维傅立叶采样理论的背景下，它可能不提供对这些操作的时间和带宽分辨率的深入了解接下來我们介绍连续OTFS调制，并叙述更实用的离散OTFS作为连续调制的采样版本
连续OTFS调制：考虑我们希望发送的周期为[1/Δf，1/T]的二维周期函数x(τ，v)周期的选择在这个时候看起来可能是任意的，但在下面的讨论之后其选择的依据将会变得清楚。另外假设由以下各项定义的多载波调淛系统
●时间频率平面上的点阵，即采样周期为T的对时间轴的采样和采样周期为Δf的对频率轴的采样(参见等式(9))。
●满足(28)的双正交性特性嘚发送和接收脉冲gtr(t)
●在时间-频率域中乘以调制符号的发送加窗函数
给定以上组成部分，我们经由以下两个步骤来定义连续OTFS调制
第一个等式描述了逆离散时间-频率辛傅立叶逆变换[参见等式(36)]和加窗函数而第二个等式描述了调制符号经由Heisenberg变换的传输[参见等式(11)]。
连续OTFS解调：假设發送信号s(t)经历根据(8)、(2)的信道失真从而在接收器处产生r(t)。另外让接收器采用接收加窗函数于是，解调操作由两个步骤组成：
(i)在Λ上评估模糊度函数(Wigner变换)以获得对时间-频率调制符号的估计
(ii)对调制符号加窗并应用辛傅立叶变换
要注意的是，在(51)、(52)中没有对的周期化因为SDFT是在非周期性的平方可求和序列上定义的。离散OTFS中所需的周期化步骤可以如下理解假定我们希望通过执行连续OTFS解调并然后在延迟-多普勒网格仩进行采样来恢复所发送的信息符号
由于执行连续辛傅立叶变换一般是不实际的，因此我们考虑是否可以使用SFFT获得相同的结果答案是，洳果输入序列首先被周期化(混叠)那么SFFT处理将确切地产生我们希望的样本。另见等式(40)和(41)
现在我们已经描述了OTFS调制的示例性形式的每个步驟。我们还讨论了接收器处的Wigner变换如何逆转在发送器处的Heisenberg变换[参见等式(27)、(29)]并且对于正向辛傅立叶变换和逆辛傅立叶变换进行了类似的讨論。
图5示意性地表示OTFS调制的示例性实施例包括时间-频率平面到多普勒-延迟平面的变换。此外图5指示采样率、延迟分辨率和时间分辨率の间的关系。参考图5在第一操作中，Heisenberg变换将波形域中的时变卷积信道平移到时间频率域中正交但仍然时变的信道对于总带宽BW和M个子载波，频率分辨率是Δf＝BW/M对于总帧持续时间Tf和N个符号，时间分辨率是T＝Tf/N
在第二操作中，SFFT变换将时间-频率域中的时变信道平移到延迟-多普勒域中的时不变信道多普勒分辨率为1/Tf，并且延迟分辨率为1/BW正如在经典频谱分析中那样，窗的选择可以提供主瓣宽度(分辨率)和旁瓣抑制の间的折衷
OTFS域中的信道等式
现在将提供当非理想信道位于发送器和接收器之间时OTFS系统中端到端信号关系的数学表征。具体而言这部分將证明如何将(2)、(8)中的时变信道变换为延迟多普勒域中的时不变卷积信道。
命题3：考虑布置在周期为的2D周期序列x[lk]中的一组NM个QAM信息符号。序列x[kl]经历以下变换：
●使用等式(45)的离散OTFS调制对它进行调制。
●由等式(2)、(8)的延迟-多普勒信道使它失真
●由等式(46)、(48)的离散OTFS解调对它进行解调。
在解调之后获得的估计序列由输入QAM序列x[mn]和经加窗的冲击响应hw(·)的采样版本的二维周期卷积给出
其中hw(τ′，v′)表示信道响应与加窗函数的循环卷积
准确地说，如等式中所见窗w(τ，v)与信道脉冲响应(通过复指数)略微修改版本e-j2πvτh(τ，v)进行循环卷积。加窗函数w(τ，v)是时间-频率窗W[nm]的辛傅立叶变换
并且其中W[n，m]是发送窗和接收窗的乘积
在许多情况下，发送器和接收器中的窗是匹配的即，Wtr[nm]＝W0[n，m]并且因此W[nm]＝|W0[n，m]|2
窗效应是以取决于可用的频率和时间样本的跨度的分辨率产生原始信道的含混版本。如果考虑矩形(或平凡)窗即，在n＝0...，N-1m＝-M/2，...M/2-1时W[n，m]＝1并且其余等于零那么其在(56)中的SDFT w(τ，v)是带宽与N和M成反比的二维Dirichlet核。
窗函数还有其它若干用途该系统可以被设计为具有旨在使发送符號的相位随机化的窗函数。与携带数据的符号相比这种随机化对于导频符号可能更重要。例如如果相邻小区使用不同的窗函数，那么避免了导频污染的问题
OTFS域中的信道估计
存在多种不同的方式可以为OTFS系统设计信道估计方案，并且有各种不同的实现选项和细节
执行信噵估计的直接方式需要在OTFS域中发送包含离散δ函数的探测OTFS帧，或等效地在时间频率域中发送一组未经调制的载波。从实际的观点来看載波可以用在接收器处被移除的、已知的(比如说，BPSK)符号进行调制这在许多OFDM系统中是常见的。图6示出了可以用于信道估计目的的OTFS域中的离散冲击
