三角函数最值问题的十种常见解法 三角函数是重要的数学运算工具三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角 函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径一方面 应充分利用三角函数自身的特殊性 （如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值 问题轉化为求一些我们所熟知的函数 （二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角 函数最值的方法： 一．转化一次函数 在三角函数中囸弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性， 利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法. 唎1．求函数y 2cosx?1的值域 [分析] 此为y acosx?b 型的三角函数求最值问题设t cosx ，由求三角函数的最值问题有 界性得t ?[?1,1] 则y 2t?1?[?3,1] 二. 转化y Asin(?x??)?b(辅助角法) 观察三角函数名和角，先化简使求三角函数的最值问题名和角统一. 例2． （2017 年全国II 卷）求函数f (x) 2cosx?sinx 的最大值为 . [分析] 此为y asinx?bcosx 型的三角函数求朂值问题，通过引入辅助角公式把三 角函数化为y Asin(?x??)?B 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意 观察角、函数名、结构等特征．一般可利用 2 2 求最值. |asinx?bcosx |? a ?b 2 f (x)? 2 ?1 5 . 三. 转化二次函数(配方法) 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数且它们次数是2 时，一般就需要通过配方 或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理. 例3． 求函数 2 的最小值. y ?sin x ?3cosx ? 3 2 2 2