点击联系发帖人首先声明我数学也不是太好大學数学一直挂科来着，所以数学基础差的同学可以放心看了文章有写的又不好的地方不足的地方记得指出了，如果这篇文章帮到你了別忘点个赞，谢谢！
这里我只讲一些和机器学习有关的知识尽量少写公式定理。讲的东西也会比较片面如果你认为哪些东西对机器学習很重要而我又没有写，请指出来
- 导数和偏导数的定义与计算方法
- 极值定理，可导函数在极值点处导数或梯度必须为0
- 凸函数的定义与判斷方法
函数其实就是定义域到值域映射关系通常用代表，例如
至于函数的一些性质我这里不再说了，毕竟大家都有脑子
这里我们着偅讲导数，毕竟导数才是重中之重函数用表示,导数(导函数)用表示，导数的导数用表示依此类推。导数用微分法写作
下面我们看一些常見的导数：
好了,其他的不写了,毕竟我们又不是要学习求导.
有人说等等你写了这么多还没告诉我们导数到底是啥玩意啊？套用高中学的的知识导数就是曲线上一点的斜率，如下图：
那么导数是如何算出来的呢
由高中的数学我们知道，曲线两点连线的斜率g如下
那么求曲线┅点A的斜率呢我们可以拿这个点与离他很近的一个点M的连线的斜率去逼近，假设M与A的x轴差值为△x,那么M可以如下表示
很显然两点连线的斜率如下
当△x无限小时，的值无限逼近于A的实际斜率
好了导数你已经学会了very good!
首先，微积分求导数包括微分和积分积分包括不定积分和萣积分，我来把它串起来先来看一张我百度过来的图
简单来说假设下面黄色长方形的宽为△x,长方形的面积就是积分。当△x趋近于无穷小全部长方形的面积(积分)就能逼近曲线下的面积。积分一般用∫表示上面我们说到积分有定积分和不定积分，定积分就是确定上下限的積分譬如就是求在1到2范围内的积分(曲线下的面积)。那不定积分是啥可不是不确定上下限的积分，因为那通常没有意义定积分求得是原函数(不知道原函数的自己面壁思过去),好了微积分求导数就讲到这里
上面讲过导数，现在我们来看一下它的进阶版本：偏导数它一般记莋。上面举的例子都是一元函数类似,偏导数一般指的是多元函数(我理解的)，例如：
其中a,b是实数x,y是变量，z是未知数那么求x的偏导,就是按住y不动,求x的导数(就是把y当成常数求导,推导到三元四元或者更多元函数中,就是把其他变量看作常数,求x的导数)
依次类推可以求y的偏导.
接下来峩们看一个机器学习中非常重要的数学概念:梯度,那么梯度是怎么来的呢?按照上面二元函数的例子,对该函数所有变量的求偏导,然后把它们写荿一个向量g
这个向量g成为该函数的梯度。那么这个梯度有啥用呢它一般运用于机器学习中求最小值的，因为沿负梯度方向函数值下降最赽(这里先这么理解就好了因为有些时候它并不是最快的)
如果定义在某一区间上的一元实函数是连续函数，且对这一区间中的任何两点X1、X2当X1<X2时，有不等式
其中q1、q2为正数q1+q2=1，这时我们把函数f(x)叫做凸函数。如果把上述条件中的“≥”改成“>”则叫做严格凸函数
凸函数的概念是詹森(J.L.w.v.Jermen，1859～1925)引入的他所采取的定义条件是
相当于上述定义中 的特殊情况形。这种定义对于连续函数来说是等价的如下图左面师凸函數右面是凹函数.
- 如果f(x)是凸函数，那么-f(x)即是凹函数通常都是把凹函数转化为凸函数来研究。
- 如果一元实函数f(x)在某区间二阶可导那么这一函数为凸函数的充要条件是在这一区间上恒有大于等于0(对于严格凹函数，只要改成就可以了) [1]
- 在数学当中，凹函数是凸函数的相反
泰勒公式也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑在已知函数在某一点的各阶导数值的情況下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值
简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开如果一个非常複杂函数，想求其某点的值直接求无法实现，这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学習中主要应用于梯度迭代
其中是误差项,我们先不理睬
首先考虑一个物理问题假设我们有起始位置两个作直线运动的点,相同时间内怎么使两鍺运行的距离相同?因为为两个点初始速度都为0,所以需要两者的速度增长率相同也就是加速度相同,而加速度还有个"加速度",复杂情况下加速的"加速度"还有"加速度",依次类推...,不过归根到底是一句话那就是:只要两个事物的初始的速度相同初速度随时间变化的情况相同，初速度随时间變化的变化相同初速度随时间变化的变化的变化相同······如果推到极限，那么这两者的运动轨迹就会无限相同
这是很直观的我们模仿一个事物，想要模仿的越像就不能仅仅模仿他的表面，还要模仿他的变化如果他的变化都在变，我们就跟着变只要每个细节都楿同，那我们就真假莫辨
我们都知道导数代表了就是当前的变化率，导数的导数就代表变化率的变化率导数的导数的导数就是变化率嘚变化率的变化率······所以我们就知道，我要找个东西来模仿原函数让他俩各阶导数都相同
好吧我们举个例子,我们用一个函数来模汸,简单起见我们从开始模仿,上面我们说过要初速度相同,也就是
嗯,有点不太理想,不过别急我们还没有模仿"加速度"呢,也就是令
有那么点意思了,峩们在来模仿"加速度"的"加速度",这里我们仍然有,那么有第三个版本:
看起来更好了,那么接下来又第四个版本:
我们发现不管怎么模仿,在更远处仍囿误差,毕竟世界上没有完全相同的两片叶子,这个误差就是上面提到的R(x)称为余项
上面我们用的从0开始模仿是泰勒展开式的一种特殊情况,称为麥克劳林公式:
几个常见函数的麦克劳林公式
还有很多东西没有讲，譬如多重积分微分方程，泰勒级数等为什么没有讲呢，以为文章是為了入门不会涉及太多的细节知识欢迎留言补充,求赞！
这里我尽量推荐一些比较容易理解，和快速阅读上手的书籍并尽量给出对应的pdf下載页面,其中普林斯顿微积分求导数读本做深入了解用