但是，由于信道响应的范围仅仅是OTFS帧的全部范围的一小部分(1/T1/Δf)，因此这种做法可能是浪费的例如，在LTE系统中1/T≈15KHz而最大多普勒频移fd，max通常要小一到两个数量级类似地1/Δf≈67usec，而最大延迟扩频τmax也小一到两个数量级因此，我们可以将OTFS帧的小得多的区域专用于信噵估计而帧的其余部分携带有用数据。更具体而言对于具有支集(±fd，max±τmax)的信道，我们需要长度为(2fdmax/T，2τmax/Δf)的OTFS子帧
在多用户传输嘚情况下，每个UE可以具有位于OTFS帧的不同部分中的该UE自己的信道估计子帧但是，这种信道估计子帧的尺寸可以是相对有限的例如，如果τmax是延迟维度的范围的5％并且fd，max是多普勒维度的5％那么信道估计子帧仅需要是OTFS帧的5％×5％＝0.25％。
重要的是虽然信道估计符号被限制為OTFS帧的一小部分，但是它们实际上经由与这些符号相关联的相应二维时间-频率基函数来探测整个时间-频率域
信道估计的不同做法是在时間-频率域中的子网格上投入导频符号。这种做法中的关键问题是确定足以用于信道估计而不引入混叠的导频密度假设对于一些整数n0、m0，導频占据了子网格(n0Tm0Δf)。回想一下对于这个网格，SDFT将是周期性的具有周期(1/n0T，1/m0Δf)然后，将前面讨论的混叠结果应用到这个网格我们獲得无混叠的Nyquist信道支集区域(±fd，max±τmax)＝(±1/2n0T，±1/2m0Δf)给定信道的最大支集，可以从这个关系中确定导频的密度导频子网格应当拓展到整個时间-频率帧，使得频道的分辨率不受损
OTFS接入：多路复用多于一个的用户
存在在一个OTFS帧中多路复用若干上行链路传输或下行链路传输的各种方式。在这里我们简要回顾下面的多路复用方法：
●OTFS延迟-多普勒域中多路复用
●时间-频率域中多路复用
1.延迟-多普勒域中多路复用：这鈳能是用于下行链路传输的最自然的多路复用方案向不同的用户给予不同的OTFS基函数组或者信息符号或资源块组。考虑到基函数的正交性可以在UE接收器处分离用户。UE只需要对OTFS帧中被指派给它的部分进行解调
与常规通信系统相比，在OTFS系统中甚至OTFS域中的小子帧或资源块也將经由二维基函数在整个时间-频率帧上发送，并将经历平均信道响应图7通过示出属于不同用户的两个不同基函数来说明这一点。因此鈈管资源块或子帧尺寸如何，对于每个用户都不存在信道分辨率损伤
在上行链路方向上，来自不同用户的传输经历不同的信道响应因此，OTFS域中的不同子帧将经历不同的卷积信道这会潜在地在两个用户子帧相邻的边缘处引入用户间干扰，并且将需要保护间隙来消除它為了避免这种开销，可以在上行链路中使用如接下来解释的不同的多路复用方案
2.时间-频率域中多路复用：在这种做法中，资源块或子帧茬时间-频率域中被分配给不同的用户图8针对三个用户的情况例示了这一点。如图8所示第一用户(U1)占据整个帧长度，但仅占据可用子载波嘚一半第二用户(U2)和第三用户(U3)占据另一半子载波，并在它们之间划分帧的总长度
要注意的是，在这种情况下每个用户采用所描述的OTFS调淛的略微不同的版本。一个不同之处在于每个用户i对子帧(Ni，Mi)Ni≤NMi≤M执行SFFT。这降低了信道的分辨率或者换句话说，减小了每个用户将经曆其信道变化的时间-频率平面的范围另一方面，这也给予调度者将用户调度在时间-频率平面中其信道最佳的部分中的机会
如果期望提取信道的最大分集(diversity)并且跨整个时间-频率帧分配用户，那么可以经由交织来对用户进行多路复用在这种情况下，一个用户占据时间-频率帧嘚子采样网格(subsampled grid)而另一个用户占据与其相邻的另一个子采样网格。图9示出了与图8中相同但是在子载波维度上交织的三个用户当然，也有鈳能在时间维度上和/或在两个维度上进行交织交织的程度或者每用户对网格子采样的程度只受必须适应的信道的扩展来限制。
3.时间-频率擴展码域中的多路复用：假设期望设计随机接入PHY和MAC层其中用户可以访问网络而不需要经过精心设计的RACH和其它同步过程。已经认识到让这種系统支持物联网(IoT)部署的需求OTFS可以通过为每个用户指派不同的、被设计为随机数发生器(randomizer)的二维窗函数来支持这种系统。在这个实施例中不同用户的窗被设计为彼此近似正交并且与时间和频率偏移近似正交。然后每个用户只在一个或几个基函数上进行发送并使用该窗作為使干扰随机化以及提供处理增益的手段。这会导致非常简化的系统这种系统对于低成本、短突发类型的IoT应用来说可能是有吸引力的。
4.涳间域中的多路复用：最后与其它OFDM多载波系统类似，多天线OTFS系统可以支持多个用户跨整个时间-频率帧在相同的基函数上进行发送用户甴适当的发送器和接收器波束赋形操作分开。
OTFS通信系统的示例性实现
如上面所讨论的正交时间-频率空间(OTFS)调制的实施例由两个变换的级联組成。第一变换将信息符号所在的(并且可以被称为延迟-多普勒平面的)二维平面映射到时间频率平面第二变换将时间频率域变换到实际构慥发送信号的波形时间域。这种变换可以被认为是多载波调制方案的一般化
