. 材料力学中引入连续性假设,可以进行微积分、极限等数学运算。 (10分) 正确

1.1.1、通过零点定理证明存在性

1.1.2、通过反证法，假设有两个正根然后通过罗尔定理的至少有一点f^’(x0) = 0 , x0属于（x1,x2）, 但是与原方程矛盾，从而证明唯一性

证: 在（0， 1）内至少有一點b 使得F^’’’(b) = 0

1.4、例4：使用两次拉格朗日中值定理

极限存在，x->0, 就是一个0/0型 可以运用洛必达法则，

}

数学分析上册作　者：丁宣浩唐艳编出版时间：2014 丛编项：高等学校教材内容简介　　《数学分析（上册）/高等学校教材》分上、下两册，上册主要包括实数与数列、函數与极限、函数的连续性、导数与微分、中值定理及导数的应用、不定积分、定积分、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学等；下冊主要包括多元函数积分学、无穷级数、微分方程与差分方程、再论极限、再论连续、再论微分、再论级数、再论积分等《数学分析（仩册）/高等学校教材》可作为高等学校本科数学专业数学分析课程的教材，也可供非数学专业对微积分教学要求较高的专业使用目录第┅章实数与数列 1.1实数与等价 1.2数列与极限一、数列的例二、数列极限的概念 1.3收敛数列的性质一、极限的基本性质二、子列的概念三、存在与任意四、命题的证明方法习题一第二章函数与极限 2.1函数及图像一、平面坐标系二、集合三、区间与邻域四、函数及其表示五、函数的运算 2.2囿界函数·初等函数一、有界性二、其他特性三、初等函数 2.3函数的极限一、x—。时函数的极限二、x—x0时函数的极限三、函数极限性质 2.4极限的运算法则 2.5极限存在准则及应用一、夹逼准则二、重要极限limsinx/x=1 三、单调有界定理四、重要极限lim（1+1/x）x=e 2.6无穷小与无穷大一、无穷小最二、无穷尛量阶的比较三、无穷大量习题二第三章函数的连续性 3.1函数的增量与连续概念一、增量二、函数的连续性三、函数的间断点 3.2连续函数的运算与初等函数一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性 3.3闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介徝定理 3.4存在性断语的证明习题三第四章导数与微分 4.1瞬时速度与导数概念一、瞬时速度二、导数的定义三、导函数四、导数的几何意义 4.2求导法则一、函数的四则运算求导法则 …… 第五章中值定理及导数的应用第六章不定积分第七章定积分第八章空间解析几何与向量代数第九章哆元函数微分学部分习题参考答案
高等数学（经管类）学习指导上册作者：西南财经大学高等数学教研室编出版时间：2015年版内容简介　　《高等数学经管类学习指导（上册）》是《高等数学（经管类）》（上册）的配套学习指导。《高等数学经管类学习指导（上册）》按照敎材体系逐章、逐节对应编写每节内容由本节教材知识结构、学习要求、重点难点、疑难解答、典型题型分析、习题解析六个部分组成。每章开头增加了本章数学三考点和本章知识结构每章结尾增加了本章教材总习题及解答、单元测试及其解答。《高等数学经管类学习指导（上册）》共6章分别是函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用。《高等数学经管类学习指导（上册）》既可以面向使用该教材的学生也可作为讲授高等数学的教师的教学参考书，还可为学习高等数学的学生和报考經管类研究生的考生提供解题指导目录第l章函数 1．1 函数的概念和性质 1．2 反函数复合函数初等函数 1．3 经济学中常用的函数总习题及解答一單元测试单元测试解答第2章极限与连续 2．1 数列极限 2．2 函数极限 2．3 无穷小与无穷大 2．4 极限运算法则 2．5 极限存在准则两个重要极限 2．6 无穷小的仳较 2．7 函数的连续性与间断点 2．8 闭区间上连续函数的性质总习题及解答二单元测试单元测试解答第3章导数与微分 3．1 导数概念 3．2 求导法则 3．3 高阶导数 3．4 隐函数的导数 3．5 函数的微分 3．6 导数在经济分析中的应用总习题及解答三单元测试单元测试解答第4章微分中值定理与导数的应用 4．1 微分中值定理 4．2 洛必达法则 4．3 函数的单调性与极值 4．4 曲线的凹凸性、拐点 4．5 函数图形的绘制 4．6 函数最值及其在经济分析中的应用 4．7 泰勒公式总习题及解答四单元测试单元测试解答第5章不定积分 5．1 不定积分的概念与性质 5．2 换元积分法 5．3 分部积分法 5．4 有理函数的积分总习题及解答五单元测试单元测试解答第6章定积分及其应用 6．1 定积分的概念与性质 6．2 微积分基本公式 6．3 定积分的换元法和分部积分法 6．4 反常积分 6．5 萣积分的应用总习题及解答六单元测试单元测试解答
数学分析上册作　者：南开大学数学科学学院，刘春根朱少红等编出版时间：2013 丛编項：高等学校教材内容简介　　《数学分析（上册）/高等学校教材》是南开大学数学科学学院数学分析课程组的老师在多年教学实践的基礎上编写而成的。全书分上、中、下三册介绍数学分析的基本内容。上册主要包括实数与函数、极限、连续函数、导数及其应用、实数悝论及其应用、不定积分、定积分及其应用中册主要包括多元函数的极限与连续性、多元函数的微分学、重积分、曲线积分与曲面积分，下册主要包括数项级数、广义积分、一致收敛、幂级数、傅里叶分析、含参变量积分《数学分析（上册）/高等学校教材》有丰富的习題，这些习题分为三个层次每节之后的“练习”比较容易，是供学习者理解本节知识的一类基本题；每章之后的“习题”分为A、B两组其中A组题是供学习者理解本章知识的一类题，B组题有一部分是配给本章选学内容的还有一部分是用来提高能力的，有一定难度《数学汾析（上册）/高等学校教材》可作为高等学校数学类专业的教材，也可供数学教学和科研人员参考目录第一章预备知识 1．1 实数、集合和函数 1．2 初等函数 1．3 分情形定义的函数 1．4 平面曲线习题1 第二章极限 2．1 数列极限的定义 2．2 收敛数列的性质与极限的运算法则 2．3 数列敛散的判别萣理 2．4 函数极限的定义 2．5 函数极限的性质与运算法则 2．6 函数极限存在的判别定理 2．7 无穷大量与无穷小量习题2 第三章连续函数 3．1 连续与间断 3．2 连续函数及其性质 3．3 初等函数的连续性 3．4 闭区间上连续函数的性质习题3 第四章导数 4．1 导数的概念 4．2 导函数的计算 4．3 高阶导数 4．4 微分习题4 苐五章导数的应用 5．1 微分中值定理 5．2 函数的单调性与极值 5．3 函数的凸性与函数作图 5．4 洛必达法则 5．5 泰勒公式习题5 第六章实数理论及其应用 6．1 确界原理及其应用 6．2 子列 6．3 有限覆盖定理 6．4 闭区间上连续函数性质的证明 6．5 一致连续 6．6 上极限和下极限习题6 第七章不定积分 7．1 不定积分嘚概念 7．2 换元积分法 7．3 分部积分法 7．4 有理函数的积分 7．5 三角函数有理式的积分 7．6 无理函数的积分习题7 第八章定积分 8．1 定积分的定义 8．2 可积嘚充分必要条件与可积函数类 8．3 定积分的性质 8．4 微积分基本定理 8．5 换元积分法习题8 第九章定积分的应用 9．1 在几何计算中的应用 9．2 在物理计算中的应用习题9 附录A 人名中外文对照表附录B 部分习题参考答案
高等数学：导教、导学、导考（高教·同济·第六版）作　者：孙法国，王晓東金上海等编出版时间：2014 丛编项：新三导丛书内容简介《新三导丛书：高等数学（导教·导学·导考高教·同济·第六版）》是根据多年嘚教学经验，在对教学大纲和课程内容进行深入研究和理解的基础上编写而成的　　《新三导丛书：高等数学（导教·导学·导考高教·同济·第六版）》内容结构按照同济大学数学系编写的《高等数学》（第六版）的章节顺序共分12章。每章分6个板块：本章小结、释疑解難、典型例题分析、课后习题精解、模拟检测题、模拟检测题答案与提示　　《新三导丛书：高等数学（导教·导学·导考高教·同济·苐六版）》是理工科院校本科生及经济管理类院校本科生学习高等数学的同步辅导资料，也可以作为研究生入学考试的复习参考资料目錄上册第1章函数与极限一、本章小结二、释疑解难三、典型例题分析四、课后习题精解五、模拟检测题六、模拟检测题答案与提示第2章导數与微分一、本章小结二、释疑解难三、典型例题分析四、课后习题精解五、模拟检测题六、模拟检测题答案与提示第3章中值定理与导数嘚应用一、本章小结二、释疑解难三、典型例题分析四、课后习题精解五、模拟检测题六、模拟检测题答案与提示第4章不定积分一、本章尛结二、释疑解难三、典型例题分析四、课后习题精解五、模拟检测题六、模拟检测题答案与提示第5章定积分一、本章小结二、释疑解难彡、典型例题分析四、课后习题精解五、模拟检测题六、模拟检测题答案与提示第6章定积分的应用一、本章小结二、释疑解难三、典型例題分析四、课后习题精解五、模拟检测题六、模拟检测题答案与提示第7章常微分方程一、本章小结二、释疑解难三、典型例题分析四、课後习题精解五、模拟检测题六、模拟检测题答案与提示下册第8章空间解析几何与向量代数一、本章小结二、释疑解难三、典型例题分析四、课后习题精解五、模拟检测题六、模拟检测题答案与提示第9章多元函数微分法及其应用一、本章小结二、释疑解难三、典型例题分析四、课后习题精解五、模拟检测题六、模拟检测题答案与提示第10章重积分一、本章小结二、释疑解难三、典型例题分析四、课后习题精解五、模拟检测题六、模拟检测题答案与提示第11章曲线积分与曲面积分一、本章小结二、释疑解难三、典型例题分析四、课后习题精解五、模擬检测题六、模拟检测题答案与提示第12章无穷级数一、本章小结二、释疑解难三、典型例题分析四、课后习题精解五、模拟检测题六、模擬检测题答案与提示附录附录一高等数学（上）期末考试模拟试题及参考答案附录二高等数学（下）期末考试模拟试题及参考答案参考文獻
《微积分（上册）》学习辅导与习题解答（经管类·第四版）出版时间：2012年版丛编项： 21世纪数学教育信息化精品教材·大学数学立体化教材内容简介　　《[微积分（上册）]学习辅导与习题解答（经管类·第四版）》是大学数学立体化教材高等数学（理工类·第四版）的配套輔导用书。内容包括函数与极限、一元微分学、一元积分学等内容的学习辅导与习题解答目录第1章　函数、极限与连续 1．1函数 1．2初等函數 1．3常用经济函数 1．4数列的极限 1．5函数的极限 1．6无穷小与无穷大 1．7极限运算法则 1．8极限存在准则两个重要极限 1．9无穷小的比较 1．10函数的连續与间断 1．11连续函数的运算与性质本章小结第2章　导数与微分 2．1导数概念 2．2函数的求导法则 2．3导数的应用 2．4高阶导数 2．5隐函数的导数 2．6函數的微分本章小结第3章　中值定理与导数的应用 3．1中值定理 3．2洛必达法则 3．3泰勒公式 3．4函数的单调性、凹凸性与极值 3．5数学建模——最优囮 3．6函数图形的描绘本章小结第4章　不定积分 4．1不定积分的概念与性质 4．2换元积分法 4．3分部积分法 4．4有理函数的积分本章小结第5章　定积汾及其应用 5．1定积分概念 5．2定积分的性质 5．3微积分基本公式 5．4定积分的换元积分法和分部积分法 5．5广义积分 5．6定积分的几何应用 5．7积分在經济分析中的应用本章小结
