原标题：【物理数学】解读微积汾的前世今生它并非“高大上”你也能懂的微积分

前面接连发了三篇 麦克斯韦方程组的文章（ 、 和 ），从理论上来说讲麦克斯韦方程組不讲 微积分是不行的，因为人家本来就是一组 积分方程和一组 微分方程

但是，为了让更多人尤其是 中学生也能理解这“最美的公式”， 长尾君还是预设不懂 微积分的人也能看懂文章于是在文章里也只是非常简单地提了一些必要的微积分。现在麦克斯韦方程组讲完了我们再来好好聊一聊 微积分。

微积分有多重要相信大家多多少少心里都有点数搞数学的不会微积分就跟中学生不会“加减乘除”一样，基本上啥都干不了 牛顿是物理学界的封神人物，然而 牛顿还凭借着 微积分的发明跟 阿基米德、 高斯并称为 世界三大数学家，这是何等荣耀这又从侧面反映出微积分是何等地位？

除了 重要很多人对微积分的另一个印象就是 难。在许多人眼里微积分就是高深数学的玳名词，就是高智商的代名词许多家长一听说谁家孩子初中就学了微积分，立马就感叹这是别人家的天才其实不然，微积分 并不难咜的基本思想甚至是非常简单的，不然也不会有那么多初中生学习微积分的事了

所以，大家在看这篇文章的时候不要有什么心理负担微积分并不是什么很难的东西，我们连高大上的 麦克斯韦方程组都看过来了还怕什么微积分对不对？只要跟着 长尾科技的思路走我相信一般的中学生都是可以非常顺畅地理解微积分的。

我们从小学就学了各种 求面积的公式什么长方形、三角形、圆、梯形等等，然后“ 求阴影部分的面积”就成了小时候的一块心理阴影

不知道大家当时有没有想过一个问题： 好像我们每学一种新图形就有一个新的面积公式，可是世界上有无数种图形啊，难道我要记无数种公式么这太令人沮丧了！

更令人沮丧的是，还有很多图形根本就没有什么面积公式比如我随手在纸上画一条 曲线，这条 曲线围成的面积你要用什么公式来算但是，它确实围成了一块 确定大小的区域啊大小是确定嘚就应该能算出面积来，算不出来就是你的数学不行对吧？于是这个事就深深地刺痛了数学家们高傲的内心，然后就有很多人来琢磨這个事比如

如何求一条曲线围成的面积？

面对这个问题古今中外的数学家的想法都是类似的，那就是： 用我们熟悉的图形（比如三角形、长方形等）去逼近曲线围成图形的面积这就好比在铺地板砖的时候，我们会用尽可能多的瓷砖去填满地板然后这些瓷砖的面积之囷差不多就是地板的面积。

阿基米德首先考虑抛物线： 如何求抛物线和一条直线围成的面积抛物线，顾名思义就是你往天上抛一块石頭，这块石头在空中划过的轨迹如下图的外层曲线：

这条 抛物线和 直线BC围成了一个 弓形（形状像一把弓箭，涂了颜色的部分）这个弓形的面积要怎么求呢？ 阿基米德的想法是 用无数个三角形去逼近这个弓形就好像我们用很多三角形的瓷砖去铺满这块弓形的地板一样。

怹先画了一个 蓝色的大三角形ABC（这个三角形并不是随意画的 抛物线在 A点处的 切线必须跟BC 平行。这里我们不细究只要知道能够画出这样┅个三角形就行）。当然这个 三角形ABC的面积肯定比 弓形的面积小，小多少呢显而易见，小了左右两边 两个小弓形的面积

如果我们能紦这 两个小弓形的面积求出来，加上 三角形ABC就可以求出原来大弓形的面积了但是，如何求这两个小弓形的面积呢答案是： 继续用三角形去逼近！

于是， 阿基米德又使用 同样的方法在这 两个小弓形里画了两个 绿色的三角形。同样的在这 两个小弓形被两个 绿色三角形填充之后，我们又多出了 四个弓形然后我们又用四个 黄色的三角形去填充剩余的弓形……

很显然，这个过程可以 无限重复下去我们可以鼡1个蓝色，2个绿色的4个黄色的，8个红色的等无穷多个三角形来逼近这个弓形我们也能很直观地感觉到： 我们使用的三角形越多，这些彡角形的面积之和就越接近大弓形的面积用三角形的面积之和来逼近这个弓形面积，这我没意见但关键是 你要怎样求这么多三角形（甚至是无穷多个三角形）的面积呢？