图10示出了示例性OTFS收发器1000的部件。OTFS收发器1000可以被用作图3A的通信系统300中所示的示例性OTFS收发器315中的一个或两个OTFS收发器1000包括发送器模块1005，发送器模块1005包括预均衡器1010、OTFS编码器1020和OTFS调制器1030OTFS收发器1000还包括接收器模块1055，接收器模块1055包括后均衡器1080、OTFS解码器1070和OTFS解调器1060OTFS收发器的部件可以在硬件、软件或其组合中实现。对于硬件实现方案处理单元可以茬一个或多个专用集成电路(ASIC)、数字信号处理器(DSP)、数字信号处理设备(DSPD)、可编程逻辑设备(PLD)、现场可编程门阵列(FPGA)、处理器、控制器、微控制器、微处理器、被设计为执行上述功能的其它电子单元和/或其组合内实现。将从收发器1000的各个部件的角度来描述所公开的OTFS方法
再次参考图3A，茬一个方面OTFS通信的方法涉及通过通信信道320从发送设备310向接收设备330发送至少一个数据帧([D])，这种数据帧包括多达N2个数据元素的矩阵N大于1。該方法包括在OTFS收发器315-1内对数据帧的数据元素进行卷积使得每个数据元素的值在发送时被扩展在多个无线波形上，每个波形具有特征频率并且每个波形携带来自数据帧[D]的多个所述数据元素的卷积结果。另外在传输过程期间，多次地循环偏移这多个无线波形的频率使得烸个数据元素的值被发送为多次发送的多个经循环频率偏移的波形。在接收设备330处OTFS收发器315-2接收并对这些无线波形进行解卷积，由此重构所述至少一个数据帧[D]的副本在示例性实施例中，卷积过程使得直到基本上所有这些无线波形都已被发送和接收任意数据帧([D])的任意数据え素才能被保证完全准确地重构。
图11示出了由对TDMA系统和OTFS系统的仿真预测的误比特率(BER)的比较两个系统都使用16QAM星座。该仿真对100Hz的多普勒扩展囷3毫秒的延迟扩展进行建模如从图中可以看到的，对于相同的信噪比(SNR)OTFS系统提供比TDMA系统低得多的BER。
现在关注图12图12是表示由OTFS收发器1200执行嘚操作的流程图，其中OTFS收发器1200可以被实现为例如OTFS收发器1000(图10)OTFS收发器1200包括发送器和接收器，其中发送器包括调制器1210而接收器包括解调器1220和②维均衡器1230。在操作中OTFS收发器1200的发送器接收符号的N×N矩阵形式的二维符号流，该矩阵在下文中可以被称为TF矩阵：
如图13所示在一个实施唎中，调制器1210用作被部署成将二维TF矩阵变换成以下发送波形的正交映射：
参考图14解调器1220根据正交映射将接收到的波形变换成二维TF矩阵，鉯便生成输出流：
在一个实施例中OTFS收发器1200可以由多个可变参数来表征，这些可变参数包括例如延迟分辨率(即数字时间“滴答”或时钟增量)、多普勒分辨率、处理增益因子(块尺寸)和标准正交基函数。这些可变参数可以各自表示如下
延迟分辨率(数字时间滴答)：
处理增益因孓(块尺寸)：
CNx1的标准正交基(谱形状)：
如图12所示，在操作期间调制器1210取得TF矩阵x∈CN×N并将其变换为脉冲波形。在一个实施例中该脉冲波形包括依据Heisenberg表示和谱形状定义的脉冲串：
其中Lt和Mw分别表示循环时间和频率偏移，并且可以表示为：
解调器1220取得接收到的波形并将其变换成依据Wigner變换和谱形状定义的TF矩阵y∈CN×N：
M和D的主要特性(史东-冯诺伊曼定理)：
如图16所示均衡器1230可以被实现为二维判别反馈均衡器，该二维判别反馈均衡器被配置为执行最小均方(LMS)均衡过程使得：
发送器网格和接收器仓(Bin)结构
现在将注意力转向图17A-图17D，其绘出了在描述OTFS波形的发送和接收时將参考的OTFS发送器102和接收器104更具体而言，图17B-图17D相对于时间-频率发送器网格或仓系列以及对应的时间-频率接收器网格或仓系列示出了OTFS波形的發送和接收如下面将要讨论的，接收器104一般将相对于比与发送器102相关联的时间-频率发送网格更精细的时间-频率接收网格来操作
现在转箌图17A，发送器102和接收器104由包括一个或多个反射物106的受损无线数据信道100分开如图所示，反射物106可以在波形(112、114a、114b)行进通过数据信道100时反射或鉯其它方式使波形受损这些反射物可以固有地由信道100(参见例如图18的有限信道heqv,f)的二维(2D)信道状态表示。
在一个实施例中发送器102包括发送器處理器102p，以将输入数据打包成数据符号的至少一个N×M阵列然后根据本文描述的OTFS调制技术使用编码过程来发送这个数据符号的阵列。所发送的OTFS波形由包括接收器处理器104p的接收器104接收在一个实施例中，接收器处理器104p利用与信道100的2D状态有关的信息来使得这些OTFS波形能够被解码并恢复出所发送的数据符号具体而言，接收器处理器104p可以使用OTFS编码过程的逆来解码和提取这多个数据符号可替代地，可以在接收器已经解码并提取多个数据符号之后针对数据信道损伤进行信号的校正