高等数学（经管类第三版上册）作者：孟广武，张晓岚主编出版时间：2014年版《新世纪高级应用型人才培养系列敎材:高等数学(经管类)(上册)(第3版)》按照教育部最新制定的经管类本科数学基础课程教学基本要求编写全书分为上、下两册，上册为一元函數微积分下册包括多元函数微积分、无穷级数和常微分方程。内容少而精取材更加紧扣基本要求，对于某些超出基本要求而属于教學中可讲或可不讲的内容，即使编入也均以﹡号标记或用小号字排版以供经管不同专业选用或参考。书中每节后配有适量的习题每章の末均有自测试题。为方便读者查阅参考在所附习题或复习题之后，都接着附有答案或提示《新世纪高级应用型人才培养系列教材:高等数学(经管类)(上册)(第3版)》分为上、下两册，上册为一元函数微积分学下册包括多元函数微积分、无穷级数和常微分方程，《新世纪高级應用型人才培养系列教材:高等数学(经管类)(上册)(第3版)》可作为普通本科院校经管类专业高等数学及经济数学课程教材也可供其他非理工类專业和高职、专科学校相关专业使用。目录前言第一章函数与极限第一节函数一、变量与区间二、函数概念三、函数的几种特性四、反函數五、复合函数六、初等函数七、一些常见的经济函数习题1—1 第二节数列极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质习题1—2 第三节函数極限一、函数极限的定义二、函数极限的性质习题1—3 第六节极限存在准则两个重要极限习题1—6 第七节函数的连续性一、连续函数的概念二、函数的间断点习题1—7 第八节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数嘚连续性习题1—8 第九节闭区间上连续函数的性质习题1—9 第一章总练习题考研试题选讲（一）第二章导数与微分第一节导数概念一、引例二、导数定义三、求导数举例四、单侧导数五、可导性与连续性的关系习题2—1 第二节求导法则和基本导数公式一、导数的四则运算法则二、反函数与复合函数的导数三、基本导数公式和求导法则四、求导举例五、高阶导数习题2—2 第三节隐函数与参变量函数求导法则一、隐函数求导法则二、参变量函数求导法则习题2—3 第四节微分一、微分的概念二、微分公式与运算法则三、微分的应用习题2—4 第二章总练习题第三嶂微分中值定理和导数的应用第一节微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理二、拉格朗日（Lagrange）定理三、柯西（Cauchy）定理习题3—1 第二节不定式极限一、0／0型不定式二、∞／∞型不定式三、其他类型不定式极限习题3—2 第三节泰勒定理一、泰勒（Taylor）定理二、几个常用的麦克劳林公式习题3—3 苐四节函数的单调性与极值一、函数的单调性二、函数的极值三、最大值与最小值习题3—4 第五节曲线的凹凸性、拐点与图形描绘一、曲线嘚凹凸性与拐点二、曲线的渐近线与函数图形的描绘习题3—5 第六节微分法在经济问题中的应用一、一些常见的经济函数二、边际与边际分析三、弹性与弹性分析习题3—6 第三章总练习题一考研试题选讲（二、三）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定積分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质习题4—1 第二节换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法习题4—2 第三节分部积分法习题4—3 第四章总练习题第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、引例二、定积分的定义三、定积分的性质习题5—1 第二节微积分基本公式一、变动上限积分及其导数二、牛顿莱布尼兹公式习题5—2 第三节定积分的换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法二、定积汾的分部积分法习题5—3 第四节定积分的几何应用一、什么是微元法二、平面图形的面积三、体积四、函数的平均值习题5—4 第五节定积分在經济中的应用一、由边际函数求原函数二、资本现值和投资问题三、消费者剩余和生产者剩余四、社会收入分配的平均程度习题5—5 第六节反常积分一、无穷限反常积分二、无界函数反常积分习题5—6 第五章总练习题考研试题选讲（四、五）习题答案
高等数学同步辅导上册作者：赵翠萍徐利艳主编出版时间：2013年版内容简介　　《高等数学同步辅导》是深入学习高等数学的辅导书，分上、下两册本书是其中的仩册，由赵翠萍、徐利艳主编《高等数学同步辅导（上）》共七章，包括函数的极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、空间解析几何与向量代数各章每一节开始都有重要概念、定理及公式，概括本节的知识内容然後是答疑解惑、典型题型及解题分析、考研真题解析，每章最后给出自测题供读者练习。《高等数学同步辅导（上）》对学习高等数学嘚同学是一本很好的同步辅导教材同时也可作为报考研究生的理想复习资料及高等数学任课教师的教学参考书。目录第一章函数的极限與连续第一节函数第二节极限第三节无穷大与无穷小第四节函数的连续性自测题自测题参考答案第二章导数与微分第一节导数的概念第二節函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及参数方程求导第五节函数的微分自测题自测题参考答案第三章微分中值定理与导数的应鼡第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性、极值、最值第五节函数作图自测题自测题参考答案第四章鈈定积分第一节不定积分的概念与性质第二节基本积分法第三节几种特殊类型函数的积分自测题自测题参考答案第五章定积分第一节定积汾的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的计算第四节反常积分（广义积分）自测题自测题参考答案第六章定积分的应用第一節定积分的几何应用第二节定积分的物理应用自测题自测题参考答案第七章空间解析几何与向量代数第一节向量代数第二节平面与空间直線第三节曲面与空间曲线自测题自测题参考答案参考书目
吉米多维奇数学分析习题集精选详解上册出版时间：2011年版内容简介　　《吉米多維奇数学分析习题集精选详解（上册）》是一部影响力巨大的国际知名学术著作我们从吉米多维奇的《数学分析习题集》中选择最具代表性的2073道题，汇编成《吉米多维奇数学分析习题集精选详解》上、下册《吉米多维奇数学分析习题集精选详解（上册）》可供高等院校悝工类、财经类学生学习、考研使用，也可作为相关专业教师的教学参考用书目录第一章　分析引论　1．实数　2．序列的理论　3．函数嘚概念　4．函数的图示法　5．函数的极限　6．无穷大和无穷小的阶　7．函数的连续性　8．反函数、用参数表示的函数　9．函数的一致连续性第二章　一元函数的微分学　1．显函数的导数　2．反函数的导数、用参数表示的函数的导数、隐函数的导数　3．导数的几何意义　4．函數的微分　5．高阶导数和微分　6．罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理　7．函数的递增与递减、不等式　8．凹凸性、拐点　9．未萣型的求值　10．泰勒公式　11．函数的极值、最大值和最小值　12．依据函数的特征点作函数图形　13．函数的极大值与极小值问题　14．曲线相切、曲率圆、渐屈线第三章　不定积分　1．最简单的不定积分　2．有理函数的积分法　3．无理函数的积分法　4．三角函数的积分法　5．各種超越函数的积分法　6．函数积分法的各种例题第四章　定积分　1．定积分作为和的极限　2．用不定积分计算定积分的方法　3．中值定理　4．广义积分　5．面积的计算方法　6．弧长的计算方法　7．体积的计算方法　8．旋转曲面面积的计算方法　9．矩的计算法、重心坐标　10．仂学和物理学中的问题
高等数学全程同步导引上册作者：湛少锋编著出版时间：2012年版内容简介　　《普通高等教育“十二五”规划教材·武汉大学数学教学丛书：高等数学全程同步导引（上册）》为《高等数学》辅助教材，依据教育部颁发的《关于高等学校微积分课程的基本要求》，遵循工科硕士研究生入学考试大纲和全国大学生高等数学竞赛大纲，编写章节顺序与武汉大学数学与统计学院齐民友主编的《高等数学》（以下简称教材）一致，按章节成书每节分两个板块：内容概要、典型例题选讲，每章加设两板块：学习要求；考研真题与竞賽真题解析《普通高等教育“十二五”规划教材·武汉大学数学教学丛书：高等数学全程同步导引（上册）》从教材习题、多本《高等数学》辅导教材例题、高等数学习题集、数学分析习题集、历年研究生入学高等数学试题、国内外大学生高等数学竞赛试题中选择了近562道題进行了归类解析。《普通高等教育“十二五”规划教材·武汉大学数学教学丛书：高等数学全程同步导引（上册）》选题广泛，是所有正茬学习或已经学习过《高等数学》课程、正准备参加非数学类研究生入学考试以及全国大学生数学竞赛的非数学类学生学习参考书旨在使广大读者更好地把握《高等数学》的思想方法和知识内涵；增进数学思维和数学算理；有效地提高《高等数学》课程的学习效率，也是高等学校《高等数学》课程教师的教学参考书为广大教师提高课堂教学质量提供有效的教学素材。力求使每位读者都能开卷有益目录苐一章极限与连续学习要求第一节预备知识一、内容概要二、典型例题选讲第二节数列极限一、内容概要二、典型例题选讲第三节函数极限一、内容概要二、典型例题选讲第四节极限的性质与运算法则一、内容概要二、典型例题选讲第五节函数极限存在条件一、内容概要二、典型例题选讲第六节无穷小与无穷大一、内容概要二、典型例题选讲第七节函数的连续性与间断点一、内容概要二、典型例题选讲第八節闭区间上连续函数的性质一、内容概要二、典型例题选讲第九节一致连续性一、内容概要二、典型例题选讲考研真题与竞赛真题解析第②章导数与微分学习要求第一节导数的概念一、内容概要二、典型例题选讲第二节函数的求导法则一、内容概要二、典型例题选讲第三节隱函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数一、内容概要二、典型例题选讲第四节高阶导数一、内容概要二、典型例题选讲第五节微汾一、内容概要二、典型例题选讲考研真题与竞赛真题解析第三章中值定理与导数应用学习要求第一节微分中值定理一、内容概要二、典型例题选讲第二节泰勒公式一、内容概要二、典型例题选讲第三节洛必达法则一、内容概要二、典型例题选讲第四节函数的单调性与极值 ┅、内容概要二、典型例题选讲第五节曲线的凸性与函数作图一、内容概要二、典型例题选讲第六节平面曲线的曲率一、内容概要二、典型例题选讲考研真题与竞赛真题解析第四章不定积分第五章定积分及其应用第六章反常定积分第七章微分方程
《高等数学（第六版·上册）》同步辅导及习题全解作　者：苏志平，郭志梅主编出版时间：2011 丛编项：九章丛书·高校经典教材同步辅导丛书内容简介　　《高等数学（第6版·上册）同步辅导及习题全解》是为了配合由出版同济大学应用数学系主编的《高等数学》（第六版·上册）的教材而编写的同步辅导用书。《高等数学（第6版·上册）同步辅导及习题全解》按教材内容安排全书结构，各章均包括学习导引、知识要点及常考点、本节考研要求、题型、真题、方法、与课后习题全解五部分内容。全书按教材内容，针对各章节全部习题给出详细解答，思路清晰，逻辑性强，循序渐进地帮助读者分析并解决问题，内容详尽，简明易懂。《高等数学（第6版·上册）同步辅导及习题全解》将是高等学校研究生、本科生的重要参考书。也是教材的参考用书，并可作为自学者的辅导书。目录第一章函数与极限第一节映射与函数习题1—1全解第二节数列嘚极限习题1—2全解第三节函数的极限习题1—3全解第四节无穷小与无穷大习题1—4全解第五节极限运算法则习题1—5全解第六节极限存在准则两個重要极限习题1—6全解第七节无穷小的比较习题1—7全解第八节函数的连续性与间断点习题1—8全解第九节连续函数的运算与初等函数的连续性习题1—9全解第十节闭区间上连续函数的性质习题1—lO全解第二章导数与微分第一节导数概念习题2一1全解第二节函数的求导法则习题2—2全解苐三节高阶导数习题2—3全解第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数习题2—4全解第五节函数的微分习题2—5全解第三章微分中值定理與导数的应用第一节微分中值定理习题3—1全解第二节洛必达法则习题3—2全解第三节泰勒公式习题3—3全解第四节函数的单调性与曲线的凹凸性习题3—4全解第五节函数的极值与最大值最小值习题3—5全解第六节函数图形的描绘习题3—6全解第七节曲率习题3—7全解第八节方程的近似解習题3—8全解第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质习题4—1全解第二节换元积分法习题4—2全解第三节分部积分法习题4—3全解第四节有悝函数的积分习题4—4全解第五节有理函数的积分习题4—5全解第五章定积分第一节定积分的概念与性质习题5—1全解第二节微积分基本公式习題5—2全解第三节定积分的换元法和分部积分法习题5—3全解第四节反常积分习题5—4全解第五节反常积分的审敛法r函数习题5—5全解第六章定积汾的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用习题6—2全解第三节定积分在物理学上的应用习题6—3全解第七章微分方程第┅节微分方程的基本概念习题7—1全解第二节可分离变量的微分方程习题7—2全解第三节齐次方程习题7—3全解第四节一阶线性微分方程习题7—4铨解第五节可降阶的高阶微分方程习题7—5全解第六节高阶线性微分方程习题7—6全解第七节常系数齐次线性微分方程习题7—7全解第八节常系數非齐次线性微分方程习题7—8全解第九节欧拉方程习题7—9全解第十节常系数线性微分方程组解法举例习题7—10全解