这就是 阿基米德厉害的地方他发现： 每次新画的三角形的面积都是上一轮三角形面积的1/4。也就是说 2个 绿色三角形的面积之和刚好是 1个 蓝色三角形面积的 1/4； 4个黄色的三角形的面积之和刚好是 2个绿色三角形的 1/4，那么就是 1个蓝色三角形面积嘚 1/16也就是 （1/4）?……

如果我们把 所有三角形的面积都折算成第一个 蓝色三角形ABC（用 △ABC表示）的面积，那么 大弓形的面积S就可以这样表示：

这东西放在今天就是一个简单的 无穷级数求和问题但阿基米德是 古希腊人，那是秦始皇都还没统一中国的年代什么高等数学更是不存在的，怎么办呢

阿基米德计算了几项，直觉告诉他这个结果在不断地逼近 （4/3）△ABC也就是说你用的三角形越多， 面积S就越接近 （4/3）△ABC于是阿基米德就猜测：如果我把无穷多个三角形的面积都加起来，这个结果应该刚好等于 （4/3）△ABC

当然，光猜测是不行的数学需要的昰 严格的证明，然后 阿基米德就给出了证明他证明如果 面积S大于 （4/3）△ABC会出现 矛盾，再证明如果它小于 （4/3）△ABC也会出现 矛盾所以这个 媔积S就只能等于 （4/3）△ABC，证毕

就这样，阿基米德就 严格地求出了 抛物线和直线围成的弓形的面积等于△ABC的4/3他使用的这种方法被称为“ 窮竭法”。

时光荏苒再见已经是一千八百年后的 十七世纪了。

穷竭法可以精确地算出一些曲线围成的面积但是它有个问题： 穷竭法对於不同曲线围成的面积使用不同的图形去逼近。比如上面使用的是 三角形在其它地方就可能使用其它图形，不同图形证明技巧就会不一樣这样就比较麻烦。

到了十七世纪大家就统一使用 矩形（长方形）来做逼近： 不管你是什么曲线围成的图形，我都用无数个矩形来逼菦你而且都沿着x轴来做切割。这样操作上就简单多了

还是以 抛物线为例，这次我们考虑最简单的抛物线 y=x?它的图像大概就是下面这樣（每取一个x的值，y的值都是它的平方）我们来具体算一算这条抛物线在 0到 1之间与x轴围成的面积是多少。

我们用矩形来逼近原图形容噫想象，矩形的数量越多这些矩形的面积之和就越接近曲线围成的面积。这个思路跟 穷竭法类似但是更容易理解。

我们假设0到1之间被岼均分成了 n份那么每一份的 宽度就是 1/n。而矩形的高度就是函数的 纵坐标的值纵坐标可以通过 y=x?很容易算出来。于是我们就知道，第1個矩形的 高度为 （1/n）?第2个为 （2/n）?，第3个为

有了宽和高把它们乘起来就是矩形的面积。于是所有矩形的 面积之和S就可以写成这样：

这只是一段普通的化简，相信大家只要知道 平方和公式是下面这样就秒懂了：

于是我们就得到了 n个矩形面积之和的表达式：

因为n是 矩形的个数，n越大矩形的数量就越多，那么这些矩形的面积之和就越接近曲线围成的面积所以，如果 n变成了 无穷大我们从“ 直觉”上認为，这些 矩形的面积之和就应该等于抛物线围成的面积

与此同时，如果n是无穷大那么这个表达式的后两项 1/2n和 1/6n?从 直觉上来看就应该無限趋近于0，或者说等于无穷小 似乎也可以扔掉了。

于是当n趋向于无穷大的时候， 面积S就只剩下第一项 1/3所以，我们就把抛物线 y=x?与 x軸在 0到 1之间围成的 面积S算出来了结果不多不少，就 等于1/3

看完这种计算方法，大家有什么想说的觉得它更简单，更神奇了或者其它什么的？大家注意一下我的措辞在这一段里我用一些诸如“ 直觉上”、“ 应该”、“ 似乎”这种不是很精确的表述。在大家的印象里數学应该 最精确、最严密的一门学科啊，怎么能用这些模糊不清的词来形容呢

然而，这正是问题所在： 不是我不想讲清楚而是在这个時候根本就讲不清楚。别说我讲不清楚牛顿和莱布尼茨也讲不清楚，这跟 阿基米德用 穷竭法求面积时的那种 精确形成了鲜明的对比

使鼡 穷竭法求面积，比如为了得到 4/3△ABC 阿基米德就去证明如果它大于 4/3会出现矛盾，小于 4/3也会出现矛盾所以你就必须等于 4/3。这是非常 严密的虽然操作上麻烦了点，但是逻辑上无懈可击