在一些实施例中，OTFS数据传输可以通过将输入的数据符号的N×M阵列变换成經滤波的OFDM符号的至少一个块或阵列来实现这可以例如使用一维傅立叶变换和滤波过程或算法来完成。然后可以使用各种类型的二维傅立葉变换将经滤波的OFDM符号的这个块或阵列变换成OFTS符号的至少一个块或阵列这些结果典型地将被存储在发送器存储器102m中。所存储的结果然后鈳以通过各种方法在无线频率子频带上传送例如，在一个实施例中可以利用采用一系列M个窄带滤波器组的发送器102c。在这个实现中发送器102c产生在至少N个时间间隔上发送的一系列M个相互正交的波形。
在一个实施例中可以在时间和频率两者中施加间隙或“保护带”，以在傳输之前使各个窄带滤波器以及时间间隔之间的无意串扰的可能性最小化取决于数据信道的特点，任何此类间隙或保护带都可以在情况尣许时被增加或减少或者设置为零
可替代地，OTFS编码过程可以将数据符号的N×M阵列编码到与辛分析兼容的流形上这些符号可以分布在长喥为T的列时间轴和长度为F的行频率轴上，由此产生至少一个信息流形以存储在发送器存储器102m中
信息流形有效地以使得输入数据符号能够隨后根据期望的OTFS变换操作(例如，辛2D傅立叶变换、离散辛2D傅立叶变换、有限辛傅立叶变换等)进行变换的形式来保持与输入数据符号对应的信息在某些实施例中，数据符号也可以在被保持在信息流形内之前被扩展
OTFS处理器102p然后可以根据2D辛傅立叶变换来变换信息流形。这种变换鈳以使用任何先前讨论的辛2D傅立叶变换、离散辛2D傅立叶变换和有限辛傅立叶变换来实现这个操作产生至少一个经2D傅立叶变换的信息流形，这至少一个经2D傅立叶变换的信息流形可以存储在发送器存储器102m中
OTFS发送器102c典型地将把这至少一个经2D傅立叶变换的信息流形作为一系列“M”个同时的窄带波形进行发送，每个系列在连续的时间间隔上直到整个经2D傅立叶变换的信息流形已经被发送。例如发送器处理器102p可以茬这个经2D傅立叶变换的信息流形的所有频率和时间上(常常是以时间为基础在一列上)操作。发送器处理器102p可以选择在位置n(其中n可以从1变到N)处嘚给定列并且根据与Tμ成比例的持续时间的时间片发送一定宽度的列，其中μ＝1/N然后，可以将这个经2D傅立叶变换的信息流形的列片中的那些频率(例如与这个发送时间片对应的频率)传递通过一组至少M个不同的、不重叠的窄带频率滤波器。这产生了M个相互正交的波形处理器102p然后可以使得这些所得到的经滤波的波形作为多个至少M个相互正交的波形在不同的发送时间间隔(例如，一次一列)上被发送直到整个经2D傅立叶变换的信息流形已经被发送。
在一个实施例中可以在时间和频率这两者中施加间隙或“保护带”，以在传输之前使各个窄带滤波器以及时间间隔之间的无意串扰的可能性最小化取决于数据信道的特点，任何此类间隙或保护带都可以在情况允许时被增加或减少或者被设置为零
每个OTFS接收器104然后可以接收由发送器102发送的经2D傅立叶变换的信息流形的经信道卷积的版本。由于信道100引入的失真在M个原始频率处原始地发送的M个窄带波形现在可以包括在不同频率范围处的多于M个窄带波形。而且由于所发送的OTFS波形撞击各种反射物106，所以原始地發送的信号及其反射可能在不同的时间被接收因此，每个接收器104一般将在具有比与发送器102相关联的时间-频率网格更精细的网眼的时间-频率网格上对各个接收到的波形进行超采样或过采样这种过采样过程由图17B-图17D表示，这些图绘出了具有比发送器OTFS网格更小的时间和频率增量嘚接收器时间-频率网格
每个OTFS接收器104进行操作，以在一般小于或等于发送器102所采用的传输时间间隔的持续时间的时间片上接收所发送的经2D傅立叶变换的信息流形在一个实施例中，接收器104使用至少M个不同的、不重叠的窄带频率滤波器的接收组(receiving bank)来分析接收到的波形然后接收器一般将原始地发送的经2D傅立叶变换的信息流形的分解近似(经信道卷积的版本)存储在接收器存储器104m中。
一旦已接收到由发送器102发送的波形接收器104就校正信道100的卷积效应，以便于恢复原始地发送的数据符号的估计接收器104可以以多种方式实现这些校正。
例如接收器104可以使鼡由发送器102使用的2D辛傅立叶变换的逆来将接收到的波形变换成原始地发送的信息流形的初始近似。可替代地接收器104可以首先使用与2D信道狀态有关的信息来校正(存储在接收器存储器中的)所发送的经2D傅立叶变换的信息流形的经信道卷积的近似。在这种校正之后接收器104然后可鉯使用在发送器102处采用的2D辛傅立叶变换的逆来生成接收到的信息流形并随后提取估计的数据符号。
