Born to win 1994年全国硕士研究生入学统一考试數学二试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 若在上连续,则＿＿＿＿＿＿. (2) 设函数由参数方程所确定,则＿＿＿＿＿＿. (3) ＿＿＿＿＿＿. (4) ＿＿＿＿＿＿. (5) 微分方程的通解为＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一項符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设,则 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 设,则在点处的 ( ) (A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在 (C) 左导数不存在,但右导數存在 (D) 左、右导数都不存在 (3) 设是满足微分方程的解,且,则在 计算. (4) 计算. (5) 如图,设曲线方程为,梯形的面积为,曲边梯形的面积为,点的坐标为,,证明：. 四、(本题满分9分) 设当时,方程有且仅有一个解,求的取值范围. 五、(本题满分9分) 设, (1) 求函数的增减区间及极值； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求其漸近线； (4) 作出其图形. 六、(本题满分9分) 求微分方程的通解,其中常数. 七、(本题满分9分) 设在上连续且递减,证明：当时,. 八、(本题满分9分) 求曲线与轴圍成的封闭图形绕直线旋转所得的旋转体体积. 1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】 【解析】在时是初等函数,因而连续；要使在上连续,在处也连续,这样必有. 由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,时,；. , 从而有. (2)【答案】 【解析】 , . 【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 . (3)【答案】 【解析】原式. 【相关知識点】对积分上限的函数的求导公式： 若,,均一阶可导,则 . (4)【答案】,其中为任意常数 【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是先进叺积分号, 原式 其中为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出結果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】分部积分公式：假定与均具有连续的导函数,则 或者 (5)【答案】,为任意常数 【解析】这是可分离变量的方程. 分离变量得,两项分别对和对积分得到 化简有 ,即 ,为任意常数. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A) 【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得 , 由假设,应该有,故由此,故应选(A). 方法2：用洛必达法则.为“”型的极限未定式,又分子分母在點处导数都存在,所以, (若,则原式极限为,必有) . 故应选(A). (2)【答案】(B) 【解析】方法1：因左可导,. 又不右连续在的右导数不存在, 故选(B). 方法2：,而 , 所以,在点不連续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证. 故在点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B). (3)【答案】(C) 【解析】由于满足微分