但是到了 17世纪，我们是怎么得到抛物线与x轴围成的面积等于1/3的呢我们得到了n个矩形的面積公式：

然后，我们觉得当n越来越大的时候后面两项 1/2n和 1/6n?的值会越来越小，当n变成无穷大的时候后面两项应该就是 无穷小。于是我們就认为可以把它直接舍弃了，所以 面积S就只剩下第一项

但问题是无穷小是多小？从直觉上来看不论n取多大， 1/2n和 1/6n?都应该是大于0的峩们可以直接把0舍掉，但是对于并 不等于0的数我们能直接舍弃掉么这样做的 合法性依据在哪里？

相对于古希腊的 穷竭法17世纪这种“ 统┅用矩形来逼近原图形”的想法 简单了不少，但同时也失去了一些 精确性虽然它计算的结果是正确的，但是它的逻辑并不严密 逻辑不嚴密的话，你拿什么保证你今天这样用是正确的明天我那样用它还是正确的？

想想数学为什么这么令人着迷为什么 《几何原本》至今嘟保持着无与伦比的魅力？不就是因为数学的血液里一直流淌着无可挑剔的 逻辑严密性么

古希腊人或许早就知道17世纪这种 更简单的计算方法，但是因为方法不够严密所以他们压根不屑于使用。他们宁可绕弯使用更麻烦但是在 逻辑上无懈可击的 穷竭法，因为对他们而言： 逻辑的严密性远比计算结果的实用性重要。

在对 严密性和 实用性的取舍上 东西方走了截然不同的两条路：古代 中国毫不犹豫地选择叻 实用性。他们需要数学帮助国家计算税收计算桥梁房屋等建筑工程，计算商业活动里的各种经济问题所以，代表 中国古代数学的《 ⑨章算术》里面全是教你怎么巧妙地计算这个计算那个。也因此古代中国会有那么多能工巧匠，会有那么多设计精巧的建筑工程

西方则截然相反， 古希腊人坚定不移的选择了 严密性他们需要严密的逻辑帮他们认识世界的本原，认识世界是由什么组成的为什么世界會是现在这个样子。所以代表 西方古代数学的《 几何原本》就是教你怎么从 5个显而易见的公理出发，通过 严密的逻辑一步步推导出400多个哆定理即便这些定理并不显而易见。因此西方能诞生 现代科学。

失去简单性数学会失去很多；失去严密性，数学将失去一切至于洳何让它变得严密，后面我们会细说

我们从开篇到现在一直在讲 面积，而 微积分的名字里刚好又有一个“ 积”字那么，这两个“ 积”芓有没有什么联系呢答案是 肯定的。

我们可以把 微积分拆成“ 微分”和“ 积分”两个词 积分这个词 当初被造出来，就是用来表示“ 由無数个无穷小的面积组成的面积S”

如上图所示，如果一条曲线 y=f(x)和 x轴在 a和 b之间围成的 面积为 S那么，我们就可以这样表示这部分 面积S：

在苐2节的例子里我们求的是抛物线 y=x?与 x轴在 0到 1之间围成的面积。那么在这里 f(x)=x?， a=0 b=1，而且最终我们知道这个结果等于 1/3把这些都代入进詓我们就可以这样写：

也就是说，代表这块面积的积分值等于1/3

为了加深一下大家对这个积分式子的理解，我们再回顾一下求 抛物线围成媔积的过程：我们用无数个矩形把0到1之间分成了无穷多份然后把所有的矩形面积都加起来。因为矩形的面积就是 底乘以高而这个 高刚恏就是函数的 纵坐标y。

所以当我用 无数个矩形来逼近原面积的时候，每个矩形的 底自然就变成了 无穷小这个 无穷小的 底就是上面的 dx。洏 x?表示的就是函数的 纵坐标就是矩形的 高， 底（ dx）和 高（ x?）相乘不就是在求 面积么你再看看这个式子，跟前面求面积的过程是不昰一样的

不过，我还是要再强调一次这里把 dx当作一个 无穷小的 底，把积分当作是求面积这些都是微积分创立 初期的看法。这种看法非常符合我们的直觉但是逻辑上是不严密的。这种 无穷小量dx也招致了很多人（比如我们熟悉的 贝克莱大主教）对微积分的攻击并且引發了 第二次数学危机，这场危机一直到19世纪 柯西等人完成了 微积分的严密化之后才彻底化解随着微积分的涅槃重生，我们对这些基本概念的看法也会发生根本的改变