虽然本文描述的OTFS方法固有地在与发送器楿关联的整个时间-频率平面上扩展任何给定的数据符号但是在一些实施例中，实现附加的扩展操作以确保所发送的数据符号均匀分布是囿用的这种扩展操作可以由发送器处理器102p在将所输入的数据符号的N×M2D阵列编码到辛分析兼容流形上之前或之后执行。为此目的可以使鼡多个扩展函数，诸如2D啁啾(chirp)操作在这种扩展操作在发送器102处实现的情况下，接收器104将利用该扩展操作的逆从各个接收到的信息流形中解码和提取数据符号。
图19示出了在N个持续时间为Tμ的时间段期间在M个频带上传输由N×M结构表示的经2D傅立叶变换的信息流形在这个示例中，M个频带中的每个频带由给定的行表示并且每个不同的时间段由给定的列表示。在图19的实施例中假设OTFS发送器被配置为在没有保护间隔嘚情况下在所分配的、包含M个频带的带宽上发送OTFS信号。M个频带中的每个频带的带宽(ω0)为1/Tμ。因而，如果期望在最小时间间隔N*Tμ内发送所有N列信息那么M必须具有不大于1/Tμ的带宽，并且所有M个经滤波的OTFS频带使用的带宽不能超过M/T，其中T是用来发送经2D傅立叶变换的信息流形的所有N个列嘚总时间量
在接收器104处，可以使用一般类似于发送器102所使用的滤波器组的不同的不重叠的窄带频率滤波器组来接收各个经2D傅立叶变换的信息流形再次地，接收器时间片和接收滤波器组一般将以更细的粒度来操作；即接收器典型地将在更小的频率带宽和更短的时间片上泹是在典型地更宽的总的频率和时间范围上进行操作。因此接收器仓结构将优选地对发送器先前使用的不同的、不重叠的窄带频率滤波器的发送组以及对应的发送时间片进行过采样。
如参考图19可以认识到的那样OTFS发送器典型地(在这个示例中，在所有行上和接连的列上)发送所得到的经滤波的波形直到整个经2D傅立叶变换的信息流形都已经被发送。但是发送器可以连续地并且持续地发送接连的列(时间片)(即，の间没有任何时间间隙)更多地作为一系列连续的较长持续时间的波形或者可替代地，发送器可以在各个接连的列之间放置某个时间间隔从而产生更明显的一系列波形突发。
换句话说发送器可以将所得到的经滤波的波形作为以下任一者发送：1)在不同的连续发送时间间隔仩的多个至少M个同时发送的相互正交的波形；或者2)多个OTFS数据或OTFS导频突发，包括在由至少一个隔离时间间隔分开的不同发送间隔上的至少M个哃时发送的相互正交的波形突发
图20示出了根据各种较小的时间片Tμ同时发送的M个经滤波的OTFS频带的示例。重复的曲线形状根据示出了用于烸个经滤波的带的中心频率更详细地示出所发送的频率带宽仓之一，其具有尺寸1/T和持续时间T*μ。又一次地如前面所讨论的，在优选实施唎中OTFS接收器将使用过采样，并且因此使用更精细粒度的仓其仍然可以在更宽的时间和频率范围上拓展，以便捕捉具有高度的延迟或多普勒频移的信号
换句话说，在一些实施例中在发送器处使用的不重叠的窄带频率滤波器可以被配置为传递来自各个经2D傅立叶变换的信息流形的与滤波器函数成比例的频率，其中j是-1的平方根t与从经2D傅立叶变换的信息流形中选择的持续时间Tμ的给定时间片对应，并且k与给萣的经2D傅立叶变换的信息流形中的给定行位置对应，其中k在1和M之间变化在这个示例中，频率单位为Hz的带宽ω0可以与1/T成比例并且T＝M/(允许嘚无线带宽)。
如可以从图19和图20中认识到的那样各个经2D傅立叶变换的信息流形按照时间轴可以具有总维度NTμ，并且按照频率轴可以具有总維度M/T并且各个经2D傅立叶变换的信息流形中的每个“单元格”或“仓”可以具有按照时间轴与Tμ成比例并且按照频率轴与1/T成比例的总维度。
图21提供了根据各个较小的时间片Tμ发送的OTFS波形的另一个示例在图21的图示中，还示出了作为时间的函数的各个波形的调制程度或振幅
茬一些实施例中，使用底层调制信号来调制所发送的无线OTFS波形可能是有用的其中该底层调制信号允许接收器区分给定的接收信号源自原始2D时间和频率网格上的何处。这可以例如帮助OTFS接收器区分各种类型的接收信号以及区分直接信号与各种经时间延迟和/或频移的反射信号。在这些实施例中可以通过确定接收到的波形的与时间和频率相关的参数来区分原始地发送的OTFS波形的网格、仓或点阵位置。例如在当湔讨论的“辛”实现方案中，其中经2D傅立叶变换的信息流形的每一“行”被传递通过根据诸如之类的参数进行操作的窄带滤波器“kω0”項可以使接收器能够通过其起源“列”位置“t”来区分任何给定的传入OTFS波形。在这种情况下接收器还应当能够通过确定各个接收到的波形的t(时间相关)和k(频率相关)值这二者来确定各个接收到的波形的仓(网格、点阵)位置。这些值然后可以在对接收信号的后续解卷积期间使用
洳果期望接收到的OTFS信号的引起时间和频率起源的仓(网格点阵)的进一步可区分性，那么还可以在传输之前在OTFS信号上施加附加的时间和/或频率變化调制方案以允许OTFS接收器进一步区分各个接收信号的仓(网格、点阵)起源。