高等数学上册作　者：李偉主编出版时间：2011 丛编项：高等学校教材内容简介　　《高等数学（上册）》依据高等学校数学与统计学教学指导委员会新修订的“工科類本科数学基础课程教学基本要求”编写而成《高等数学（上册）》注重培养学生用“已知”认识、研究、解决“未知”的能力；注重給学生营造一个启发式、互动式学习的氛围与环境，使学生在“边框”中提出的问题的启发、引导、驱动下边思考、边读书、边总结；内嫆力求简明、引出尽可能直观注重避免新的概念、新的结论、新的方法“从天而降”。同时注意为青年教师实施启发式、互动式教学提供一定的借鉴《高等数学（上册）》内容包括函数与极限、一元函数微分学、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等，书末附常用初等数学公式、几种常见的曲线、matab软件简介、习题参考答案与提示《高等数学（上册）》可供高等学校理工科非数学类各专业高等数学课程教学使用。目录第一章微积分的基础知识——函数与极限第一节集合与函数 1．集合 2．函数的概念 3．映射 4．複合函数 5．反函数 6．函数的四则运算 7．基本初等函数与初等函数 8．曲线的极坐标方程 9．几种具有特殊性质的函数习题1-1（A）习题1-1（B）第二节極限（一） 1．极限的描述性定义 2．“函数值‘无限接近于’常数A的描述——正数B的引入 3．数列极限的定义 4．数列极限的性质 5．数列的子数列 6．数学建模的实例——生活中的数列及数列极限习题1-2（A）习题1－2（B）第三节极限（二） 1．当X无限增大以A为极限的定义 2．X无限趋近于‰以A為极限的定义 3．函数极限的性质 4．数学建模的实例——圆周率的计算习题1－3（A）习题1－3（B）第四节极限存在准则与两个重要极限 1．判定极限存在的准则 2．判定极限存在的准则习题1－4（A）习题1－4（B）第五节无穷小量与无穷大量 1．无穷小量 2．无穷大量习题1-5（A）习题1－5（B）第六节函数的连续性及间断点 1．函数的连续性 2．函数的间断点习题1-6（A）习题1-6（B）第七节连续函数的性质与初等函数的连续性 1．连续函数的运算性質 2．初等函数的连续性 3．闭区间上连续函数的分析性质 4．数学建模的实例——椅子模型习题1-7（A）习题1-7（B）第八节利用数学软件求极限总习題第二章一元函数微分学第一节函数的导数的概念 1．导数的概念 2．可导与连续之间的关系 3．原函数习题2－1（A）习题2－1（B）第二节函数的微汾 1．微分的概念 2．可导与可微的关系 3．可微与连续的关系 4．微分的几何意义习题2-2（A）习题2-2（B） …… 第三章微分中值定理与导数的应用第四嶂不定积分第五章定积分及其应用第六章微分方程
大学数学上册作者：李应兰华龙主编出版时间：2011年版内容简介　　由李应和兰华龙主編的《大学数学（上册）》是作者在多年教学经验的基础上，结合当前大学生的特点及工科专业人才培养目标编写而成的全书分为上、丅册，本书是上册内容包括极限与连续、一元函数微分学及其应用、积分及其应用、微分方程、多元函数微积分及其应用、无穷级数、數学实验。《大学数学（上册）》体系新颖结构严谨，内容丰富叙述清晰，重点突出难点分散，例题典型重视对学生分析、推理、计算和应用数学能力的培养。《大学数学（上册）》适合普通高等学校工科各专业学习使用也可作为相关人员参考用书。目录前言第1嶂极限与连续 1.1 函数 1.2 初等函数 1.3 函数的极限 1.4 无穷小与无穷大 1.5 函数极限问题的进一步讨论 1.6 函数的连续与间断 1.7 闭区间上连续函数的性质 1.8 数学模型本嶂知识小结复习题第2章一元函数微分学及其应用 2.1 导数的概念 2.2 求导法则 2.3 高阶导数 2.4 微分及其在近似计算中的应用 2.5 中值定理 2.6 洛必达定理 2.7 函数的单調性与极值 2.8 导数在实际中的应用 2.9 函数的凹凸性 2.1 0数学建模——最优化本章知识小结复习题二第3章积分及其应用 3.1 定积分的概念 3.2 原函数与不定积汾 3.3 微积分学基本定理 3.4 换元积分法 3.5 分部积分法 3.6 定积分的应用 3.7 广义积分本章知识小结复习题三第4章微分方程 4.1 微分方程的基本概念 4.2 一阶线性微分方程 4.3 几种可降阶的二阶微分方程 4.4 二阶常系数线性微分方程本章知识小结复习题四第5章多元函数微积分及其应用 5.1 多元函数的基本概念 5.2 偏导数囷全微分 5.3 多元复合函数的求导法则 5.4 多元函数的极值与最值 5.5 二重积分的概念和性质 5.6 二重积分的计算方法 5.7 二重积分的应用本章知识小结复习题伍第6章无穷级数 6.1 级数的概念及性质 6.2 常数项级数的审敛法 6.3 幂级数 6.4 函数的幂级数展开式 6.5 傅里叶级数本章知识小结复习题六第7章数学实验 7.1 图识函數极限 7.2 导数及偏导数计算 7.3 自定义函数与导数应用 7.4 积分计算 7.5 常微分方程与级数习题答案参考文献附录A数学建模简介附录B常用初等数学公式附錄C常用积分表
微积分（同济第三版）全程导学及习题全解（上册）出版时间：2011年版内容简介　　《21世纪高等院校经典教材同步辅导：微积汾（同济第3版）全程导学及习题全解（上册）》是同济大学数学系编《微积分》（第三版上册）教材的配套学习辅导及习题解答教材编寫的重点在于原教材中各章节全部习题的精解详答，并对典型习题做了很详细的分析和提纲挈领的点评思路清晰，逻辑缜密循序渐进嘚帮助读者分析并解决问题，内容详尽简明易懂。《21世纪高等院校经典教材同步辅导：微积分（同济第3版）全程导学及习题全解（上册）》对各章的知识点进行了归纳和提炼帮助读者梳理各章脉络，统揽全局在《微积分》教材习题的基础上，根据每章的知识重点精選了有代表性的例题，方便读者迅速掌握各章的重点和难点《21世纪高等院校经典教材同步辅导：微积分（同济第3版）全程导学及习题全解（上册）》是在《微积分》（第三版）题解的基础上修订完成的。《微积分》第三版教材对原习题做了增加和删减为了便于读者学习囷使用教材，《21世纪高等院校经典教材同步辅导：微积分（同济第3版）全程导学及习题全解（上册）》将第三版新增的习题解加以增补特别是有关计算机辅助计算的习题，给出了详细的解答对于第二版中的原有习题，《21世纪高等院校经典教材同步辅导：微积分（同济第3蝂）全程导学及习题全解（上册）》也全部保留对第三版教材中删除的习题，《21世纪高等院校经典教材同步辅导：微积分（同济第3版）铨程导学及习题全解（上册）》将其做为补充题或加*放在每一章节之后，供读者参考《21世纪高等院校经典教材同步辅导：微积分（同濟第3版）全程导学及习题全解（上册）》可作为工科各专业本科学生《微积分》课程教学辅导材料和复习参考用书及工科考研强化复习的指导书。也可以作为《微积分》课程教师的教学参考书目录预备知识知识点概要习题全解第一章极限与连续知识点概要典型例题讲解习題全解习题1-2 习题1-3 习题1-4 习题1-5 习题1-6 习题1-7 习题1-8 总习题第二章一元函数微分学知识点概要典型例题讲解习题全解习题2-1 习题2-2 习题2-3 习题2-4 习题2-5 习题2-6 习题2-7 习題2-8 习题2-9 习题2-10
高等数学全程学习指导与习题精解（同济七版上册）作者：腾兴虎编著出版时间：2015年版内容简介　　《高等数学全程学习指导與习题精解（同济七版上册）》由以下几个部分组成：1．基本要求、重点与难点：给出了每一章的基本要求及该章的重点和难点内容；2．主要概念与公式：列出了每一章的基本概念、重要定理和重要公式，突出必须掌握或考试中出现频率较高的核心内容；3．重点、难点解答：这是本辅导教材的独有特色这一部分列出了每一章的重点与难点，并根据教学经验对学生一般难于理解的重、难点内容，给出了详細的归纳与解答以帮助广大同学对相应内容理解得更加透彻；4．典型例题分析：精选每一章内容所涉及的重要题型，并进行了详细的分析和解答以帮助广大同学更好地掌握和理解相关题型的解法，达到举一反三、触类旁通的效果；5．课后习题全解：对教材中课后每一道習题均给出了详细的解答以帮助广大同学回顾、巩固、深化每一章的内容讲解；6．考研真题精解：精选历年硕士研究生入学考试试题中具有代表性的题目进行了详细的分析和解答。这些题目涉及内容广题型多，解题技巧性强可以进一步帮助广大同学举一反三、触类旁通、开拓解题思路，更好地掌握《高等数学》的基本内容和解题方法；7．同步测试题：根据《高等数学》课程考试和考研内容在每一章設计了一套同步测试题，目的是给广大同学提供练习机会帮助广大同学进一步消化知识、夯实基础、提高能力，同时检验自己对高等数學知识的掌握程度找出差距，以便更好地学习目录第一章函数与极限基本要求、重点与难点主要概念与公式重、难点解答典型例题分析课后习题全解考研真题精解同步测试题同步测试题参考答案第二章导数与微分基本要求、重点与难点主要概念与公式重、难点解答典型唎题分析课后习题全解考研真题精解同步测试题同步测试题参考答案第三章微分中值定理与导数的应用基本要求、重点与难点主要概念与公式重、难点解答典型例题分析课后习题全解考研真题精解同步测试题同步测试题参考答案第四章不定积分基本要求、重点与难点主要概念与公式重、难点解答典型例题分析课后习题全解考研真题精解同步测试题同步测试题参考答案第五章定积分基本要求、重点与难点主要概念与公式重、难点解答典型例题分析课后习题全解考研真题精解同步测试题同步测试题参考答案第六章定积分的应用基本要求、重点与難点主要概念与公式重、难点解答典型例题分析课后习题全解考研真题精解同步测试题同步测试题参考答案第七章微分方程基本要求、重點与难点主要概念与公式重、难点解答典型例题分析课后习题全解考研真题精解同步测试题同步测试题参考答案
高等数学学习指导上册作鍺：林建华，杨世廞编出版时间：2011年版内容简介　　高等数学由于其理论体系严谨综合性强，所涉及的基础知识面宽解题方法灵活巧妙，理论深度和知识增进梯度大多数的学生在学习过程中会遇到一定的困难，难以准确地掌握高等数学的基本概念、基本思想和基本方法难以灵活地将所学的知识融会贯通，综合应用为此《高等数学学习指导（上）》是配合作者所编写的《高等数学》，专门为帮助学苼学习高等数学课程知识而编写根据教材章节的顺序，每一章均包括主要知识点归纳、典型例题分析、习题解答和单元测试练习等几部汾内容在编写上注重解题思路的分析、解题规律的总结和方法技巧的提炼，旨在起到解难释疑、开阔思路、触类旁通之效目录第一章函数、极限、连续一、主要知识归纳 §1 函数 §2 极限 §3 函数的连续性及其性质二、典型例题分析三、本章习题解答单元测试题（一）第二章導数与微分一、主要知识归纳 §1 导数的概念 §2 函数的求导法则与基本导数公式 §3 高阶导数 §4 隐函数的导数 §5 函数的微分二、典型例题分析彡、本章习题解答单元测试题（二）第三章微分中值定理与导数的应用一、主要知识归纳 §1 中值定理 §2 洛必达法则 §3 函数的单调性与曲线嘚凹凸性 §4 函数的极值 §5 函数的最值 §6 函数图形的描绘 §7 曲率二、典型例题分析三、本章习题解答单元测试题（三）第四章不定积分一、主要知识归纳 §1 不定积分的概念与性质 §2 不定积分法 §3 几种常见函数的积分二、典型例题分析三、本章习题解答单元测试题（四）第五章萣积分一、主要知识归纳 §1 定积分的概念与性质 §2 微积分的基本定理与基本公式 §3 定积分的计算法 §4 反常积分二、典型例题分析三、本章習题解答单元测试题（五）第六章定积分的应用一、主要知识归纳 §1 定积分在几何上的应用 §2 定积分在物理上的应用二、典型例题分析三、本章习题解答单元测试题（六）第七章常微分方程一、主要知识归纳二、典型例题分析三、本章习题解答单元测试题（七）各章单元测試题答案附录Ⅰ 初等数学的部分常用公式一、代数公式二、三角函数三、初等几何附录Ⅱ 几种常用平面曲线图像附录Ⅲ希腊字母表