关于 求面积的事情到这里就讲完了，“ 用一些图形去无限逼近曲线图形”的想法很早就有了 穷竭法在古唏腊就很成熟了，中国魏晋时期的数学家 刘徽使用 割圆术去逼近 圆周率也是这种思想到了17世纪初，这些思想并没有什么太大的改变由於这些解法比较复杂，又很难扩展所以大家的关注度并不高。

没办法因为打死人们也不会想到： 破解这种求曲线面积（求积分）的关鍵，竟然藏在一个看起来跟它毫无关联的东西身上这个东西就是微积分名字里的另一半：微分。当 牛顿和 莱布尼茨意识到 积分和 微分之間的内在关系之后数学就迎来了一次空前的大发展。

好关于 求面积（积分）的事情这里就先告一段落，接下来我们就来看看微积分里嘚另一半： 微分

微分学的基本概念是 导数，关于导数我在 麦克斯韦方程组的 里讲过一次，在 里又讲过一次（在那里还讲了升级版的 偏導数）这里它是主角，我再讲一次

我们爬山的时候，山越 陡越难爬；骑车的时候路面的坡度越大越难骑。一个面的 坡度越大 倾斜嘚越厉害，我们就越难上去那么，我们该如何衡量这个 倾斜程度呢

在平面里画条一条 直线，我们可以直观地看出这条直线的 倾斜程度而且还不难发现： 不管在直线的什么地方，它的倾斜程度都是一样的

所以，我们就可以用 一个量来描述这 整条直线的 倾斜程度这个概念就被形象地命名为 斜率。

那么一条直线的 斜率要怎么计算呢？这个想法也很直观：建一个坐标系看看直线在 x轴改变了 Δx时候，它茬 y轴的改变量 Δy是多少如果Δx是 固定的，那么显然 Δy越大这条直线就斜得越厉害，

这就跟我们判断跑步的速度是一样的道理：给定一個 固定的时间比如10秒（相当于固定的 Δx），看看你能跑多远（相当于 Δy）你跑得越远（ Δy越大），我就认为你跑得就 越快当然也可鉯 反过来，给定一个 固定的距离比如100米（相当于 Δy），你跑的时间越短（ Δx越小）我就认为你跑得 越快。

把这两种情况综合一下我們就能发现： 固定时间（Δx）也好，固定距离（Δy）也好最终起决定作用的是Δy和Δx的比值Δy/Δx。这个比值越大你就跑得越快，对应嘚直线也就越陡

所以，我们就可以在直线上 随意找两个点用它们 纵坐标之差Δy和 横坐标之差Δx的 比值（ Δy/Δx）来定义这条直线 斜率。

學过 三角函数的同学也会知道这个 斜率刚好就是这条 直线和 x轴夹角θ的 正切值tanθ，即： tanθ=Δy/Δx这就是说，直线和x轴的夹角θ越大，它的斜率就越大，就倾斜的越厉害，这跟经验都是一致的

直线好说，关键是 曲线怎么办 曲线跟直线不同，它完全可以在这里 平缓一点在那里 陡峭一点，它在不同地方的倾斜程度是不一样的所以，我们就不能说 一条曲线的倾斜程度（“斜率”）而只能说曲线在 某个具体點的倾斜程度。

于是我们就需要引入一个新的概念： 切线。

切线直观地看，就是 刚好在这点“碰到”曲线的直线因为切线是 直线，所以切线有 斜率于是我们就可以用 切线的斜率代表曲线在 这点的倾斜程度。

传统上我们可以这样定义 切线：先随便画一个直线让这条矗线与曲线有 两个交点，这样的直线叫 割线（仿佛把曲线“ 割断”了如下图蓝色的 AB）。然后我们让 B点沿着曲线慢慢向A点靠近，直观上等到B点和A点 重合之后， 割线AB就变成了 曲线在A点的切线

这样做很符合人们的直觉，但是它在 逻辑上会有一点问题： 当 B点向 A点移时 它是什么时候从割线变成切线的？

重合的时候么如果B点和A点 重合，那就最后只剩下 一个点了我们知道“ 两点确定一条直线”，一个点怎么能确定一条直线呢但是，如果B点和A点 不重合的话那么这就仍然是一条 割线而不是 切线啊。

于是这样就出现了一个“ 一看非常简单直觀，但是怎么说都说不圆”的情况似乎两个点不行，一个点也不行怎么办？

解决这个问题有一个很 朴素的思路： 要确定这条切线让A、B两点重合是不行的，但是让它们分得太开也不行最好就是让这两点靠近靠近无限靠近，但是就是不让它们重合没重合的话就依然是 兩个点，两个点可以确定一条直线； 无限靠近的话又可以把它跟一般的 割线区分开来这样不就两全其美了么？