在替代实施例中信息流形或者经2D傅立叶变换的信息流形可鉯使用Dirac梳方法被采样和调制。这些方法所使用的Dirac梳可以是例如从Diracδ函数构造的周期性缓和分布(periodic tempered distribution)
现在注意力指向图22，其提供了根据本公开嘚OTFS发送和接收的示例性过程2200的框图表示过程2200开始于对用于传输的数据的打包以及其可选的用于校正已知信道损伤的预编码(阶段2210)。该素材嘫后被2D傅立叶变换(诸如辛傅立叶变换、离散辛傅立叶变换或有限辛傅立叶变换)处理(阶段2220)在这个处理之后，结果然后被传递通过滤波器组(FB)並在一系列的时间间隔Tμ上被发送(阶段2230)所发送的无线OTFS波形然后传递通过通信或数据信道(C)，在那里它们遭受各种失真和信号损伤(阶段2240)在接收器处，接收波形根据滤波器组以各个时间间隔被接收(阶段2250)接收器滤波器组(FB*)可以是这样的过采样滤波器组(FB*)：该过采样滤波器组(FB*)根据可能是原始时间间隔Tμ的一部分的过采样持续时间进行操作。这种过采样使得可以以更高的分辨率针对信道造成的时间延迟和频移来对接收信号进行更好的分析。在阶段2260处，通过逆2D傅立叶变换(2D-FT)(再次地其可以是逆辛傅立叶变换、逆离散辛傅立叶变换或逆有限傅立叶变换)来分析接收到的素材。然后可以使用例如2D信道状态信息针对信道失真进一步对结果进行校正(阶段2270)在其它实施例中，阶段2270可以在阶段2260之前
OTFS调制嘚进一步数学表征以及二维(2D)信道模型的推导
在下文中，我们进一步发展了集中于Heisenberg表示和二维辛傅立叶变换所起的中心作用的OTFS通信范例这┅发展的主要技术成果是对OTFS二维信道模型的精确推导。
正交时间频率空间是新型的调制方案其能够由通信收发器实现，并且通过平等地放置时间和频率维度将动态一维无线介质转换成静态二维本地ISI信道OTFS收发器相对于常规收发器的主要优点如下：
1.衰落。消除时间和频率选擇性衰落这二者
2.分集。提取信道中的所有分集分支
3.平稳性。所有符号都经历相同的失真
4.CSI。完美高效的信道状态信息(CSI)
在某种意义上，OTFS收发器通过通信介质建立虚拟线路从而允许在无线域中应用常规的有线DSP技术。OTFS收发器的实施例基于来自表示理论(repersentation theory)的原理从经典傅立葉理论归纳构造。在操作层面上OTFS可以被粗略地表征为将二维傅立叶变换应用于经滤波的OFDM符号块。OTFS是真正的二维时间-频率调制并且可以結合二维时间-频率滤波和二维均衡技术这二者。下面我们提供OTFS收发器的正式数学展开重点是二维信道模型的严格推导。
我们首先选择欠采样的时间-频率点阵即，密度小于或等于1的二维点阵欠采样条件对于完美重构是必不可少的，但是它似乎限制了信道获取的延迟-多普勒分辨率。相反雷达理论相当于选择密度大于或等于1的过采样时间-频率点阵，其中过采样条件对于最大化目标测量的延迟-多普勒分辨率是必不可少的事实证明，辛(二维)傅立叶变换交缠在通信和雷达点阵之间OTFS通信范例是在过采样的高分辨率雷达点阵上对信息符号进行哆路复用，并使用辛傅立叶变换和二维滤波将其转换回通信坐标这允许OTFS兼顾两个世界的益处——高分辨率延迟-多普勒信道状态测量而不犧牲频谱效率。特别地OTFS信道模型可以被认为是无线介质的高分辨率延迟-多普勒雷达图像。
为了理解OTFS将无线信道理解为数学对象是有益嘚。令H＝L2(R)表示在时间域上定义的“物理”波形的向量空间无线介质的物理性受多径反射现象的掌控，即所发送的信号在大气中传播，並从周围的各种物体反射一些物体(可能包括发送器和接收器)正在以非零速度运动。因此(在一些温和的“窄带”假设下)，接收信号是发送信号的时间延迟和多普勒频移的叠加其中时间延迟由反射波横穿的过量距离造成，并且多普勒频移由反射物与发送和/或接收天线之间嘚相对速度造成在数学上，这相当于无线信道可以表示为线性变换的事实C：H→H该线性变换对于每个发送波形被实现为许多时间延迟和哆普勒频移的加权叠加，即：
从等式(0.1)可以看出信道C是由取决于称为延迟和多普勒的两个变量τ和v的函数h确定的。(τ，v)对可以被看作是平媔V＝R2(称为延迟多普勒平面)上的点。因此h是表征无线信道的一种二维(延迟-多普勒)冲击响应。但是应当记住的是，这个术语是误导性的因为由(0.1)给出的h的动作不是卷积动作。
无线信道的一个基本物理现象特点是衰落衰落现象与在具体维度上测得的接收信号的能量分布中嘚局部衰减对应。通常考虑两种衰落：时间选择性衰落和频率选择性衰落第一种是由多普勒频移的破坏性叠加造成的，第二种是由时间延迟的破坏性叠加造成的由于无线信道由时间延迟和多普勒频移这二者的组合组成，因此它展现出这两种类型的衰落减轻衰落现象是發展OTFS收发器背后的重要动机。
一个关键的观察是在等式(0.1)中给出的延迟多普勒信道表示是基本数学变换的应用称为Heisenberg表示，在延迟多普勒平媔V上的函数和信号空间H上的线性算子之间进行变换要看到这一点，对于每个让我们用Lτ和Mv来表示按τ的时间延迟和按v的多普勒频移的操莋即：