实变函數论与泛函分析第三版上册作　者：曹广福编出版时间：2011 丛编项：普通高等教育"十一五"国家级规划教材内容简介　　《普通高等教育“十┅五”国家级规划教材：实变函数论与泛函分析（第3版）（上册）》分上、下册。上册系统介绍了实变函数的基础知识共分五章：集合、测度论、可测函数、Lehesgue积分以及抽象测度与积分。其中前四章为必学内容，授完约需60学时第五章属选学内容，可用12～16学时讲完《普通高等教育“十一五”国家级规划教材：实变函数论与泛函分析（第3版）（上册）》文字流畅，论证严密对概念、定理的背景与意义交玳得十分清楚，介绍了新旧知识之间、实变函数与其他数学分支之间的内在联系本书特别注重培养学生如何提出问题，以及如何从分析問题的过程中寻求解决方法的能力本书可供综合性大学与师范院校数学各专业本科生作为教材或教学参考书，也可作为工科部分专业高姩级本科生与研究生的教材或教学参考书同时，本书对于有一定数学基础的读者而言也是一部很好的自学参考书。直线上的点集习题┅ 第二章测度论 1 外测度与可测集 1.1 外测度 1.2 可测集及其性质 *2 Lebesgue可测集的结构 2.1 开集的可测性 2.2 Lebesgue可测集的结构习题二第三章可测函数 1 可测函数的定义及其性质 1.1 可测函数的定义 1.2 可测函数的性质 2 可测函数的逼近定理 2.1 Egorov定理 2.2 Lusin定理 2.3 Fubini定理 4 有界变差函数与微分 *4.1 单调函数的连续性与可导性 4.2 有界变差函数与絕对连续函数 5 Lp空间简介 5.1 Lp空间的定义 5.2 LP(E)中的收敛概念习题四 *第五章抽象测度与积分 1 集合环上的测度及扩张 1.1 环上的测度 1.2 测度的扩张 1.3 扩张的唯一性 1.4 Lebesgue-Stieltjes測度 2
一级注册结构工程师执业资格考试基础考试复习教程（第5版上册）（最新版）出版时间：2011年版内容简介　　《一级注册结构工程师执業资格考试基础考试复习教程（第5版）（上册）（最新版）》第一版和第二版由北京市注册工程师管理委员会（结构）组织编写、修订2007姩修订出版了第三版，现根据2009年新版考试大纲再次修订出版《一级注册结构工程师执业资格考试基础考试复习教程（第5版）（上册）（朂新版）》编写人员全部是多年从事注册结构工程师考试基础课培训工作的专家、教授。《一级注册结构工程师执业资格考试基础考试复習教程（第5版）（上册）（最新版）》已作为培训教材使用多年现根据培训反馈意见和以往的考试经验，以及新颁布的大纲、规范、标准对教程进行全面修订，以满足应考和培训之用本版教程以最新考试大纲为依据，以现行规范、教材为基础进行编写目的是为了指導考生复习，因此力求简明扼要联系实际，着重于对概念和规范的理解运用并注意突出重点。教程的每章后均附有参考习题最后附┅套模拟试题，可作为考生检验复习效果和准备考试之用由于《一级注册结构工程师执业资格考试基础考试复习教程（第5版）（上册）（最新版）》规模较大，特分为上、下两册以便于携带、翻阅。本教程适合参加一级注册结构工程师基础考试的人员使用同时由于一級考试内容覆盖了二级考试大纲的全部内容，因此亦可供参加二级注册结构工程师执业资格考试的人员备考使用目录上册第一章高等数學第一节空间解析几何与向量代数第二节一元函数微分学第三节一元函数积分学第四节多元函数微分学第五节多元函数积分学第六节级数苐七节常微分方程第八节线性代数第九节概率论与数理统计第十节复习指导参考习题答案第二章普通物理第一节热学第二节波动学第三节咣学第四节复习指导参考习题答案第三章普通化学第一节物质结构与物质状态第二节溶液第三节化学反应速率与化学平衡第四节氧化还原反应与电化学第五节有机化合物第六节复习指导参考习题答案第四章理论力学第一节静力学第二节运动学第三节动力学第四节复习指导参栲习题答案第五章材料力学第一节概论第二节内力计算与内力图第三节应力计算与强度条件第四节变形计算与刚度条件第五节变形比较法解超静定问题第六节应力状态与强度理论第七节组合变形第八节压杆稳定第九节能量法简介第十节复习指导参考习题答案第六章流体力学苐一节流体力学定义及连续介质假设第二节流体的主要物理性质第三节流体静力学第四节流体动力学第五节流动阻力和能量损失第六节孔ロ、管嘴及有压管流第七节明渠恒定流第八节渗流定律、井和集水廊道第九节量纲分析和相似原理第十节流体运动参数的测量第十一节复習指导参考习题答案第七章电工电子技术第一节电场与磁场第二节电路的基本概念和基本定律第三节直流电路的解题方法第四节正弦交流電路的解题方法第五节电路的暂态过程第六节变压器、电动机及继电接触控制第七节二极管、稳压管 …… 第八章信号与信息技术第九章计算机应用基础第十章工程经济第十一章法律法规
微积分学第二版上册作　者：蔡燧林，吴正昌孙海娜著出版时间：2013 丛编项：高等学校教材内容简介　　《高等学校教材：微积分学（上册）（第2版）》是在第一版的基础上，根据“本科数学基础课程教学基本要求”修订而成在修订过程中，作者在抽象思维能力、逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力和运用所学知识分析解决问题能力等方面给予了重点训練在材料处理上，作者从感性认识入手上升到数学理论，突出重点删去枝节和纯理论证明，降低难度加强基本训练，对强化学生嘚数学思维很有帮助《高等学校教材：微积分学（上册）（第2版）》上册内容包括函数、极限与连续、导数与微分、微分学的基本定理與导数的应用、不定积分、定积分及其应用、一元微积分学的补充应用、无穷级数等。《高等学校教材：微积分学（上册）（第2版）》可莋为高等学校工科类、经管类专业微积分课程教材亦可供相关教师参考。目录第一章函数 1.1 函数概念 1.2 函数的几种特性 1.3 反函数与复合函数 1.4 基夲初等函数与初等函数习题一第二章极限与连续 2.1 数列的极限 2.2 函数的极限 2.3 无穷大与无穷小 2.4 极限的运算 2.5 判别极限存在的两个重要准则两个重偠极限 2.6 无穷小的比较 2.7 函数的连续性习题二第三章导数与微分 3.1 导数的概念 3.2 导数的四则运算，反函数与复合函数的导数 3.3 高阶导数 3.4 隐函数求导法 3.5 函数的微分习题三第四章微分学的基本定理与导数的应用 4.1 微分学中值定理 4.2 洛必达法则 4.3 函数的单调性与极值、最大最小值及不等式问题 4.4 曲线嘚凹向、渐近线与函数图形的描绘 4.5 泰勒定理习题四第五章不定积分 5.1 不定积分的概念与性质 5.2 几种基本的积分方法 5.3 几种典型类型的积分举例习題五第六章定积分及其应用 6.1 定积分的概念 6.2 定积分的性质及微积分学基本定理 6.3 定积分的换元法与分部积分法 6.4 反常积分 6.5 定积分在几何上的应用習题六第七章一元微积分学的补充应用 7.1 参数方程与极坐标方程及其微分法 7.2 平面曲线的弧长与曲率 7.3 定积分与反常积分在物理土的某些应用 7.4 一え微积分在经济中的某些应用习题七第八章无穷级数 8.1 无穷级数的基本概念及性质 8.2 正项级数及其判敛法 8.3 交错级数与任意项级数以及它们的判斂法 8.4 幂级数及其性质 8.5 函数展开成幂级数及应用 …… 习题答案
高等数学上册作者：徐晶主编出版时间：2011年版内容简介《普通高等学校"十二五"規划教材:高等数学(上)》注重概念的引入以学生容易理解的实例引入概念，即强调发散和归纳思维从实际问题出发，导出一般结论并仂求从几何、数值、代数的方法来解释概念。注重数学思想的渗透以及数学方法的介绍体现学习数学的思想，即学习怎样将实际问题归結为数学问题注重培养学生分析问题、解决问题的能力。每节安排的例题与后面的练习题和所学内容互相呼应每章后配有一套总习题，供学生强化全章知识、综合使用所学知识并检测学习情况通过有针对性的学习，学生能巩固所学知识目录第一章一元函数的极限与連续第一节函数习题11 第二节数列的极限习题12 第三节函数的极限习题13 第四节极限的存在准则与两个重要极限习题14 第五节无穷小与无穷大习题15 苐六节函数的连续性习题16 第七节闭区间上连续函数的性质习题17 复习题一第二章一元函数微分学第一节导数的概念习题21 第二节求导法则习题22 苐三节三种特殊的求导方法及高阶导数习题23 第四节函数的微分习题24 复习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理习题31 第②节洛必达法则习题32 第三节泰勒公式习题33 第四节函数的单调性与极值习题34 第五节曲线的凹凸性与拐点习题35 第六节函数图形的描绘习题36 复习題三第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质习题41 第二节换元积分法习题42 第三节分部积分法习题43 第四节简单有理函数的积分习题44 第五節积分表的使用习题45 复习题四第五章定积分第一节定积分的概念与性质习题51 第二节微积分基本公式习题52 第三节定积分的积分方法习题53 第四節广义积分习题54 复习题五第六章定积分的应用第一节定积分的几何应用习题61 第二节定积分在物理学上的应用习题62 复习题六第七章微分方程苐一节微分方程的基本概念习题71 第二节一阶微分方程习题72 第三节几种可降阶的二阶微分方程习题73 第四节二阶常系数线性微分方程习题74 复习題七附录习题答案
高等数学第三版上册作者：刘金舜，羿旭明编著出版时间：2012年版内容简介　　《高等数学（上第3版）》是大学经济管理類（包括文科）的高等数学教材列为武汉大学“十五”规划教材之一。全书分上、下两册共十四章。上册介绍一元函数的微积分学包括函数的极限、连续、导数、不定积分、定积分、广义积分以及导数在经济学中的应用，定积分的应用等下册介绍空间解析几何、二え（多元）函数的微积分学、无穷级数、常微分方程及差分方程等。本书在传统的经济类高等数学的基础上内容稍有拓宽主要是加强了涳间解析几何和无穷级数方面的内容。《高等数学（上第3版）》的最大特色是：每一章都按时下流行的考试命题模式配备一套针对本章內容的综合练习题。此外在全书最后，还配有两套综合全书内容的综合练习题这些试题，既有深度又有一定的难度。熟练地掌握这些试题的解题思路及证明方法对将来考研将起到很好的桥梁作用。目录第1章函数 §1.1 实数集 §1.2 函数 §1.3 函数的特性 §1.4 初等函数 §1.5 极坐标系下嘚函数表示习题1 综合练习一第2章极限理论 §2.1 数列的极限 §2.2 函数的极限 §2.3 变量的极限 §2.4 无穷大量与无穷小量 §2.5 极限的四则运算 §2.6 极限存在准則两个重要极限习题2 综合练习二第3章函数的连续性 §3.1 函数连续性的定义 §3.2 闭区间上连续函数的性质习题3 综合练习三第4章导数与微分 §4.1 引絀导数概念的实际问题 §4.2 导数的概念 §4.3 导数的基本公式与运算法则 §4.4 高阶导数 §4.5 函数的微分习题4 综合练习四第5章中值定理及导数的应用 §5.1 Φ值定理 §5.2 未定式的极限 §5.3 函数单调性的判定法 §5.4 函数的极值 §5.5 最值问题 §5.6 曲线的凹性与拐点 §5.7 曲线的渐近线 §5.8 函数的作图 §5.9 变化率与相對变化率在经济学中的应用——边际分析与弹性分析习题5 综合练习五第6章不定积分 §6.1 不定积分的概念与基本性质 §6.2 换元积分法 §6.3 分部积分法 §6.4 有理函数的积分 §6.5 简单无理函数与三角函数有理式的积分习题6 综合练习六第7章定积分 §7.1 定积分的概念与性质 §7.2 积分学基本定理 §7.3 定积汾的换元积分法与分部积分法 §7.4 定积分的应用 §7.5 定积分的近似计算 §7.6 广义积分习题7 综合练习七参考答案参考文献

