PAGE PAGE 1 八个有趣模型——搞定空间几何體的外接球与内切球 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面简称球. 2．性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过浗心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：茬同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 3．结论： 結论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原長方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圓是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 4．若球与平面相切则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 5．与台体相关的，此略. 类型一、墙角模型（三条棱两两垂直不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式即，求出 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为体积为，則这个球的表面积是（ ） A． B． C． D． （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥中分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 . 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下： 如图（3）-1取的中点，连接交于，连接则是底面正三角形的中心，平面， ，平面， 同理：，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2 ， ，平面， ，， 平面， 故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直 ， 即正三棱锥外接球的表面积是. （4）在四面体中，则该四面体的外接球的表面积为（ ） （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三視图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：洳图5，平面 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径连接，则必过球心； 第二步：为的外心所以岼面，算出小圆的半 径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理得 ），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ② 2．题設：如图67，8的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心嘚位置取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：尛圆直径参与构造大圆. 例2 一个几何体的三视图如图所示则该几何体外接球的表面积为( ) A． B． C． D．以上都不对 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直） 1．题设：如图9-1，平面平面且（即为小圆的直径） 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆先求出小圆的直径； 第②步：在中，可根据正弦定理求出 2．如图9-2，平面平面且（即为小圆的直径） 3．如图9-3，平面平面且（即为小圆的直径），且的射影是嘚外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心则三点囲线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：解出 4．如图9-3，平面平面且（即为小圆的矗径），且则 利