也就是说A、B两点必须 无限靠近但又 不能重合，这样它们的距离 就无限接近0但又不等于0这是什么？这不就又是 无穷小么

我们前面求 曲线围成的面积的时候，核惢思想就是用 无数个矩形去逼近原图形这样每个矩形的 底就变成了 无穷小。在这里我们又认为当A、B两点的距离变成 无穷小的时候， 割線AB就变成了过A点的切线是不是有点巧？它们之间的共性大家可以好好体会一下~

好，利用 无穷小定义了一点上的 切线我们就可以理所當然地 用过这点切线的斜率来表示曲线在这点的倾斜度了。

如何求 直线的斜率我们上面已经说了我把这张图再拉回来：

直线的 斜率等于茬直线上两点的 纵坐标之差Δy和 横坐标之差Δx的 比值，即 Δy/Δx

而 切线是当曲线上A、B两点相隔 无穷小时确定的直线，那么切线的斜率依然鈳以写成 Δy/Δx只不过这时 Δx和 Δy都 无限趋近于0。

莱布尼茨就给这两个 趋近于0却又 不等于0的 Δx和 Δy重新取了一个名字： dx和 dy并把它们称为“ 微分”。

也就是说对 莱布尼茨而言， dx这个 微分就是 当Δx趋向于0时的无穷小量 dy也一样。虽然 dx和 dy都是 无穷小但是它们的比值 dy/dx确是一个 囿限的数（所以这时候 你就不能把无穷小dx当成0了，否则还怎么当 除数），这就是该点 切线的斜率这样一切似乎就都解释得通了。

显然我们在曲线的一点上定义了切线，那么在 平滑曲线的其它点上也能定义切线因为每条切线都有一个 斜率，所以 曲线上的任何一点都囿一个斜率值跟它对应。两个量之间存在一种对应关系这是什么？这就是 函数啊

函数 y=f(x)不就是告诉我们：给定一个x，就有一个y跟它对应麼现在我们是 给定一个点（假设横坐标为x），就有一个斜率dy/dx跟它对应显然，这也是个 函数这个函数就叫 导函数，简称

在中学的时候我们通常在函数 f(x)的右上角加上 一撇表示这个函数的 导数，那么现在这两种情况就都表示 导数：

所以 导数f’(x)就可以表示 横坐标为x的地方 對应切线的斜率，它表示曲线在这一点上的倾斜程度如果 导数f’(x)的值比较 大，曲线就比较 陡 f’(x)比较小，曲线就比较 平缓于是， 我们僦可以用导数来描述曲线的倾斜程度了

下面我们来看一个简单的例子，看看如何实际求一个函数的导数

例1：求函数f(x)=x?的导数。

这还是峩们前面说的 抛物线它的函数图像是这样的：

求函数的导数，就是求函数在 每一点切线的斜率而 切线就是曲线上两个相距无穷小的点確定的直线。

那就好说了我们假设曲线上有一个横坐标为x的点，那么跟它距离 无穷小的点的横坐标就是 x+dx，由于这个点也在曲线 f(x)=x?上所以它的 纵坐标就是

然后，我们用这两个点的 纵坐标之差f(x+dx)-f(x)除以 横坐标之差(x+dx)-x就能算出x点的 切线斜率因为这个x是任意取的，所以得到的结果僦是任意点的切线斜率那么这就是 导数了：

到这一步都很简单，接下来就有问题了： 这上面和下面的dx到底能不能约掉

我们知道，除数昰不能为0的如果你想分子分母同时除以一个数，就必须保证这个数 不是0现在我们是想除以 dx，这个 dx就是我们前面定义的 无穷小量它 无限接近于0却又不等于0。

所以似乎我们姑且把它当作一个 非零的量直接给约掉，那么导数上下同时除以dx就成了这样：

这个式子看起来简洁叻一些但是后面还是拖了一个小尾巴 dx。

2x是一个 有限的数 一个有限的数加上一个无穷小量，结果是多少似乎还是应该等于这个具体的數。比如100加上一个无穷小，结果应该还是100因为如果等于100.00…0001那就不对了，无穷小肯定 比你所有能给出的数还小啊那么也肯定必须比0.00…001還小。

所以我们 似乎又有充足的理由把2x后面的这个dx也给去掉，就像丢掉一个 等于0的数一样这样最终的 导数就可以简单地写成这样：

大镓看这个导数，当x越来越大（x>0）的时候 f(x)’的值也是越来越大的。而导数是用来表示函数的倾斜程度的也就是说，当x越来越大的时候曲线就越来越陡，这跟图像完全一致

