* (4) 解 收敛半径为 收敛； 发散. * 第四节 冪级数 1、定义： 一、函数项级数的一般概念 即为一数项级数. * 2、收敛点与收敛域： 3、和函数： * 3、和函数： 显然有, * 解 将此级数看成是带参数的任意项级数处理, 原级数绝对收敛. 例1 由达朗贝尔比值判别法 * 原级数发散. 收敛; 发散; 解 例1 * 二、幂级数 1、幂级数的定义 级数 称为关于 x 的幂级数. (1) (2) (1)与(2)鈳通过变换 互相转换. * 2、幂级数的收敛半径和收敛域 于原点对称的区间. 幂级数的收敛域具有如下特点： 对于幂级数,主要研究以下问题： 1、求冪级数的收敛域例题半径,收敛域(区间)； 2、在收敛域(区间)上,求幂级数的和函数； 3、给定一个函数,在指定区间上将它展开成幂级数； * 定理 (阿贝爾Abel定理) 收敛区域 发散区域 发散区域 几何解释： * 证明 定理 (阿贝尔Abel定理) * 定理 (阿贝尔Abel定理) 由比较判别法知, 证明 (1) * 定理 (阿贝尔Abel定理) 证明 由(1)的结论, 这与所设矛盾. * 定理 (阿贝尔Abel定理) 收敛 发散 收敛 * 收敛区域 发散区域 发散区域 几何解释： 正数 R 称为幂级数 的收敛半径. 称为幂级数 的收敛区间. 的收敛域： 之一 * （2）在整个数轴上均收敛； 规定： 问题：如何求幂级数的收敛域例题半径? * 定理 直接地讲，就是 * 证明 * 证毕. * 例2 求幂级数 的收敛半径和收斂域. 解 发散； 收敛； * 例3 求下列幂级数的收敛半径和收敛域. * 例3 求下列幂级数的收敛半径和收敛域. (1) 解 发散； 收敛. * 一般地 例3 求下列幂级数的收斂半径和收敛域. * 例3 求下列幂级数的收敛半径和收敛域. 解 * 例3 求下列幂级数的收敛半径和收敛域. 解 * 作业： 说明：题目中的收敛区间指的是收敛域，即端点是要 讨论判断的. * (4) 解 例3 求下列幂级数的收敛半径和收敛域. 收敛 发散 故原级数的收敛半径 收敛域为(0,1]. * 例3 求下列幂级数的收敛半径和收斂域. 解 发散 发散 所以收敛域为 知识回顾 1、收敛半径定义及计算 正数R 满足： 2、收敛区间收敛域 收敛区间： 收敛域： 计算公式： * 缺一不可 * 例4 求幂级数 的收敛半径和收敛域. 解 常见错解 分析： 缺少偶次幂的项 不能用公式法求收敛半径, 用定义法求. 注 若幂级数 为缺项级数(有无穷多项 ) 则鈈能用公式法求其收敛半径，必须用定义法求. * 例4 求幂级数 的收敛半径和收敛域. 解 用定义法求收敛半径 发散. 所以原级数的收敛域为 级数 绝对收敛； 级数 发散； * 例4 求幂级数 的收敛半径和收敛域. 解 常见错误 这里即使采用变换后,仍然不能应用公式求收敛半径. 由于n取的是正整数值,因此這里的t仍然只能取奇数值 故变换后的级数仍然是缺项级数. * 作业： 说明：题目中的收敛区间指的是收敛域，即端点是要 讨论判断的.