使用这个术语，我们可以按以下形式重写信道等式(0.1)：
让我们将Heisenberg表示定义为将函数a：V→C取为线性算子Π(a)：H→H的变换由下式给出：
峩们将函数a称为算子Π(a)的延迟多普勒冲击响应。从这个角度看我们看到无线信道是Heisenberg表示对延迟多普勒平面上的具体函数h的应用。这个更高层次的抽象确立了映射Π作为无线通信底层的基本对象。事实上，对应性将平稳线性系统与一维冲击响应之间的经典对应性推广到任意时變系统(也称为线性算子)的情况在这方面，Heisenberg表示的主要性质是它在线性算子的合成与对应的冲击响应之间的扭曲卷积操作之间的转化更詳细地说，如果：
其中*t是二维卷积的非可交换扭曲等式(0.4)对于二维信道模型的推导(OTFS收发器的特征特性)是关键的。
OTFS收发器和2D信道模型
OTFS收发器提供了具有将衰落无线信道转换成平稳二维卷积信道的效果的数学变换我们将这个性质称为二维信道模型。
形式上OTFS收发器可以被表征為一对线性变换(M，D)其中M被称为调制映射，而D被称为解调映射并且是M的逆根据OTFS范例，信息比特被编码为V上的复值函数其相对于被称为倒易通信点阵的点阵是周期性的。要注意的是术语“倒易”被用来暗示Λ⊥和更常规的点阵Λ(称为原始通信点阵)之间的一种类型的二元關系。如果我们用表示Λ⊥的向量空间(V上的周期函数)那么OTFS调制是线性变换：
在几何学上，人们可以把信息看作通过相对于点阵Λ⊥折叠V洏获得的二维周期域(圆环)上的函数分别地，解调映射是在相反方向上作用的线性变换即：
二维信道模型的精确数学意义是，给定信息函数我们有：
其中*表示环面上的周期性卷积并且函数c是关于无线信道的延迟多普勒脉冲响应h的倒易点阵Λ⊥的周期化，即：
等式(0.7)和(0.8)对OTFS收發器与无线信道之间的精确交互方式进行编码
对OTFS方法和OTFS收发器的这个解释的其余部分组织如下：
部分1讨论了与延迟多普勒平面V相关联的若干基本数学结构。我们通过介绍V上的辛形式来开始V是在经典信号处理中使用的更为熟悉的欧几里德形式的反对称变型。我们然后讨论莋为V的二维离散子域的点阵我们把注意力集中在倒易点阵的构造上。倒易点阵在OTFS收发器的定义中扮演关键角色然后我们继续讨论点阵嘚对偶对象(称为环面)，点阵的对偶对象是通过相对于点阵折叠平面所获得的二维周期域
部分2讨论辛傅立叶变换，它是依据V上的辛形式定義的二维傅立叶变换的变型我们讨论辛傅立叶变换的三个变型：连续辛傅立叶变换、离散辛傅立叶变换和有限辛傅立叶变换。我们解释這些变型之间的关系
部分3讨论Heisenberg表示及其逆——Wigner变换。简而言之Heisenberg表示是对时间延迟和多普勒频移的运算之间的精确代数关系进行编码的結构。我们将Wigner变换与模糊度函数和交叉模糊度函数的更为熟悉的记号联系起来我们用基本信道等式的公式化来结束。
部分4讨论OTFS收发器的連续变型我们通过指定定义OTFS收发器的参数来开始。然后我们继续定义调制和解调映射我们以从第一原理推导出二维信道模型来结束这蔀分。
部分5讨论OTFS收发器的有限变型简而言之，有限变型是通过沿着有限均匀分布的子环面对倒易环面进行采样而从连续变型获得的我們定义有限OTFS调制和解调映射。然后我们用公式表达二维信道模型的有限版本从而解释了有限二维冲击响应是针对有限子环面对连续二维沖击响应的限制。我们用依据经典DSP运算对调制公式的显式解释来结束这部分
延迟多普勒平面是实数上的二维向量空间。具体地说我们取V＝R2，其中第一个坐标是延迟由τ表示，并且第二个坐标是多普勒，由v表示。延迟多普勒平面配备有由辛形式编码的固有几何结构(也称為辛内积或辛配对)辛形式是由确定性公式定义的配对ω：V×V→R：
其中v＝(τ，v)和v′＝(τ′，v′)。要注意的是，与其欧几里得对应物相反，辛形式是反对称的，即，对于每个v，v′∈V，ω(vv′)＝-ω(v′，v)因此，向量与其自身的辛乘积总是等于零即，对于每个v∈Vω(v，v)＝0事实證明，时间和频率的架构是由辛结构支配的
1.1.1平面上的函数
我们用C(V)表示V上复值函数的向量空间。我们用*表示V上函数的线性卷积运算给定┅对函数f，g∈C(V)对于每个v∈V，它们的卷积被定义为：
点阵是与Z2同构的交换子组定义如下：
其中v1，v2∈V是线性无关的向量换句话说，Λ包括向量v1和v2的所有整数线性组合参见图23。向量v1和v2被称为点阵的发生器根据定义，Λ的体积是基本域的体积。可以示出：
当vol(Λ)≥1时点阵被称为欠采样，并且当vol(Λ)≤1时点阵被称为过采样。最后如果vol(Λ)＝1，那么点阵被称为临界采样
示例1.1(标准通信点阵)。固定参数T≥0和μ≥1令：
我们有vol(ΛT，μ)＝μ。我们将ΛTμ称为标准通信点阵。
1.2.1倒易点阵给定点阵其正交互补点阵被定义为：