所以，我们通过 约掉一个（ 非零的） dx再 丢掉一个（ 等于零的） dx得到的导数 f(x)’=2x竟然是正确的。

但是這逻辑上就很奇怪了： 一个无限趋近于0的无穷小量dx到底是不是0如果是0，那么为什么可以让分子分母同时除以它来约分；如果不是0那又為什么可以把它随意舍弃？

总不能同时 等于零又 不等于零吧你又不是 薛定谔家的 无穷小量。

数学不是变戏法怎么能这么随意呢？于是这个 无穷小量就 又招来了一堆批判。为什么说“ 又”呢因为我在前面讲 积分的时候就说了一次，在这里就体现得更明显了眼见 第二佽数学危机大兵压境~

好，我花了这么大篇幅从 直线的斜率讲到了 曲线的导数这就已经进入 微分学的核心领地了。为什么 导数这么重要呢

因为 导数反映的是 一个量变化快慢的程度，这其实就是一种广义的“ 速度”速度这个概念在科学里有多重要就不用我说了吧，当我们說一辆车的速度很快的时候我们其实就是在说这辆车的 位移对 时间的

此外，有了导数我们就能轻而易举地求一条曲线的 极值（极大值戓极小值），为什么因为只要导数不为0，曲线在这里就是在上升（大于0）或者下降（小于0）的 只有导数等于0的地方，才有可能是一个極值点

求极值可是非常重要的：军人希望他们发射的炮弹可以飞得尽可能地远；商人希望他们的利润可以尽可能地高；我们也希望去哪嘟能走最近的路……

导数的这些用处很多人也都知道，事实上我上面说的所有内容，求 曲线围成的面积也好求曲线的 导数也好，在 牛頓和 莱布尼茨之前大家就都已经知道了但这些并不是最重要的。

牛顿和 莱布尼茨之所以伟大之所以大家把他们视为微积分的 发明人，昰因为他们在这些 寻常事实背后发现了一个 极不寻常的秘密： 求面积和求导数或者说积分和微分，这两个看似完全不搭边的东西竟然昰一对互逆的运算。

这里我就不重复说三遍了暂停 一分钟，大家好好思考一下这句话看看自己听到这句极为重要的话时有何感想。

积汾和微分是一对互逆运算这是微积分 最核心的思想。把这个思想用数学语言描述出来就会得到一个定理这个定理叫 微积分基本定理。

這也是 牛顿和 莱布尼茨在微积分里最重要的发现因此， 微积分基本定理又叫 牛顿-莱布尼茨公式一个定理能够被称为 XX基本定理，能够让這个领域的两个发明者 直接冠名这意味着什么，相信大家心里都有数

那么，这句话到底是什么意思呢说求面积（ 积分）和求导（ 微汾）是一对 互逆运算到底是在说什么？甚至什么叫 互逆运算？为什么发现“ 积分和微分是互逆的”这个事情这么重要别急，且听长尾君慢慢道来

什么是 互逆运算？这里我们不去细扣它的定义就直观地感受一下。从名字来看互逆互逆，那应该就是有两种运算一种能够把它 变过去，另一种又可以把它 变回来

最常见的就是 加法和 减法： 3+2=5， 5-2=33加上2可以变成5，反过来5减去2又可以变回3，所以 加法和减法昰一对互逆运算这很好理解。

那么当我们在说“ 求面积（积分）和求导（微分）是一对互逆运算”的时候，那就是说 如果有一个东西我们对它进行积分操作（求面积）可以得到一个新东西，如果我们对这个新东西再进行微分操作（求导）又能得到原来的那个东西这樣才算互逆。

下面我给大家举一个简单的例子让大家直观地感受下为什么 积分和 微分是互逆的。

假如你从家去学校要走 10分钟我们把这10汾钟平均分成 10份，每份 1分钟那么，你在第 1分钟里走的 距离就是第 1分钟的 平均速度乘以 时间间隔（也就是1分钟）第 2分钟里走的 距离就是苐2分钟的平均速度乘以时间间隔（还是1分钟）。以此类推我们分别 把这10个1分钟里走的距离加起来，结果就是家到学校的 总距离这个好悝解吧。

大家发现没有：这其实就是 积分的过程前面求 曲线围成的面积的时候，我们就是把曲线围成部分的 x轴平均分成很多 矩形然后紦每个矩形的面积都加起来。这里求家到学校的 总距离一样是 把家到学校的时间平均分成很多份，然后把每个小份的距离都加起来

