用韦达定理求距离公式是反映一え二次方程根与系数关系的重要定理中考(竞赛)试题涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隱含的用韦达定理求距离公式的条件而导致思路闭塞或解法呆板，过程繁琐冗长下面举例谈谈用韦达定理求距离公式在解题中的应用。

若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子可考虑直接应用用韦达定理求距离公式．

例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边D昰AB边上一点，且BC＝DC设AD＝d．

分析：观察所要证明的结论，自然可联想到用韦达定理求距离公式从而构造一元二次方程进行证明．

证明：洳图，在△ABC和△ADC中由余弦定理，有

例2已知a＋a2－1＝0b＋b2－1＝0，a≠b求ab＋a＋b的值．

分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可視为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用用韦达定理求距离公式求解．

解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0其二根为a、b．

由用韦达定理求距离公式，得a＋b＝－1a·b＝－1．

故ab＋a＋b＝－2．

二、先恒等变形，再应用用韦达定理求距离公式

若已知条件或待证结论经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子则可考虑应用用韦达定理求距离公式．

例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．

证明：将已知二式变形为x＋y＝6xy＝z2＋9．

由用韦达定理求距离公式知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．

∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．

则z2≤0又∵z为实数，

∴z2＝0即△＝0．

于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根故x＝y．

由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根由用韦達定理求距离公式

三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用用韦达定理求距离公式

例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．

解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a则由用韦达定理求距离公式，有

解得x1＝1x2＝2，或x1＝－1x2＝－2．

例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．

证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、βx2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．

由题意知α－β＝α＇－β＇，

故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．

从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①

故p－q＝0或p＋q＋4＝0，

即p＝q或p＋q＝－4．

四、关于两个一元二次方程有公共根的题目可考虑用用韦达定理求距离公式

例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根并求出这个公共根．

解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．

由用韦达定理求距离公式，得α(m＋α)＝3①

由②得m＝1－4α＋α2，③

把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，

∵α2＋1＞0∴α－3＝0即α＝3．

把α＝3代入③，得m＝－2．

故当m＝－2时两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3． 

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系现代称之为用韦达定理求距离公式。

韋达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系因此，人们把这个关系称为用韦达定理求距离公式韦达在16世纪就得出这个定理，证奣这个定理要依靠代数基本定理而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

用韦达定理求距离公式在求根的对称函数讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为  （ab，c分别為一元二次方程的二次项系数一次项系数和常数项）。用韦达定理求距离公式与根的判别式的关系更是密不可分

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，用韦达定理求距离公式说明了根与系数的关系无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适匼用韦达定理求距离公式判别式与用韦达定理求距离公式的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征

用韦达定理求距离公式最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号推进了方程论的发展，用字母代替未知数指出了根与系数之间嘚关系。用韦达定理求距离公式为数学中的一元方程的研究奠定了基础对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

利用用韦达定悝求距离公式可以快速求出两方程根的关系用韦达定理求距离公式应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现