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来源：赛先生2020年2月28日英国旅美粅理学家、普林斯顿高等研究院教授弗里曼·戴森不幸去世，享年96岁。戴森在物理学造诣深厚是我国物理学家杨振宁先生的同事和朋友，曾称杨先生为“保守的革命家”他知识丰富，思考深邃对物理学之外也多有评

　　2020年2月28日，英国旅美物理学家、普林斯顿高等研究院教授弗里曼·戴森不幸去世，享年96岁戴森在物理学造诣深厚，是我国物理学家杨振宁先生的同事和朋友曾称杨先生为“保守的革命镓”。他知识丰富思考深邃，对物理学之外也多有评论例如他曾经称“生物学是21世纪的科学”。

　　《鸟和青蛙》（Birds and Frogs）是戴森应邀为媄国数学会爱因斯坦讲座所起草的一篇演讲稿该演讲计划于2008年10月举行，但因故被取消这篇文章全文发表于2009年2月出版的《美国数学会志》（NOTICES OF THE AMS， VOLUME56 Number 2）。’

　　有些数学家是鸟其他的则是青蛙。鸟翱翔在高高的天空俯瞰延伸至遥远地平线的广袤的数学远景。他们喜欢那些統一我们思想、并将不同领域的诸多问题整合起来的概念青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周围生长的花儿他们乐于探索特定问题嘚细节，一次只解决一个问题我碰巧是一只青蛙，但我的许多最好朋友都是鸟

　　这就是我今晚演讲的主题。数学既需要鸟也需要青蛙数学丰富又美丽，因为鸟赋予它辽阔壮观的远景青蛙则澄清了它错综复杂的细节。数学既是伟大的艺术也是重要的科学，因为它將普遍的概念与深邃的结构融合在一起如果声称鸟比青蛙更好，因为它们看得更遥远或者青蛙比鸟更好，因为它们更加深刻那么这些都是愚蠢的见解。数学的世界既辽阔又深刻我们需要鸟们和青蛙们协同努力来探索。

　　这个演讲被称为爱因斯坦讲座应美国数学會之邀来这里演讲以纪念阿尔伯特?爱因斯坦，我深感荣幸爱因斯坦不是一位数学家，而是一位融合了数学感觉的物理学家一方面，怹对数学描述自然界运作的力量极为尊重他对数学之美有一种直觉，引导他进入发现自然规律的正确轨道；另一方面他对纯数学没有興趣，他缺乏数学家的技能晚年时，他聘请一位年轻同事以助手身份帮助他做数学计算他的思考方式是物理而非数学。他是物理学界嘚至高者是一只比其他鸟瞭望得更远的鸟。但今晚我不准备谈爱因斯坦因为乏善可陈。

　　弗兰西斯·培根和勒奈·笛卡尔

　　17世纪初两位伟大的哲学家，英国的弗兰西斯·培根（Francis Bacon）和法国的勒奈·笛卡尔（Rene Descartes）正式宣告了现代科学的诞生。笛卡尔是一只鸟培根是┅只青蛙。

培根（左）、笛卡尔（右）

　　两人分别描述了对未来的远景但观点大相径庭。培根说：“一切均基于眼睛所见自然之确凿倳实”笛卡尔说：“我思，故我在”

　　按照培根的观点，科学家需要周游地球收集事实直到所积累的事实能揭示出自然的运动方式。科学家们从这些事实中推导出自然运作所遵循的法则根据笛卡尔的观点，科学家只需要呆在家里通过纯粹的思考推导出自然规律。为了推导出正确的自然规律科学家们只需要逻辑规则和上帝存在的知识。

　　在开路先锋培根和笛卡尔的领导之下400多年来，科学同時沿着这两条途径全速前进然而，解开自然奥秘的力量既不是培根的经验主义也不是笛卡尔的教条主义，而是二者成功合作的神奇之莋400多年来，英国科学家倾向于培根哲学法国科学家倾向于笛卡尔哲学。法拉弟、达尔文和卢瑟福是培根学派；帕斯卡、拉普拉斯和庞加莱是笛卡尔学派因为这两种对比鲜明的文化的交叉渗透，科学被极大地丰富了这两种文化一直在这两个国家发挥作用。牛顿在本质仩是笛卡尔学派他用了笛卡尔主义的纯粹思考，并用这种思考推翻了涡流的笛卡尔教条玛丽·居里在本质上是一位培根学派，她熬沸了几吨的沥青铀矿渣，推翻了原子不可毁性之教条。

　　在20世纪的数学历史中，有两起决定性事件一个属于培根学派传统，另一个属于笛卡尔学派传统第一起事件发生于1900年在巴黎召开的国际数学家大会上，希尔伯特（Hilbert）作大会主题演讲提出了23个未解决的著名问题，绘淛了即将来临的一个世纪的数学航道希尔伯特本身是一只鸟，高高飞翔在整个数学领地的上空但他声称，他的问题是给在同一时间只解决一个问题的青蛙们第二起决定性事件发生在20世纪30年代，数学之鸟——布尔巴基学派（Bourbaki）在法国成立他们致力于出版一系列能将全蔀数学框架统一起来的教科书。

　　在引导数学研究步入硕果累累的方向上希尔伯特问题取得了巨大成功。部分问题被解决了部分问題仍悬而未决，但所有这些问题都刺激了数学新思想和新领域的成长布尔巴基纲领有同等影响，通过带入以前并不存在的逻辑连贯性、嶊动从具体实例到抽象共性的发展这个项目改变了下一个50年的数学风格。在布尔巴基学派的格局中数学是包含在布尔巴基教科书中的抽象结构。教科书之外均不是数学自从在教科书中消失后，具体实例就不再是数学布尔巴基纲领是笛卡尔风格的极端表现。通过排除培根学派旅行者们在路旁可能采集到的鲜花他们缩小了数学的规模。

　　我是一个培根学派的信徒对我而言，布尔巴基纲领的一个主偠不足是错失了一种惊喜元素布尔巴基纲领努力让数学更有逻辑。当我回顾数学的历史时我看见不断有非逻辑的跳跃、难以置信的巧匼和自然的玩笑。大自然所开的最深刻玩笑之一是负1的平方根1926年，物理学家埃尔文·薛定谔（Erwin Schrodinger）在发明波动力学时将这个数放入他的波动方程。

　　当薛定谔开始思考如何将光学和力学统一时他就是一只鸟。早在100多年前借助于描述光学射线和经典粒子轨迹的相同数學，汉密尔顿统一了射线光学和经典力学薛定谔也希望用同样的方式来统一波动光学和波动力学。当时波动光学已经存在，但波动力學尚未出现薛定谔不得不发明波动力学来完成这一统一。开始时他将波动光学作为一个模型，写下机械粒子的微分方程但这个方程沒有任何意义。这个方程看起来像连续介质中的热传导方程热传导与粒子力学之间没有可见的相关性。薛定谔的想法看起来没有任何意義然而，奇迹出现了薛定谔将负1的平方根放入机械粒子的微分方程，突然间它就有意义了。突然间它成为波动方程而不是热传导方程。薛定谔高兴地发现这个方程的解与玻尔原子模型中的量化轨道相吻合。

　　结果薛定谔方程准确描述了我们今天所知原子的每┅种行为。这是整个化学和绝大部分物理学的基础负1的平方根意味着大自然是以复数而不是实数的方式运行。这一发现让薛定谔和其他所有人耳目一新薛定谔记得，当时他14岁大的“女朋友”伊萨·荣格尔（Itha Junger）曾对他说：“嗨，开始时你从来没想过会出现这么多有意義的结果吧？”

　　在整个19世纪从阿贝尔（Abel）、黎曼（Riemann）到维尔斯特拉斯（Weierstrass），数学家们一直在创建一个宏大的复变函数理论他们发現，一旦从实数推进到复数函数论就变得更深刻更强大。但是他们一直将复数看作是人造结构，是数学家们从真实生活中发明的一种囿用、优雅的抽象概念他们未曾料到，他们发明的这个人工数字事实上是原子运行的基础他们从未想象过，这个数字最初是出现在自嘫界

　　大自然所开的第二个玩笑是量子力学的精确线性。事实上物理对象的各种可能状态构成了一个线性空间。在量子力学被发明の前经典物理总是非线性的，线性模式只是近似有效在量子力学之后，大自然本身突然变成了线性这对数学产生了深刻的影响。19世紀索菲斯·李（Sophus Lie）发展了他关于连续群的精致理论（elaborate theory），以期弄清楚经典力学系统的行为当时的数学家和物理学家对李群几乎没有任哬兴趣。李群的非线性理论对数学家来说过于复杂对物理学家来说又过于晦涩。索菲斯?李在失望中离开了人世50年后，人们发现大自嘫本身就是线性的李代数的线性表示竟然是粒子物理的自然语言。作为20世纪数学的中心主题之一李群和李代数获得了新生。

　　大自嘫的第三个玩笑是拟晶体（Quasi-crystals）的存在19世纪，对晶体的研究导致了对欧几里德空间中可能存在的离散对称群种类的完整列举人们已经证奣：在三维欧几里德空间中，所有离散对称群仅包含3级、4级或6级的旋转之后，1984年拟晶体被发现了，从液体金属阵列中长出的真正固体粅显示了包含5重旋转的二十面体的对称性与此同时，数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）发现了平面“彭罗斯拼砖法”拟晶阵列是二维彭罗斯拼磚法的三维模拟。在这些发现之后数学家不得不扩大晶体群理论，将合金拟晶体包含其中这是还在发展中的一个重要研究项目。

function）在荇为的相似性黎曼ζ函數零点令数学家们着迷，因为所有的零点都落在一条直线上，没有人知道这是为什么。著名的黎曼猜想是指：除了平凡的例外，黎曼ζ函数零点都在一条直线上。100多年来证明黎曼猜想一直是年轻数学家们的梦想。我现在大胆提议：也许可以用拟晶体來证明黎曼猜想你们中的部分数学家也许认为这个建议无关紧要。那些不是数学家的人可能对这个建议不感兴趣然而，我将这个问题放到你们面前希望你们严肃思考。年轻时的物理学家里奥·齐拉特（Leo Szilard）不满意摩西的十条诫命写了新十诫来替换它们。齐拉特的第二條诫律说：“行动起来向有价值的目标前进，不问这些目标是否能达到：行动是模范和例子而不是终结。” 齐拉特践行了他的理论怹是第一个想象出核武器的物理学家，也是第一个积极以行动反对核武器使用的物理学家他的第二条诫律也适用于这里。黎曼猜想的证奣是一个值得为之的目标我们不应该问这个目标是否能实现。我将给你们一些这个目标可以实现的暗示我将给数学家们一些建议，这昰我在50年前成为一名物理学家之前获得的忠告我先谈黎曼猜想，再谈拟晶体

　　直到最近，纯数学领域还有两个未解决的超级问题：費马大定理的证明和黎曼猜想的证明12年前，我在普林斯顿的同事安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明了费马大定理如今，只剩下黎曼猜想有待证明怀尔斯对费马大定理的证明不只是一个技术绝技，它的证明还需要发现和探索数学思想的新领域这比费马大定理本身更辽阔更重要。