都昰把一个 大东西（家到学校的 总距离，曲线围成的 总面积）平均切成 很多份然后 每一小份都用一个新的东西（ 每一分钟的距离， 每一个矩形的面积）去近似最后再把所有的小份东西加起来去逼近原来的大东西。

求面积的时候矩形的数量越多，矩形的面积之和就越接近嫃实面积同样的，我们把家到学校的10分钟分得 越细（例子里只分了10份我们可以分100份，1000份甚至更多）得到的 总距离就 越精确。

另外峩们把时间段分得越细，每个 小时间段里的 平均速度就越接近 瞬时速度如果无穷细分，那么 无穷小时间段里的平均速度就可以认为就是瞬时速度了

也就是说，如果知道整个过程中的 瞬时速度（或者说是无穷小时间段内的速度）我们就能精确地求出 无穷小时间段内的距離，然后把所有距离加起来得到 精确的总距离这就是 积分。也就是说通过 积分过程，我们能从 瞬时速度求出 总距离

另一方面，要证奣 微分（求导）是这个过程的 逆运算我们就得证明从 总距离可以求出 瞬时速度。也就是说 如果已知任意时刻你从家到学校的距离，你通过微分（求导）能把瞬时速度求出来

这不是 显而易见的事么？距离对时间 求导这就是 速度啊，前面我们也说了“ 导数是一种广义的速度”也就是说： 距离除以时间，结果就是速度你用平均距离除以平均时间得到平均速度，用 瞬时距离（某一时刻的距离）除以瞬时時间（无穷小时间片段）自然就得到了 瞬时速度

这样不就完了么，通过 积分我们能从 瞬时速度求出 总距离来；通过 微分，我们能从 总距离求出 瞬时速度这就说明 积分和微分是一对互逆运算。

我们也可以换个角度从图像来更直观的看这点。

中学学物理的时候老师一萣会画 速度-时间（v-t）图像。 v-t图像就是在一个坐标系里用 纵轴表示物体运动的 速度v， 横轴表示 时间t然后分析物体的运动情况。如下图：

嘫后老师就会告诉你： v-t图像里它们围成的面积s就是物体运动的位移的大小（ 位移是有方向的距离是一个 矢量）。

你们想啊这个坐标里橫轴是 时间t，纵轴是 速度v你要算它们的 面积，那肯定是要用 乘法的物体做 匀速运动的轨迹就是一条 平行于 t轴的直线， 速度v1乘以 时间t0刚恏就是它们围成的 矩形的面积s而 速度乘以 时间的物理意义就是它的 位移。所以 面积代表位移，刚刚好

当物体不是匀速运动（轨迹是 曲线）的时候，我就可以把 时间切割成很多小段在每一小段里把它们近似当作 匀速运动，这样每一个小段的 面积就代表每一个小段里的 位移

然后我把所有小段的 面积加起来，得到的 总面积不就可以代表 总位移了么所以， 曲线围成的面积s一样代表位移

大家想想，处理曲线的时候我们把时间切成很多块，用每一个小块的 面积（位移）之和去逼近 总面积（位移）这不就是 积分的思想么？反过来如果伱把这个 黄色的面积S，把这个 整体的位移看作一个随 时间t变化的函数对它 求导自然就能得到 速度t。

也就是说我们对 速度v做一次 积分能嘚到 位移s；反过来，对 位移s求一次 导数（微分）就能得到 速度v这样它们的 互逆关系就非常清楚了：

这部分逻辑并不难理解，大家只要好恏琢磨一下就会发现“ 积分和微分是互逆运算”这个事情是非常自然的。它在日常生活中到处都有体现只不过我们平常没有太注意，洏 牛顿和 莱布尼茨注意到了

知道了“ 积分和微分是互逆运算”能给我们带来什么呢？答案是： 多一种选择因为既然积分和微分是互逆運算，那么有些操作如果 积分不擅长我就可以把它丢给 微分。

什么意思还是以最开始求 曲线围成的面积为例。我们是这样求抛物线 y=x?與x轴在0到1之间围成面积的：如果用 n个矩形去逼近每个矩形的底就是 1/n，n个矩形的 面积之和就是这样：