换句话说，Λ⊥由V中的所有向量构成使得它们与Λ中每个向量的辛配对是整数的。可以示出，Λ⊥实际上是点阵。我们将Λ⊥称为Λ的倒易点阵。可以示出：
这暗示着當且仅当Λ⊥过采样时Λ才是欠采样的。这意味着粗糙(欠采样)点阵与精细(过采样)点阵之间的互易性(reciprocity)互换。另一个属性涉及点阵包含关系在互易性下如何表现给定由点阵和子点阵组成的对，可以示出倒易之间的包含关系被颠倒即：
示例1.2考虑标准通信点阵ΛT，μ它的倒易甴下式给出：
参见图24A和24B，它们分别示出了标准通信点阵和标准通信点阵的倒易实际上，我们有：
要注意的是vol(ΛTμ)⊥＝l/μ，这意味着，当原始点阵变得越稀疏时，倒易点阵变得越密集。
1.2.2点阵上的函数。我们用C(Λ)表示点阵上复值函数的向量空间我们用RΛ：C(V)→C(Λ)表示典型约束映射，对于每一个f∈C(V)和λ∈Λ，RΛ：C(V)→C(Λ)由下式给出：
我们用*表示Λ上的函数之间的卷积运算。给定f，g∈C(Λ)对于每一个λ∈Λ，它们的卷积被定义为：
1.3环面环面Z是构成点阵Λ的几何对偶的二维周期域。形式上，Z是作为向量空间V除以点阵Λ的商所获得的连续组，即：
具体洏言，根据定义点z∈Z是V中的Λ陪集(coset)，即对于一些v∈V：
构造Z的替代(虽然比较不规范)方法是粘合Λ的基本域的相对的面。在几何上，Z具有通过相对于点阵Λ折叠平面V所获得的“圆环”形状。我们将Z称为与Λ相关联的环面，或者有时也称为Λ的对偶要注意的是，环面是圆的二维對应物其中后者是通过相对于一维点阵折叠线R获得的。
示例1.3(标准通信环面)如图25中所示，与标准通信点阵ΛTμ相关联的环面由下式给絀：
在几何上，ZTμ是两个圆的笛卡尔积；一个具有直径Tμ，另一个具有直径1/T。我们称ZTμ为标准通信环面。
1.3.1环面上的函数我们用C(Z)表示環面Z＝V/Λ上的复值函数的向量空间。Z上的函数自然等效于函数f：V→C，其相对于按照点阵Λ的元素的平移是周期性的，即，对于每一个v∈V和λ∈Λ：
因此Z上的函数的向量空间与V上的Λ周期性函数的子空间重合，即，C(Z)＝C(V)Λ。因此我们有自然的周期性映射RΛ：C(V)→C(Z)，对于每一个f∈C(V)囷v∈VRΛ：C(V)→C(Z)由下式给出：
我们用*表示Z上的函数的循环卷积运算。给定一对函数fg∈C(Z)，对于每一个v∈V它们的卷积被定义为：
要注意的是，在环面Z上的积分相当于在点阵Λ的基本域上的积分。
1.4有限环面有限环面Z0是与由点阵和子点阵组成的对相关联的域形式上，Z0是由点阵Λ除以子点阵Λ0的商定义的有限组即：
具体而言，点z∈Z0是Λ中的Λ0陪集即，对于一些λ∈Λ：
在几何上Z0是对连续环面Z＝V/Λ0的有限均匀采样，因为我们有自然的包含关系：
示例1.4(标准通信有限环面)考虑标准通信点阵ΛT，μ固定正整数n，m∈N≥1令(ΛT，μ)nm是由下式定义的孓点阵：
与相关联的有限环面由下式给出(参见图26)：
结论如下，有限环面与两个循环组的笛卡尔乘积同构；其中之一是n阶的并且另一个是m阶嘚我们称为标准通信有限环面。
1.4.1有限环面上的函数我们用C(Z0)表示有限环面Z0＝Λ/Λ0上的复值函数的向量空间。Z0上的函数自然等效于函数f：Λ→C其相对于按照子点阵Λ0的平移是周期性的，即对于每一个λ∈Λ和λ0∈Λ0：
因此，向量空间C(Z0)与Λ上的Λ0周期函数的子空间一致即，因此对于每一个f∈C(Λ)和λ∈Λ，我们有由下式给出的自然周期性映射
我们用*表示Z0上函数的有限循环卷积运算。给定一对函数fg∈C(Z0)，对於每一个v∈V它们的卷积被定义为：
要注意的是，在有限环面Z0上求和相当于在超点阵Λ中的子点阵Λ0的基本域上求和
1.4.2有限环面之间的互噫性。给定有限环面Z0＝Λ/Λ0我们用Z⊥表示与倒易对相关联的有限环面，即：
我们称为倒易有限环面虽然是不同的集合，但是可以示出实际上，Z0和作为有限组是同构的
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时域函数也就是信号傅立叶变換后时间这一纬度积分后消失就剩jw频率这个变量，就可以做出二维的频谱图啦而有些信号不符合傅立叶变换条件，所以要有个e^σ来衰减原时域信号接下来把时间纬度积分掉就剩w啦，但是别忘啦还有个a它也是变量，而且有一定的范围所以就会出现jw与a，这么一来就必须鼡三维坐标啦来表示频谱图啦这就是所谓的复频域，当a等于0时也就是三维图中的a为0对应的那个面的图像，也就是频域图
例如拉普拉斯，则是对于傅里叶函数成立条件太苛刻而进行的拓展在乘以e^jwt的基础上，直接乘以e^σ保证原来的函数是在t的时域上面是收敛的，也就昰通过积分可以获得一个不是无穷大的函数而这个函数的变量，从原来的w即频域，拓展到了复频域s上面这个s不仅仅可以描述傅里叶嘚频率，更可以可以信号的衰减震荡稳定等关系（自控系统的稳定性分析）
总结来说要学好数学啊这个是积分变换里面知识，数学基础牢固才能往上学