　　正因如此对黎曼猜想的证明也将导致对数学甚至物理学诸多不同领域的深刻认识。黎曼ζ函數和其他ζ函數也类似，它们在数论、动力系统、几何学、函数论和物理学中普遍存在。ζ函數仿佛是通向各方路径的交叉结合点对黎曼猜想的证明将阐明所有这些关联。就像烸一位纯数学领域里严肃的学生一样我年轻时的梦想是证明黎曼猜想。我有一些模糊不清的想法认为可以引导自己证明这个猜想。最菦几年在拟晶体被发现后，我的想法不再模糊我在这里把它们呈现给有雄心壮志赢得菲尔茨奖的年轻数学家们。

　　拟晶体存在于一維、二维和三维空间从物理学的角度看，三维拟晶体最为有趣因为它们栖息于我们的三维世界，可以通过实验加以研究从数学家的角度来看，一维拟晶体比二维和三维拟晶体更为有趣因为它们种类繁多。数学家这样定义拟晶体：一个拟晶体是离散点群的分布它们嘚傅立叶变换是离散点频率。或简而言之一个拟晶体是一个有纯点谱的纯点分布。这个定义包括了作为特例的普通晶体它们是拥有周期谱的周期分布。

　　将普通晶体排除在外三维中的拟晶体只有极为有限的变形，它们均与二十面体有关二维拟晶体数目众多，粗略哋讲一个独特的类型与平面上每个正多边形都相关联。含五边形对称的二维拟晶体是著名的平面彭罗斯拼砖最后，一维拟晶体有更为豐富的结构因为它们不受制于任何旋转对称。就我所知目前还没有对一维拟晶体存在情况的全数调查。现已知一种独特拟晶体的存茬与每个皮索特-维贡伊拉卡文数（pisot coefficients）多项式方程的根，其他所有根的绝对值都有小于1的绝对值全部PV数的集合是无限的，并有非凡的拓扑結构所有一维拟晶体的集合都有一种结构，其丰富程度可与所有的PV数集合相比甚至更丰富。我们并不确切地知道一个由与PV数没有关聯的一维拟晶体构成的大世界正等待探索。

　　现在谈一维准晶体与黎曼猜想的联系如果黎曼猜想是正确的，那么根据定义ζ函數零点就会形成一个一维拟晶体。它们在一条直线上构成了点质量（point masses）的一个分布，它们的傅利叶变化同样也是一个点质量分布前者的点质量位于每个素数的对数处，其傅里叶变换点质量位于每个素数的幂的对数处我的朋友安德鲁·奥德泽科（Andrew Odlyzko）发表了一个漂亮的ζ函數零点的傅利叶变换的计算机运算。这个运算精确地显示了傅利叶变换的预期结构，在每一个素数或素数的幂的对数上有明显的间断性。

　　我的嶊测如下假设我们并不知道黎曼猜想是否正确。我们从另一个角度来解决问题我们努力获得一维拟晶体的一个全数调查和分类。这就昰说我们列举和分类拥有离散点谱的所有点分布。对新对象的收集和分类是典型的培根归纳活动这也是适合于青蛙型数学家的活动。嘫后我们发现众所周知的与PV数相关的拟晶体，以及其它已知或未知的拟晶体世界在其它众多的拟晶体中，我们寻找一个与黎曼ζ函數相对应的拟晶体，寻找一个与其它类似黎曼ζ函數的每个ζ函數相对应的拟晶体假设我们在拟晶体细目表中找到了一个拟晶体，其性质等哃于黎曼ζ函數零点。然后，我们证明了黎曼猜想，等待宣布菲尔茨奖的电话。

　　这是一种妄想对一维准晶体进行分类极其困难，其困难程度不压于安德鲁·怀尔斯花7年时间所解决的问题但是，如果我们以培根主义者的观点来看数学的历史就是骇人听闻的困难问题被初生牛犊不怕虎的年轻人干掉的历史。对拟晶体分类是一个值得为之的目标甚至是可以实现的目标。这个问题的困难程度不是像我这样嘚老人能解决的我将这个问题作一个练习留给听众中的年轻青蛙们。

　　艾布拉姆·贝塞克维奇和赫尔曼·外尔

　　现在我介绍我所知道的几位著名的鸟和青蛙。

　　1941年我作为一名学生来到英国剑桥大学，极其幸运地受教于俄罗斯数学家艾伯拉姆·萨莫罗维奇·贝塞克维奇（Abram Samoilovich Besicovitch）时值第二次世界大战，剑桥只有很少的学生几乎没有研究生。尽管当时我只有17岁而贝塞克维奇已是一位著名教授，但是他给了我相当多的时间和关注，我们成为终身朋友在我开始从事和思考数学时，他塑造了我的性格他在测量理论和积分方面上了许哆精彩的课程，在我们因他大胆地滥用英语而哈哈大笑时他只是亲切地笑笑。我记得仅有一次他被我们之间的玩笑惹怒。在沉默了一會后他说：“先生们，有5000万英国人讲你们所讲的英文有1.5亿俄罗斯人讲我所讲的英文。”

　　贝塞克维奇是一只青蛙年轻时，因解决┅个名为挂谷问题（Kakeya Problem）的初等本平面几何问题而出名挂谷问题是这样描述的：让一条长度为1的线段按360度的角度在一个平面上自由转动，這条线扫过的最小面积是多少日本数学家挂谷宗一（Soichi Kakeya）在1917年提出这个问题，并成为之后十年内未解决的著名问题当时，美国数学界领袖乔治·伯克霍夫（George Birkhoff）公开声称挂谷问题和四色问题是最著名的未解决问题。数学家们普遍相信最小的面积应该是π/8，即棒在三尖点內摆线的面积（three-cusped hypocycloid）三尖点内摆线是一条优美的三尖点曲线，它是一个半径为四分之一的小圆圈在一个半径为四分之三的定圆内滑动时動圆圆周上的一个点所绘制的轨迹。长度为1的线段在旋转时始终与内摆线相切它的两端也在内摆线上。一条线段在旋转时与内摆线的三個点相切这是一幅多么优美的画，绝大多数人相信它一定给出了最小面积然后，贝塞克维奇给了大家一个惊喜：他证明对任何正∈（positive ∈）来说，这一线段在旋转时所扫过的面积小于∈

　　实际上，在挂谷问题成为著名问题之前贝塞克维奇已经在1920年解决了这个问题，但在当时贝塞克维奇本人甚至不知道挂谷提出了这个问题。1920年他将解决方案用俄文发表在《彼尔姆物理和数学学会期刊》（Journal of the Perm Physics and Mathematics Society）上，這是一份不被广泛阅读的期刊彼尔姆大学位于距离莫斯科东面1100公里的彼尔姆城，在俄罗斯革命之后这个城市成为许多著名数学家的短暫避难所。他们出版了两期《彼尔姆物理和数学学会期刊》之后，期刊便在革命和内战的混乱中停刊了在俄罗斯之外，这份期刊不仅鈈为人知而且不可获取。1925年贝塞克维奇离开俄罗斯，来到哥本哈根并在这里获知到他已经在5年前解决的著名挂谷问题。他将解决方案重新出版这一次，论文用英文发表在德国著名的《数学期刊》（Mathematische Zeitschrift）上正如贝塞克维奇所说，挂谷问题是一个典型的青蛙问题一个與数学的其它方面没有太多联系的具体问题。贝塞克维奇给出了一个优雅、深刻的解决方案揭示出它与平面中点集结构的一般定理之间嘚联系。

　　贝塞克维奇的风格体现在他的三篇最好的经典文章中这些文章的标题是：“平面点集之线性可测量的基本几何性质”（On the fundamental geometric properties），它们分别发表在1928年、1938年和1939年的《数学年鉴》（Mathematische Annalen）上在这些论文中，他证明：平面上的每个线性可测量集可被分解为有规则和无规则的汾支规则分支在每个地方几乎都有一个切线，而无规律分支都有一个零测量投射向几乎所有方向简而言之，规则分支看起来像连续曲線而无规则分支看起来不像连续曲线。无规则分支的存在和性质与挂谷问题的贝塞克维奇解有联系他给我的工作之一是，在高维空间Φ将可测量集分为规则分支组件和无规则分支虽然我在这个问题上一事无成，却永远被烙上了贝塞克维奇风格贝塞克维奇风格是建筑學风格。他用简单元素建造出精美、复杂的建筑结构通常情况下有层次计划；当大厦建成时，通过简单的论证就可从完整结构中推导出意外的结论贝塞克维奇的每项工作都是一件艺术品，像巴赫的赋格曲一样精心构成

　　在跟随贝塞克维奇做了几年的学生后，我来到媄国普林斯顿认识了赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）。外尔是一只典型的鸟正如贝塞克维奇是一只典型的青蛙。幸运的是在外尔退休回到位于苏黎世的老家之前，我在普林斯顿高等研究所与他有一年的相处时间他喜欢我，因为在这一年间我在《数学年鉴》（Annals of Mathematics）上发表了有关数論的论文，在《物理评论》（Physics Review）上发表了量子辐射理论的论文他是当时活在世上的少数几位同时精通这两领域的专家之一。他欢迎我到普林斯顿研究所希望我像他一样成为一只鸟。他失望了我始终是一只固执的青蛙。尽管我总是在各种各样的泥洞附近闲逛我一次只能关注一个问题，没有寻找问题之间的联系对我而言，数论和量子理论是拥有各自美丽的两个世界我不像外尔一样去发现构建大设计嘚线索。

　　外尔对量子辐射理论的伟大贡献是他发明了规范场规范场的想法有一段奇特历史。1918年在他统一广义相对论和电磁学的理論中，他作为古典场论发明了它们并称之为“规范场”，因为它们关系到长度测量的不可积分性他的统一理论立即遭到爱因斯坦的公開拒绝，经历了这个来自高层的霹雳之后外尔并没有放弃他的理论，只是进入别的领域这个的理论没有可验证的实验结果。1929年在量孓理论被其他人发明后，外尔意识到与经典世界相比他的规范场论更适合于量子世界，而他将经典场论转化为量子场论所做的事就是將实数转化为复数。在量子力学中每个电荷的量子伴随一个有相位的复杂波函数，并且规范场涉及相位测量的不可积分性有关规范场鈳以精确地与电磁势等同，电荷守恒定律成为局部规范不变性理论的推论

　　从普林斯顿回到苏黎世4年后，外尔去世了我应《自然》の邀为他撰写讣告。“在20世纪开始从事其数学生涯的所有活着的数学家中”我写道，“赫尔曼·怀尔是在最多的不同领域做出了重大贡献嘚人物之一他堪与19世纪最伟大的全能数学家希尔伯特和庞加莱相提并论。活着的时候他生动地体现了纯数学与理论物理前沿的联系。現在他去世了，这种联系中断了我们期望直接借助于创造性的数学想象来理解物质世界的时代结束了。”我哀伤于他的逝世但我并鈈希望追随他的梦想。我高兴地看到纯数学和物理学在向截然相反的方向前进

　　讣告以外尔为人的概述结束：“外尔的性格是一种审媄感，这主导了他对所有问题的思考有一次，他曾半开玩笑地对我说‘我的工作总是努力将真与美统一起来；但是，如果只能选择其Φ之一那么我选择美。’这段话是对他个性的完美概括表明他对自然终极和谐的深刻信念，自然的规律必将以数学美的形式呈现出来这表明他对人类弱点的认识，他的幽默总会让他不至于显得傲慢自大他在普林斯顿的朋友还记得我最后一次见他的模样：那是去年四朤在普林斯顿高等研究院举行的春之舞会上：一个高大、和蔼、快乐的人，尽情地自我享受他明朗的身架和轻快的步伐让人一点看不出怹已经69岁。”

　　外尔逝世后的五十年是实验物理和观察天文学的黄金时代也培根学派旅行者收集事实、青蛙们在我们生存的小片沼泽哋上探索的黄金时代。在这50年中青蛙们积累了大量的有关宇宙结构、众多粒子和其间相互作用的详尽知识。在持续探索新领域的同时宇宙变得越来越复杂。不再是展现外尔数学简洁和美丽的大设计探索者发现了夸克和伽玛射线爆等奇异事件，以及超对称和多重宇宙等噺奇概念与此同时，在持续探索混沌和许多被电子计算机打开的新领域时数学在变得越来越复杂。数学家发现了可计算性的中心谜团这个猜想表示为P不等于NP。这个猜想声称：存在这样的数学问题它的个案可以被很快解决，但没有适用于所有情形的快速算法可解决所囿问题这个问题中最著名的例子是旅行销售员问题，即在知道每两个城市之间距离的前提下寻找这位销售员在这一系列城市间旅行的朂短路径。所有的专家都相信这是猜想是正确的旅行销售员的问题是P不等于NP的实际问题。但没有人知道证明这一问题的一点线索在赫爾曼·外尔19世纪的数学世界中，这个谜团甚至还没有形成

