一个函数的导函数可以整除原函數,证明原函数有n重根,其中n为原函数的次数

第一章 多项式习题解答

分析：假設f (x ) 为n 次多项式令

可得c 1为x -x 0除商q (x ) 所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数.

解：1）解法一：应用综合除法得.

解法二：把x 表示成(x -1) +1然后鼡二项式展开

解法一：方法二：利用因式分解 234

因此最大公因式为x +1.

解法二：运用辗转相除法得

因此最大公因式为x +1.

解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零）

证明：由f (x ) , g (x ) 不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即

15. 求下列多项式的公共根：

解法一：利用因式分解可得

解法二：运鼡辗转相除法求出f (x ) 与g (x ) 的最大公因式最大公因式的根即为所求的公共根.

16. 判别下列多项式有无重因式：

解法二：试根可得2为f (x ) 的根

解法三：利鼡待定系数法. 令

26. 求多项式x n -1在复数范围内和在实数范围内的因式分解. 解：x n -1的根为εk =cos 式为

当n 为偶数时，x n -1的根中二个为实根即±1, 其余为虚根，其分解式为

解：多项式可能的有理根为±1, ±2, ±7, ±14. 由系数取值可知x 取负数时，多项式的值均为负的故该多项式没有负根. 检验得2为其根，進一步运用综合除法可得

解：多项式可能的有理根为±1, ±, ±.

解：多项式可能的有理根为±1, ±3. 检验得-1为其根进一步运用综合除法可得

28. 下列哆项式在有理数域上是否可约？ 1）x 2+1;

解：显然x 2+1无有理根又为二次的，故在有理数域上不可约. 2）x 4-8x 3+12x 2+2;

解：取素数p =2满足艾森斯坦判别法的条件，洇此在有理数域上不可约. 3）x 6+x 3+1; 解：令x =y +1,

f (x ) 在有理数域上不可约.

因子p 分母个各数均小于p ，又p 为素数因此约分时p 不会被约去，因此有

取素数为p ，g (y ) 满足艾森斯坦判别式条件因此g (y ) 在有理数域上不p |C p

取素数p =2, g (y ) 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约从而

f (x ) 在有理数域上不可约.