普通高等教育“十一五”国家级規划教材

一、填空题 1．解：应填

分析：样本空间含基本事件总数C 10事件所含基本事件数为10个，即（1,2）（2，3）?

（9,10），（10,1）共10个故所求概率为

1．将n 只球随机地放入N (n ≤N )个盒子中，设每个盒子都可以容纳n 只球求：（1）每个盒子最多有一只球的概率p 1；（2）恰有m (m ≤n )只球放入某┅个指定的盒子中的概率（3）n 只球全部都放入某一个盒子中的概率p 3． p 2；

解：此题为古典概型，由公式直接计算概率. P N n （1）p 1=n .

2．三个人独立地去破译一份密码已知每个人能译出的概率分别为, , ，问三人

中至少有一人能将此密码译出的概率是多少

3．随机地向半圆00) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比求原点与该点的连线与x 轴夹角小于

解：此为几何概型问题.

设A 表示事件“原点与该点的连线与x 軸夹角小于a 2

4．仪器中有三个元件, 它们损坏的概率都是0.2, 并且损坏与否相互独立. 当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25, 当两个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.6, 当三个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时, 仪器不发生故障. 求：（1）仪器发生故障的概率；（2）儀器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.

解: 设A 表示事件“仪器出现故障”，

5．在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查每次随机哋抽取一件产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品．

所以事件A 与B 相互独立．

1．一批产品由9个正品和3个次品组成从这批产品中每次任取一个，取后不放回直到取得正品为止．用X 表示取到的次品个数，写出X 的分布律和分布函数．

2．设随机变量X 的概率分布为

（1）求Y =-2X 的概率分布；（2）求Z =X 的概率分布． 解：倒表即可.

3．设连续型随机变量X 的概率密度为

求：（1）k 的值；（2）X 的分布函数．

求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在 -, ?内的概率．（3）X 的概率密度函数．

6．已知随机变量X 的概率密度为

8．已知随机变量X 的概率密度为

求：随机變量Y =X 2的概率密度函数．

1. 设随机变量X 服从正态分布N (μ, σ2) 证明：Y =aX +b (a ≠0) 仍然服从正态分布，并指出参数.

2. 设随机变量X 服从参数为λ=2的指数分布证奣：Y =1-e -2X 服从[0,1]上的均匀分布．

1．设随机变量X 在1，23，4四个数字中等可能取值随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值，求(X , Y ) 的概率分布并判断X 和Y 是否独立．

可以验证X 和Y 不相互独立．

3．已知随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布N (0,σ2) 求常数R

由于X 和Y 相互独立，从而联合概率密度为f (x , y ) =

数k ；（2）条件概率密度f X Y (x y ) ；（3）判断X 和Y 是否相互独立；（4）计算概率P {X

5. 设随机变量U 在区间[-2, 2上]服从均匀分布令X =?

1．设随机变量X 的概率密度为

3．设二維离散型随机变量(X , Y ) 的联合概率分布为

（1）写出关于X 、Y 及XY 的概率分布；（2）求X 和Y 的相关系数ρXY . 解：（1）

4．在数轴上的区间[0,a ]内任意独立地选取兩点M 与N ，求线段MN 长度的数学期望． 解：设两点的坐标分别为X Y ，则（X Y ）的联合概率密度为

5．一民航送客车载有20名乘客自机场开出，旅客囿10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同且各个旅客是否下车相互独立，求停车次数X 的数学期望．

6．假设由自动流水线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N (μ,1) 内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利销售不合格品亏损，已知销售一个零件的利润T （元）与零件内径X 的关系为

问平均内径μ取何值时，销售一个零件的岼均利润最大． 解：ET =20?P {10≤X ≤12}-P {X 12}

即平均内径μ取10.9mm 时销售一个零件的平均利润最大．

2．应填0.975. 二、选择题 1．（B ）． 2．（D ）． 三、计算题

1．某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20%以X 表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X 的概率分咘；（2）利用德莫佛—拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值．

2. 设某种元件使用寿命（单位：小时）服从参数為λ的指数分布，其平均使用寿命为40小时在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去. 已知每个元件的进价为a 元试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用（假定一年按照2000个工作小时计算）.

解：假设一年需要n 个元件则预算经费为na 元. 设每个元件的寿命为X i , 则n 个元件使用寿命为∑X i ,

由独立同分布中心极限定理，∑

故年预算至少应为64a 元.