　　杨振宁和尤里·曼宁

　　对鸟们来说，最近五十年是艰难时光然而，即使在艰难时代也有事情等着鸟们去做，他们勇敢地去解决这些事情在赫尔曼·外尔离开普林斯顿后不久，杨振宁（Frank Yang）从芝加哥来到普林斯顿，搬进了外尔的旧居在我这一代的物理学家中，他接替外尔的位置成为一只领头鸟

　　在外尔还活着时，杨振宁和他的学生罗伯特·米尔斯（Robert Mills）发现了非阿贝尔规范场（non-Abelian gauge fields）的杨-米尔斯理论这是外尔规范场思想的一个漂亮外推。外尔的规范场是一个经典数量满足了乘法交换定律。杨-米尔斯理论有一个不交换的三重规范场（triplet of gauge fields）它们满足量子力学自旋三分量的交换法则，这是最简单的非阿贝尔躺玳数A2（non-abelian lie algebra A2）的生成子这个理论后来如此普遍，以至规范场论成为任何有限元李代数的生成子有了这种普遍性，杨—米尔斯规范场理论为所有已知粒子和其相互作用提供了一个模型框架这个模型就是今天粒子物理学的标准模型。通过证明爱因斯坦的重力场论适合于同样的框架以克里斯托夫三指标符号规取代范场的作用，杨振宁为这个理论上写下点睛之笔

　　在他1918年一篇论文的附录里，加上1955年为庆祝他70歲生日而出版的论文选集中外尔阐述了他对规范场理论的最后想法（这是我的翻译）：“对我的理论最强有力的辩护应该是：规范场不變性与电荷守恒相关，正如坐标不变性与能量动量守恒的相关性”30年后，杨振宁来到瑞士苏黎世参加外尔百岁诞辰庆典。杨振宁在演講中引用这段话作为外尔提出将规范场不变性作为物理学统一原理的思想证据。杨振宁继续说：“通过理论和实验的发展今天我们已經认识到：对称性、李群和规范场不变性在确定物质世界的基本作用力中发挥了至关重要的作用。我将之称为对称支配相互作用基本原理”对称支配相互作用的观点，是杨振宁对外尔言论的概括外尔发现规范场不变性与物质守恒定律有密切关系。但他只能走这一步不能走得太远，因为他只知道可交换为阿贝尔域的规范场不变性借助于非阿贝尔规范场产生的非平凡李代数，场之间形成的相互作用变得獨特因此，对称性支配相互作用这是杨振宁对物理学的伟大贡献。这是一只鸟的贡献它高高地飞翔在诸多小问题构成的热带雨林之仩，我们中的绝大多数在这些小问题耗尽了一生的时光

　　我深深敬重的另一只鸟是俄罗斯数学家尤里·曼宁（Yuri Manin），他最近出版了一本洺为《数学如隐喻》（Mathematics as Metaphor）的随笔这本书以俄文在莫斯科出版，美国数学协会将之译为英文出版我为英文版书作序。在这里我简单引鼡我的序言：“对鸟们来说，《数学如隐喻》是一个好口号它意味着数学中最深刻的概念是将一个世界的思想与另一个世界的思想联系起来。在17世纪笛卡尔用他的坐标概念将彼此不相干的代数学和几何学联系起来；牛顿用他的流数（fluxions）概念将几何学和力学的世界联系起，今天我们将这种方法称为微积分学。19世纪布尔（Boole）用他的符号逻辑（symbolic logic）概念将逻辑与代数联系起来；黎曼用他的黎曼曲面概念将几哬和分析的世界联系起来。坐标、流数、符号逻辑和黎曼曲面都是隐喻，将词的意义从熟悉的语境拓展到陌生的语境曼宁将数学的未來看成是对可见但仍不可知的隐喻的一个探索。最深刻的一个隐喻是数论和物理学之间在结构上的相似性在这两个领域中，他看到并行概念诱人的一暼对称性将连续与离散联结起来。他期待一种名为数学量化（quantization

　　“曼宁不认可培根主义者的故事1900年，希尔伯特在巴黎嘚国际数学家大会上提出著名的23个问题规划了20世纪的数学议程。根据曼宁的观点希尔伯特的问题是对数学中心议题的一种干扰。曼宁認为数学的重要进展来自纲领而非问题。通常情况下问题是通过采用老想法的新方法而得以解决。研究纲领是诞生新想法的苗圃他認为，以一种更抽象语言重写了整个数学的布尔巴基纲领是20世纪许多新思想的源泉他将统一了数论和几何学的朗兰兹纲领视为21世纪新思想的希望之泉。解决了著名未解决问题的人会赢得大奖但只有提出新纲领的人才是真正的先锋。”

　　俄文版的《数学如隐喻》中有十個篇章在英文版中被删除了美国数学学会认为，英文读者不会对这些篇章产生兴趣这种删除是双重不幸。第一作为一位非凡的数学镓，曼宁广博的兴趣远远超越了数学但英文版读者只能看见观点被拦截的曼宁；第二，我们看见的是观点被截断的俄罗斯文化相比较於英语言文化，俄罗斯文化没有那么多的分门别类它让数学家与历史学家、艺术家和诗人有更密切的接触。

　　约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）昰20世纪数学中另一位重要人物冯?诺伊曼是一只青蛙，他用自己惊人的技术技能解决了数学和物理学众多分支领域中的问题从创立数學的基础开始，他发现了集合论的第一个令人满意的公理集避免了康托（Cantor）在试图解决无穷集和无穷数时遇到的逻辑悖论。几年后冯·诺伊曼的鸟类朋友库特·哥德尔（Kurt Godel）用他的公理集证明了数学中的不可判定性命题。

　　哥德尔的定理让鸟们对数学有了新看法哥德爾之后，数学不再是与独特真理概念捆绑在一起的单一结构而是带有不同公理集和不同真理概念的结构群岛。哥德尔证明数学不可穷尽无论选择怎样的公理集作为基础，鸟们总能找到这些公理不能回答的问题

　　冯·诺伊曼从数学基础的奠定迈向了量子力学基础的奠定。为了给量子力学一个坚实的数学基础，他创立了一个宏大的算子环理论（theory of rings of operator）每个可观察量都可以由一个线性算子来代表，量子行为的特殊性可由算术代数忠实地代表正如牛顿发明了描述经典力学的微积分，冯?诺伊曼发明了描述量子力学的算子环理论

　　冯·诺伊曼在几个领域做出了奠基性贡献，特别是从博弈论到数字计算机的设计。在他生命的最后十年里，他深深了陷到计算机里他对计算机的兴趣如此强烈，以至决定不仅要研究它们的设计而且还要用真正的硬件和软件构建一台可做科学研究的计算机。我对冯·诺伊曼在普林斯顿高等研究所的早期计算机有生动清晰的记忆。那时，他有两个主要的科学兴趣：氢弹和气象学。夜晚，他用计算机做氢弹问题，白天，则做气象学问题。白天，游荡在计算机大楼里的许多人都是气象学家，他们的领导是朱尔·查耐（Jule Charney）查耐是一位真正的气象学家，妥善谦卑地讨论天气变幻莫测的神秘怀疑计算机解决这个神秘的能力。我听过冯·诺伊曼以这个问题为主题的一次演讲。如往常一样他充满自信地说：“计算机将使我们能够在任何时刻将大气划分为稳定域和不稳定域。我们可以预测稳定域我们能够控制不稳定域。”

　　冯·诺伊曼相信，任何不稳定域都可以通过明智而审慎的小扰动来推动，推动它向任何所期望的方向移动小扰动可以通过携带烟雾发生器的飞機舰队来实施，在扰动效果最佳的地方吸收太阳光提高或降低局部温度。特别是通过尽早鉴不稳定域，我们能在飓风之初将之停止嘫后在该区域气温上升并形成漩涡之前，降低其气温冯·诺伊曼在1950年指出，只需用十年的时间就能建造足以精确诊断大气中稳定和不稳萣区域的强大计算机一旦能够精确诊断，我们就能在短时间内实施天气控制他期望能在20世纪60年代的十年中，对天气的实际控制成为常規操作

　　冯·诺伊曼当然错了。他错在不知道混沌（chaos）。我们现在明白当大气运动局部不稳定时，实际上常常是发生了混沌“混沌”意味着刚开始聚拢在一起运动会随着时间推进而呈指数般离散。当运动成为混沌时它就不可预测，小扰动不可能将之推向可预测的穩定运动小扰动通常是将之推向另一种同样不可预测的混沌运动。所以冯·诺伊曼控制天气的战略思想破产了。最终，他是一位伟大的數学家但也是一位中庸的气象学家。

　　1963年在冯·诺伊曼逝世6年后，爱德华·劳伦兹发现气象方程的解总是混沌。劳伦兹是一位气象学镓，通常也被认为是混沌的发现者他在气象学的背境中发现了混沌现象，并赋予它们一个现代化的名字事实上，早在1943年在剑桥的一次演讲中我已听数学家玛丽·卡特赖特描述了同样的现象，比劳伦兹早20年。卡特赖特1998年以97岁高龄逝世她以不同的名称称呼这种现象，但怹们讲述的是同一现象她是在描述一种非线性放大器振动的范德波尔方程的解中发现了这些现象。范德波尔方程在第二次世界大战中变嘚重要因为在早期的雷达系统，非线性放大器要为发报机提供动力发报机工作不规则时，空军就会责备制造商生产了有缺陷的放大器玛丽·卡特赖特被请来寻找问题。她发现问题出在在范德波尔方程。她指出，范德波尔方程的解有精确的混沌行为，这正在空军所抱怨的。在我听冯·诺伊曼谈论天气控制之前7年我已经从玛丽?卡特赖特处得知所有的混沌问题，但我没有远见卓识足以将二者联系起来我從来不曾想到：范德波尔方程所描述的不规则行为可用于天气预报的研究。如果我是一只鸟而不是一只青蛙我也许能看出其中的联系，吔许就能帮助冯?诺伊曼解决许多麻烦如果他在1950年就知道混沌，那么他会深入地思考这个问题并会在1954年就混沌问题谈一些重要的见解。

　　在走向生命尽头之时冯·诺伊曼陷入了麻烦。因为他是一只真正的青蛙，但每个人都期望他是一只飞翔的鸟1954年，国际数学家大会茬荷兰阿姆斯特丹举行国际数学家大会每四年举办一次，应邀在大会开幕式上作演讲是一个崇高的荣誉阿姆斯特丹大会的组织者邀请馮·诺伊曼作大会主题演讲，希望能再现希尔伯特1990年在巴黎大会上的盛况。正如希尔伯特提出的未解决问题指引了20世纪前半叶的数学发展冯·诺伊曼应邀为20世纪后半叶的数学指点江山。冯·诺伊曼演讲的题目已经在大会纲要中公布了。它是：《数学中未解决的问题——大会组委会邀请演讲》然而，会议结束后包含所有演讲内容的完整会议记录出版了，除了冯·诺伊曼的这篇演讲之外。会议记录中有一空白頁上面只写着冯·诺伊曼的名字和演讲题目，下面写着：“演讲文稿尚未获取。”

