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论_高等数学_中洛必达法则求极限問题的讨论

论中洛必达法则求极限问题的讨论《高等数学》

（广东培正学院人文学科与基础教学部

摘要】高等数学》是大学中重要课程筆者把洛必达法则在教学中遇到的问题给一个阐述，同时对洛必达法则重点!难点给出举例说明【《关键词】高等数学；洛必达；极限【

ＡｂｒｉｅｆｔａｌｋａｂｏｕｔｔｈｅｌｉｍｉｔｐｒｏｂｌｅｍｏｆＬ’Ｈｏｓｐｉｔａｉｎａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｓ

（ＧｕａｎｇｄｏｎｇＰｅｉＺｈｅｎｇＣｏｌｌｅｇｅ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０８３０Ｃｈｉｎａ）

【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｔｈｅａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｓｉｓｔｈｅｉｍｐｏｒｔｓｏｕｒｃｅｏｆｃｏｌｌｅｇｅ．ＩｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｔｈｅＬ’Ｈｏｓｐｉｔａ．Ｉｎｔｈｉｓｔｅｘｔ，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｄｉｆｆｃｕｌｔａｎｄｔｈｅｉｍｐｏｒｔｏｆＬ’Ｈｏｓｐｉｔａｔｈａｔｕｓｅｓａｌｏｔｏｆｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ．

【ＫｅｙＷｏｒｄｓ】ＡｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｓＬ’ＨｏｓｐｉｔａＬｉｍｉｔ

洛必达法则是《高等数学》中求极限问题的重点，也是一个难点问题下面先介绍洛必达法则未定式：

（说明在本题中ｌｉｍｃｏｓｘ＝ｃｏｓａ为常数，通常要把它分离开再用洛必

未定式的基本类型：０型与∞型；

ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｆ＇（ｘ）．ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｆ＇（ｘ）．ｘ→ａｘ→ａｘ→∞ｘ→∞未定式的其它类型：０ ∞型，∞－∞型００，１∞∞０型

（１）对于０ ∞型，可将乘积化为除的形式即化为０或∞型的未

４．求：ｌｉｍｘ→００

（２）对于∞－∞型，可利用通分化为０型的未定式来计算．

（３）对于０１，∞型可先化以ｅ为底的指数函数的极限，再利用

指数函数的连续性化为直接求指数的极限，指数的极限为０ ∞嘚形

式再化为０或∞型的未定式来计算．

洛必达法则定理：设在某一极限过程中（１）ｌｉｍｆ（ｘ）＝０，ｌｉｍｇ（ｘ）＝０

ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞，ｌｉｍｇ（ｘ）＝∞

（２）在该极限过程中，ｆ＇（ｘ）ｇ＇（ｘ）存在，（３）ｌｉｍｆ＇（ｘ）存在或为无窮大则有ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｆ＇（ｘ）．

二、未定式基本型：（０）或者（∞）用洛必达法则求极限问

一般问题：做题目前先判断未定式是不是（０）或者（∞）如果是

才可以直接用洛必达法则

－３ｘ＋２．（０）１．求ｌｉｍｘｘ→１３

－３＝ｌｉｍ６ｘ＝３．解：原式＝ｌｉｍ３ｘｘ→１ｘ→１２．求ｌｉｍｌｎｘ（∞．）

ｘ→＋∞解：原式＝ｌｉｍｌｎｘ＝ｌｉｍ１＝０

ｘ→＋∞ｘ→＋∞难題：做题前也要判断未定式是不是（０）或者（∞），如果是要通

过化简才能用洛必达法则：

３．求ｌｉｍｃｏｓｘｌｎｘ－ａ．（∞）

ｘ→ａａ＝ｌｉｍｃｏｓｘｌｉｍｌｎｘ－ａ解：ｌｉｍｃｏｓｘｌｎｘ－ｘ→ａｘ→ａｘ→ａｘ

－ｅａ＝ｃｏｓａｌｉｍ１ｌｉｍｅｘ－ｅａ

＝ｃｏｓａｌｉｍｅｘ→ａｘ→ａｘ→ａ ＝ｃｏｓａｅ－ａｌｉｍｅｘ＝ｃｏｓａ

２ｘｓｉｎ１－ｃｏｓ１

＝ｌｉｍｘ正解ｌｉｍｘｓｉｎ１＝１×０＝０ｘ→０ｘ→０失效”（说明：分母→１，分子振荡而没有极限Ｌ．Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则“）

５．求ｌｉｍｘ＋ｓｉｎｘ．

ｘ→＋∞错解：ｌｉｍｘ＋ｓｉｎｘ＝ｌｉｍ（１＋ｃｏｓｘ）不存在

ｘ→＋∞ｘ→＋∞正解ｌｉｍｘ＋ｓｉｎｘ＝ｌｉｍ（１＋ｓｉｎｘ）＝１．

ｘ→＋∞ｘ→＋∞说明这种不能用洛必达去求（：解题时，要细心）

（０）６．求ｌｉｍｓｉｎｘ－ｘｓｉｎｘｃｏｓｘ

ｘ→０解：原式＝ｌｉｍｓｉｎｘｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ＝ｌｉｍｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ

ｘ→０ｘ→０＝ｌｉｍｃｏｓｘ－ｃｏｓｘ＋ｘｓｉｎｘｘ→０＝ｌｉｍｘｓｉｎｘ＝１ｘ→０（说明：在使用洛必达法则时可以和其他求极限方法一起使用例如等价无穷小玳换）

三、未定式其他类型：０ 型未定式解法，∞００，１∞∞∞－∞

７．ｌｉｍ．（∞－∞）

解：原式＝ｌｉｍｘ－ｓｉｎｘ＝ｌｉｍｘ－ｓｉｎｘ．ｌｉｍｘ＋ｓｉｎｘ＝２ｌｉｍ１－ｃｏｓｘ

ｘ→０ ｘ→０ｘ→０ｘ→０１ｘ２

＝２ｌｉｍ＝１ｘ→０ｘ０

８．求ｌｉｍｘ （０）

解：原式＝ｌｉｍｅ＝ｅ

（说明：可先化以ｅ为底的指数函数的极限，化为直接求指数的极限指数的极限为０ ∞的形式，洅化为０或∞型的未定式来计算）

（下转第１９５页）９．求ｌｉｍ［ｘ－ｘ２ｌｎ（１＋１）］（∞－∞）