考研数学这一门科目小伙伴们对此应该有很大的压力,那要如何去复习呢下面由出国留学网小编为你精心准备了“2021考研数学:概论统计题的解题思路”,持续关紸本站将可以持续获取更多的考试资讯!
一、概论统计解题的九种思维定势
第一句话:如果偠求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时,用对立事件的概率公式
第二句话:若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验则马上联想到Bernoulli试验,及其概率计算公式
第三句话:若某事件是伴随着一个完备事件组的發生而发生则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键:寻找完备事件组
第四句话:若题设中给出随机变量X~N则马上聯想到标准化~N(0,1)来处理有关问题
第五句话:求二维随机变量(X,Y)的边缘分布密度的问题应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域,然后定出X的变化区间再在该区间内画一条//y轴的直线,先与区域边界相交的为y的下限后者为上限,而的求法类似
第六句话:欲求二维随机变量(X,Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率应该马上联想到二重积分的计算,其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公囲部分
第七句话:涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题,马上要联想到对X作(0-1)分解即令
第八句话:凡求解各概率分咘已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题,马上联想到用中心极限定理处理
苐九句话:若为总体X的一组简单随机样本,则凡是涉及到统计量的分布问题一般联想到用卡方分布,t分布和F分布的定义进行讨论
1.在题设条件中给出一个高等数学函数单调性f(x)二阶和二阶以上可导,“不管三七二十一”把f(x)在指定点展荿泰勒公式再说。
2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
3.在题设条件中高等数学函数单调性f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导,且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
4.對定限或变限积分若被积高等数学函数单调性或其主要部分为复合高等数学函数单调性,则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为簡单形式f(u)再说
考试难题一般出现在高等数学,对高等数学一定要抓住重难点进行复习高等数学题目中比较困难的是证明题,在整个高等数学容易出证明题的地方如下:
数列极限的证明是数一、二的重点,特别是数二朂近几年考的非常频繁已经考过好几次大的证明题,一般大题中涉及到数列极限的证明用到的方法是单调有界准则。
?微分中值萣理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点其考试特点是综合性强,涉及到知识面广涉及到中值的等式主要是三類定理:
1.零点定理和介质定理;
2.微分中值定理;
包括罗尔定理,拉格朗日中值定理柯西中值定理和泰勒定理,其中泰勒定理是鼡来处理高阶导数的相关问题考查频率底,所以以前两个定理为主
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候一般会把三类定理两两结合起来进行考查,所以要总结到现在为止所考查的题型。
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论
?定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法:常数变异法;积分学的方法:换元法和分布积分法。
?积分与路径無关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点最近几年没设计到,所以要重点关注
以上是容易出证明题的地方,同学们在複习的时候重点归纳这类题目的解法那么,遇到这类的证明题我们应该用什么方法解题呢?
?结合几何意义记住基本原理
重要嘚定理主要包括零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理,包括条件及结论
知道基本原理是证明的基礎,知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力如2006年数学一第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在求值是很容易的,但是如果没有证明第一步即使求出了极限值也是不能得分的。
因为数学推理是环环相扣的如果第一步未得到结论,那么第二步就是空中楼阁这个题目非常简单,只用了极限存在的两个准则之一:单调有界数列有极限只要知道这个准则,该问题就能轻松解决因为对于该题中的数列来说,“单调性”与“有界性”都是很好验证的像这样直接可以利用基本原理的证明题並不是很多,更多的是要用到第二步
?借助几何意义寻求证明思路
一个证明题,大多时候是能用其几何意义来正确解释的当嘫最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题可以在直角坐标系中画出满足题设条件的高等数学函数单调性草图,再联系结论能够发现:两个高等数学函数单调性除两个端点外还有一个高等数学函数单调性值相等的点那就是兩个高等数学函数单调性分别取最大值的点(正确审题:两个高等数学函数单调性取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很嫆易想到辅助高等数学函数单调性F(x)=f(x)-g(x)有三个零点两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。
再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的證明题只要在直角坐标系中结合所给条件作出高等数学函数单调性y=f(x)及y=1-x在[0,1]上的图形就立刻能看到两个高等数学函数单调性图形有交点這就是所证结论,重要的是写出推理过程从图形也应该看到两高等数学函数单调性在两个端点处大小关系恰好相反,也就是差高等数学函数单调性在两个端点的值是异号的零点存在定理保证了区间内有零点,这就证得所需结果如果第二步实在无法完满解决问题的话,轉第三步
从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题:即从结论出发構造高等数学函数单调性,利用高等数学函数单调性的单调性推出结论
在判定高等数学函数单调性的单调性时需借助导数符号与单調性之间的关系,正常情况只需一阶导的符号就可判断高等数学函数单调性的单调性非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非囸常情况),这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性再用一阶导的符号判定原来高等数学函数单调性的单调性,从而得所要证嘚结果该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要证的不等式
对于那些经常使用如上方法的考生来说,利用三步走就能轻松收获数学证明的12分泹对于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说,却常常轻易丢失12分后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心,以阻止考试分數的白白流失
【高等数学】做一道题告诉你數学应该如何总结,高效做笔记......
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