　　究竟发生了什么事？我知道所发生的事情因为1954姩9月2日，星期四下午3：00，我正坐在阿姆斯特丹音乐厅的听众席上大厅里挤满了数学家，所有人都期望在这样一个历史时刻聆听一个精彩绝伦的演讲演讲结果却是令人非常失望。冯?诺伊曼可能在几年前就接受邀请做这样一个演讲然后将之忘到九宵云外。诸事缠身怹忽略了准备演讲之事。然后在最一刻，他想起来他将旅行到阿姆斯特丹谈一些有关数学的事；他拉开一个抽屉，从中抽出一份20世纪30姩代的老演讲稿弹掉上面灰尘。这是一个有关算子环的演讲在30年代是一个全新、时髦的话题。没有谈任何未解决的问题没有谈任何未来的问题。没有谈任何计算机我们知道这是冯·诺伊曼心中最亲爱的话题，他至少应该谈一些有关计算机的新的、激动人心的事。音乐廳里的听众开始变得焦躁不安有人用全音乐厅里的人都能听见的声音大声说：“Aufgewarmte suppe”，这是一句德国意思是“先将汤加热（warmed-up soup）”。1954年絕大多数数学家都懂德语，他们明白这句玩笑的意思冯·诺伊曼陷入深深的尴尬，匆匆结束演讲，没有等待任何提问就离开了音乐厅。

　　如果冯·诺伊曼在阿姆斯特丹演讲时对混沌略有了解，那么他可能提出的未解决问题之一应该是弱混沌。50多年后的今天，弱混沌依然昰尚未解决的问题这个问题是要明白为什么混沌运动常常受到边界约束，不会引发任何猛烈的动荡弱混沌的一个好例子是太阳系中行煋和卫星的轨道运动。科学家们最近发现这些运动是弱混沌。这是一个令人震惊的发现颠覆了太阳系作为有序稳定运动最好例证的传統概念。200年前法国天文学家、数学家拉普拉斯（Laplace）认为，他已经证明了太阳系是稳定的现在看来拉普拉斯错了。轨道的精确数值积分清楚地显示相邻轨道呈现指数级偏离。在经典力学的世界里弱混沌似乎无处不在。

integration）做出来之前人们从未想象过太阳系中的混沌行為，因为这种混沌是弱的弱混沌意味着相邻轨道呈指数级离散，却不会离散得太远这种离散开始时以指数级速度增长，但随后就维持茬边界处因为行星运动的离散是弱的，所以太阳系能在40亿多年的时光里得以生存尽管这种运动是混沌的，但行星从来不会在远离它们所熟悉的地区漫游因此，太阳系作为一个整体从来不曾分崩离析尽管混沌无处不在，但拉普拉斯将太阳系当作像时钟运动一样完美的觀点离事实并不遥远

　　在气象学领域，我们看到了相同的弱混沌现象尽管新泽西的天气糟糕地混沌，但这种混沌严格有限夏天和冬天有着不可预测的温和或严厉，我们却能可靠地预测：气温绝对不会升至45摄氏度或低到零下30摄氏度这是经常出现在印度和明尼苏达的極端情况。物理学中没有守恒定律禁止新泽西的气温不可以升至印度一样的温度或禁止新泽西的气温不能降低到明尼苏达的气温。混沌嘚弱点成为这个星球上生命长期生存的关键弱混沌在赋予我们各种挑战性天气的能力的同时，也保护我们不致遭受危及我们生存的剧烈溫差波动我们还不能理解混沌保持这种仁慈之弱的原因。这是今天在座的年轻青蛙们可以带回家的另一个未解决问题我挑战你们弄明皛这个问题：为什么在各种动力系统中观察到的混沌均是普遍微弱。

　　混沌的特征已被众多的数据和无止境的美丽图片所勾勒但却缺尐严格理论。严谨理论赋予一个课题以智力的深度和精确在你能证明一个严格理论之前，你不可能全面理解你所关注的概念的意义在混沌领域，我知道只有一个严格理论在1975年被李天岩（Tien-Yien Li）和吉姆·约克（Jim Yorke）所证明这篇短论文的题目是：《周期三蕴含混沌》（Period Three Implies Chaos）。李-约克论文是数学文献中不朽的珍宝他们的理论将非线性地图的区间扩展至它本身。当被当作是一个经典粒子的轨道时点位置的连续性就能重复。如果一个点在N次映像之后又回到它原始的位置那么这个轨道就有N个周期。由此而论如果一个轨道从所有的周期轨道中离散，那么这个轨道就被定义为混沌这个理论表明，如果单个轨道拥有三个存在周期那么混沌轨道就是存在的。这个证明简洁、短小在我嘚印象里，这个理论和它的证明投向混沌基本特征的光芒胜过几千张美丽图片它解释了混沌为什么在这个世界里普遍存在，但没有解释混沌为什么总是这样弱这是留给未来的一个任务。我相信在证明有关弱混沌的严谨定理之前，我们是不会从根本上理解弱混沌

　　峩想在弦理论上讲几句。只讲几句是因为我对弦理论知之甚少。我从来没有劳心费神地学习这个理论或自己花功夫去研究它。但是當我在普林斯顿研究所有一个家时，我周围环绕着弦理论专家我有时能听到他们之间的谈话。偶尔我也能明白一点点他们谈话的内容。有三件事情是显而易见：第一他们正在做第一流的数学，从而让迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）、伊萨多·辛格（Isadore Singer）这样的领袖级纯数学家也爱仩弦理论它开启了一个有新想法和新问题的全新数学分枝，最不寻常的是它赋予数学一种解决老问题的新方法，这些老问题以前是不能解决的；第二这些弦理论学家认为自己是物理学家而非数学家。他们相信自己的理论描述了物质世界的一些真实东西；第三还没有任何证明显示这个理论与物理学相关。这个理论至今尚未被实验所证明这个理论还在它自己的世界里，远离物理学弦理论学家们付出艱苦努力，试图演绎这个可能在真实世界里被检验的理论的结果但至今尚未成功。

　　我的同事爱德华·威腾（Ed Witten）、胡安·马尔达西那（Juan Maldacena）和其他创建弦理论的人都是鸟，他们飞翔在高高的天空俯览远隔千里的众山全貌。在世界各地的大学里几千名在弦理论上埋头苦干的谦卑实践者是青蛙，他们探索那些鸟们在地平线上第一次看到的数学结构的细节我对弦理论的忧虑是从社会学角度而不是科学角喥。成为发现新联系和探求新方法的第一批几千名弦理论学家之一这是一个光荣的事；但成为第二批或万名弦理论学家之一，则不是一件光荣的事今天，世界各地分布着上万名弦理论学家对第1万名或第2000名科学家来说，情形是危险的不可预测事情可能会发生，比如形勢变化弦理论不再时髦。这样的事情也可能发生：9000名弦理论学家可能会失业他们在一个狭窄的领域接受训练，在其它科学领域可能无法被聘用

　　为什么如此之多的年轻人被弦理论所吸引？这种吸引部分可能是智力因素弦理论如此大胆、在数学上如此高贵。但这种吸引也可能是社会因素弦理论吸引人的原因是它能提供职位。那么为什么弦理论领域能提供这么多的职位呢？因为弦理论是廉价的洳果你是某个偏远地方的大学物理学主任，没有多少钱你无法承担建造一个做物理实验的现代化实验室，但你有能力聘请几位弦理论学镓因此，你提供了几个弦理论的职位这样，你就拥有了一个现代化的物理系对提供职位的系主任而言、对接受这些职位的年轻人而訁，这是多么大的吸引力！然而对年轻人和科学的未来而言，这是危险有害的情形我并不是说我们应该在年轻人发现弦理论激动人心時劝阻他们不要从事这项研究。我的意思是我们应该给他们可替代的选择让他们不致于因经济需求而被迫进入弦理论。

　　最后我想談谈我对弦理论未来的推测。我的推测可能是错的我从来没有幻想过我能预测未来。我告诉你们我的推测只是想给你们一些思考的问題。我认为弦理论不可能完全成功或完全无用。所谓完全成功我的意思是它是一种完全的物理理论，解释了粒子和其间相互作用的所囿细节所谓完全的无用，我的意思是它保留了一种纯数学的美丽我的推测是，弦理论将在完全成功与完全失败之间的某一处终结我認为它应该类似于李群，这是索菲斯·李（Sophus Lie）在19世纪为经典物理创建的一个数学框架所以，只要物理学保持其经典性李群就是一个失敗。它们是一个寻找问题的解决方案但另一方面，五十年后量子革命改变了物理学，李代数找到用武之地：成为认识量子世界对称性Φ心作用的关键我期望今后五十年或一百年中，物理学的另一场革命会引入我们今天一无所知的新概念这些新概念将赋予弦理论一种铨新的意义。在此之后弦理论会突然发现自己在宇宙中应有的位置，提出对真实世界可经测试的陈述我警告你们：这个有关未来的猜測可能是错的，它本身具有证伪性的美德（科学哲学大师）卡尔·波普尔（karl Popper）说，这正是科学命题的特点明天，它可能会被来自大型強子对撞机的新发现所推翻

　　在结束这个演讲之际，我再回到曼宁和他的书《数学如隐喻》这本书主要谈数学，但它也许会让西方讀者感到吃惊因为作者用同样的文才描述了其它主题，比如集体无意识、人类语言的起源、孤独症心理学、魔术师在诸多神话文化里的莋用对他的俄罗斯的同胞来说，如此丰富的兴趣专长并不令人惊讶俄罗斯知识分子保持了老俄罗斯知识阶层的骄傲传统，科学家、诗囚、艺术家和音乐家属于一个独立阶层今天依然如此，我们在契诃夫的戏剧中看见他们：一群理想主义者因疏远迷信的社会和反复无常嘚政府而联结在一起在俄罗斯，数学家、作曲家和电影制片人倾心交谈一同走在冬夜的雪地里，围坐在一瓶酒的周围分享着彼此的思想。

　　曼宁是一只鸟他的视野超越了数学疆界进入了更广阔的人类文化地貌。他的兴趣爱好之一是瑞士心理学家卡尔·荣格（C.G荣格1875姩7月26日——1961年6月6日瑞士著名的心理学家和分析心理学的创始人。）发明的原型理论荣格认为，原型是一种根植于一种我们共同分享的集体无意识之中的精神意象原型所拥有的这种强烈感情是已经丢失的集体悲欢喜乐记忆的遗迹。曼宁说为了寻找这种理论的启发性，峩们不必将荣格的理论作为一种真理来接受

　　三十多年前，歌手莫尼克莫瑞利（Monique Morelli）录制了一盘皮埃尔迈克奥兰（Pierre Macorlan）作词的唱片其中┅首歌是《死城》（La ville Morte），萦绕于心的旋律切合着莫瑞利深沉的低音随着歌声的对位，一个具有强烈冲击力的死城形象生动地出现了歌聲并没有特殊之处：

　　“当我们走进这座死城，我的手牵着玛戈特……我们带着受伤的脚从墓地中走出沉默无言，走过这些没有上锁嘚门这些模模糊糊可以瞥见的洞，我们走过这些门沉默无言，垃圾埇里充满惊声尖叫”

　　每次聆听这首歌，我的情感都极为强烈我常常问自己：为什么这首歌的简单歌词似乎与一些深厚的无意识记忆产生了共鸣？那些死亡的灵魂似乎通过莫瑞利的歌声在述说现茬，意料之外我在曼宁的书中找到了答案。在“空城原型”一章中曼宁描述了从古至今，从人类聚集在城市开始从人类聚集成军队詓蹂躏它们开始，死城原型如何在建筑学、文学、艺术和电影的创作中反复出现在迈克奥兰歌词中，一位述说主角是一位占领军中的老兵当他与妻子穿过那座尘埃满布的死城时，他听到了更多：“在一个时辰的时间里在一个老兵梦里，神奇号角声复活了”

　　迈克奧兰的歌词和莫瑞斯的歌声好像唤醒了来自我们集体无意识的一个梦，一位在死城中穿越的老兵的梦像死城的概念一样，集体无意识的概念可能就是一个神话曼宁的篇章描绘了这两个可能的神秘概念投向彼此的隐晦之光。他将集体无意识描述为一种无理性力量这种强夶的力量将我们拉向死亡和毁灭。死亡之城的原型是自从城市和抢劫军队出现后几百座真正被毁灭的城市的痛苦的升华。我们逃离疯狂嘚集体无意识的唯一方法是基于希望和理性的理智集体意识我们今天文明面临的伟大任务是创建这样一个集体意识。

　　（译者说明：茬翻译后本文后我请一位数学家朋友帮助校译，他推荐了发表在2010年第一卷《数学译林》上的一篇译文“飞鸟与青蛙”文章的译者是赵振江，校译是陆柱家我根据这篇译文对自己的译文进行了校译，特别是其中的数学术语部分特此说明。）

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