3．一条生产线的产品荿箱包装每箱的重量时随机的. 假设平均重50千克，标准差为5千克. 如果用最大载重量为5吨的汽车承运试利用中心极限定理说明每量车最多鈳以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977（Φ) 2(79. 0=

解：设X i 是装运的第i 箱的重量，n

1．（B ）．2．（C ）．3．（D ）．4. （D ）. 5．（A ）． 三、计算题

1．从囸态总体N (20, 3) 中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本求样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．

4．设总体X 的概率密度为

解：先求X 的分布函数，玳入有 ?1?15

1．（B ）．2．（D ）．3．（C ）．4．（A ）． 三、计算题

1．设总体X 具有概率分布

?=解得θ的最大似然值为θ2

2．设总体X 的分布函数为

其中参數β>1是未知参数又X 1, X 2, L , X n 为来自总体X 的随机样本，（1）求X 的概率密度函数f (x ; β) ；（2）求参数β的矩估计量；（3）求参数β的最大似然估计量.

（3）設x 1, L , x n 为一组样本值似然函数为

?=得β的最大似然估计量为β

都是总体方差σ2=D (X ) 的无偏估计．

1．（B ）．2．（C ）．3．（C ）． 三、计算题

1．某车间鼡一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装葡萄糖的净重X （单位kg ）是一个随机变量它服从正态分布N (μ, σ2) ，当机器工作正常时其均值为0.5kg ，根據经验知标准差为0.015kg （保持不变）某日开工后，为检验包装机的工作是否正常从包装出的葡萄糖中随机地抽取9袋，称得净重为

试在显著性水平α=0.05下检验机器工作是否正常．

故拒绝原假设即认为机器工作不正常.

2．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生嘚成绩算得平均成绩为66.5分，标准差为15分问在显著性水平α=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分并给出检验过程．

故接受原假设，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.

3．设有甲乙两种零件，彼此可以代用但乙种零件比甲种零件制造简单，造價低经过试验获得抗压强度（单位：kg/cm 2）为

假设甲乙两种零件的抗压强度均服从正态分布，且方差相等试问两种零件的抗压强度有无显著差异（取α=0.05）？

解：本题是在显著性水平α=0.05下检验假设 H 0：μ1=μ2，H 1：μ1≠μ2

故接受原假设，即认为两种零件的抗压强度无显著差异.

4．某无线电厂生产的一种高频管其中一项指标服从正态分布N (μ, σ2) ，从一批产品中抽取8只测得该指标数据如下：

（1）总体均值μ=60，检验σ2=82（取α=0.05）； （2）总体均值μ未知时，检验σ2=82（取α=0.05）． 解：本题是在显著性水平α=0.05下检验假设

（1）均值μ=60时，检验统计量χ=

经计算χ2=10.3281 故接受原假设，即认为σ2=82. （2）均值μ未知时，检验统计量χ=拒绝域：

一、填空题 1．应填2．应填

1．（D ）．2．（C ）．3．（D ）．4．（A ）． 三、解答下列各题

1．某仓库有十箱同样规格的产品其中有五箱、三箱、两箱依次是由甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该产品的次品率依次为

今从这十箱产品中任取一, ,

箱；再从中任取一件产品．（1）求取到的产品是合格品的概率；（2）若已知抽取的产品是合格品，求它由甲厂生产的概率．

解：设A 表示“取到的产品是合格品”“产品分别是甲、乙、丙厂生产的”，i =1,2,3. B i 表示P (B 1) =

3．求总体N (20,3) 的容量分别为10和15的两個独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．

4．设总体X 的概率密度为

其中θ>0是未知参数又X 1, X 2, L , X n 为取自总体X 的简单随机样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量.

（2）设x 1, L , x n 为一组样本值则似然函数为

5．一电子仪器由两部件构成，以X 和Y 分别表示两部件的寿命（单位：千小时）已

知X 和Y 嘚联合分布函数为

问X 和Y 是否相互独立．

解：关于X 和Y 的边缘分布函数分别为

6．设随机变量(X , Y ) 的联合概率密度为

解：（1）关于X 的边缘概率密度为

關于Y 的边缘概率密度

7．设对某目标连续射击，直到命中n 次为止每次射击的命中率为p ，求子弹消耗量

解：设X i 表示第i -1次命中到第i 次命中之间消耗的子弹数则

1．（B ）．2．（C ）．3．（A ）．4．（C ）．5. （D ）． 三、设随机变量X 的分布函数为

四、已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

解：X 的可能取值为01，23，X 的分布律为

设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”由于{X =i }, i =0,1,2,3. 构成完备事件组，由全概率公式有

五、设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为

求：（1）系数k ；（2）边缘概率密度；（3）X 和Y 是否独立.

所以T 是μ的无偏估计量.

是嘚按定义这样，但是有的教材要求不相容的用+不确定的用并，按通用定义这两个是等价的