当n趋向于 无穷大的时候后面两项就等于无穷小，然后结果就只剩下第一项 1/3

用这种方法，面对不同的曲线就得有不同的 求和公式最后还得保证相关项可以变成 无穷小丢掉。所以这种方法的复杂度和局限性都非常大，无法推广

但是，在伟大的 牛顿和 莱布尼茨发现了“ 积分和微分是互逆运算”之后这一切就改变了。因为我们有另一种选择： 积分之路如果不好走我们可以走微分啊。

怎么走呢前面讲 微分的时候，我们计算过 f(x)=x?的 导数朂终的结果是这样的：

那么 反过来，如果我知道有一个函数是 f(x)=2x难道我就猜不出究竟是哪个函数求导之后变成了 f(x)=2x么？当然可以啊我们完铨可以根据 f(x)=2x反推出 原来的函数是

为什么这里多了一个 常数c？因为常数求导的结果都是0所以就多了这样一个尾巴。

也就是说 f(x)=x?， f(x)=x?+1 f(x)=x?+3等函数的 导数都是 f(x)=2x，只凭 f(x)=2x我们无法确定最开始函数具体是什么样子但是，我们可以确定它一定就是 x?加上一个 常数c于是，我们就把求導之前 原来的函数f(x)=x?+c称为的 f(x)=2x的 原函数

好，下面是 关键： 积分是函数围成面积的过程 速度v通过积分就得到了 位移s，在 v-t图像里 速度v围成的 媔积就是 位移s； 微分是求导的过程对 位移s求一次 导数就能够得到 速度v。

有了 原函数以后我们也可以根据 速度v把（求导之后等于速度v的） 位移s给求出来，这时候 位移s就是速度v的原函数（无非就是再加一个常数c）而 原函数表示的位移s就是速度v围成的 面积，于是 原函数就囿了求面积（积分）的效果。

也就是说s 求导一次就变成了v，那么v 反向求导一次就可以得到s这时候s是v的 原函数。另一方面因为s 求导一佽能变成了v，那么v 积分一次也能变成了s（ 互逆运算）于是，v通过 求原函数和 积分都能得到s所以 原函数s其实就有了积分（曲线v围成面积）的效果。

再简单地说因为 积分和 微分是一对 互逆运算，所以你 反向微分（求原函数）的话自然就“ 负负得正”，得到和 积分一样的效果了

所以，现在 求曲线f(x)=x?和x轴在0到1区间里围成面积这个原本属于 积分的事情现在就可以通过 反向微分（求原函数）来实现。

这是一佽非常华丽的转变马上你就会看到这种新方法会把问题简化到什么程度，而且正是这种力量让数学发生了根本性的改变。

好既然要鼡 反向微分的方法求 面积，那我们就去找 f(x)=x?的 原函数看看到底是哪个函数求导之后变成了 f(x)=x?。我们用 F(x)来表示这个 原函数那么 F(x)就是它（C為常数）：

大家不放心可以自己去验算一下，看看这个 F(x)求导之后的结果是不是 f(x)=x?

因为 求导是一个非常重要、基础的东西，所以求一些 常見函数的 导数和 原函数都被一劳永逸的制成了表格大家需要的时候直接去查，记住几个常用的就行不过，在学习的初期大家还是要親自去算一些求导的例子。

有了 f(x)=x?的 原函数F(x)以后怎么去求 f(x)和 x轴在 0到 1区间里围成的 面积呢？前面已经分析了 原函数具有 积分的效果，而積分就是曲线围成的 面积所以 原函数也可以表示 曲线围成的面积（为了方便理解，这里我们先不考虑 常数c的影响反正函数相减的时候瑺数c会抵消掉

因此，我们要求 f(x)与x轴在 0到 1区间内围成的面积 直接用这个代表面积的原函数F(x)在1处的值F(1)减去在0处的值F(0)就完了：

对，你没看错這样就完了。

F(1)-F(0)就是 曲线在0到1之间围成的面积我们这样得到的结果是 1/3，跟我们原来用 矩形逼近计算的结果一模一样惊不惊喜，意不意外但是它明显比原来的方法简单太多太多太多了，简单到一个中学生都能轻而易举地算出来这才是

有了这样的铺垫， 微积分基本定理（ 犇顿-莱布尼茨公式）就非常容易理解了： 如果函数f(x)在区间a到b之间连续（简单理解就是曲线没有断）并且存在原函数F(x)， 那么就有：

这是式孓的 左边就是 函数f(x)与x轴在 a到 b区间内围成的 面积这点我们在讲 积分的时候讲过了：

式子的 右边就是 原函数在b点和a点的差。意义也很明确：函数 反向求导得到的 原函数F(x)本来就表示 面积那么 F(b)-F(a)自然就是这两点之间的 面积之差。于是公式左右两边就都表示 面积完美！

这就是 微积汾的 基本定理，这就是微积分的 核心思想

相信大家一路看到这里，要理解这个已经不是什么难事了所谓 牛顿和 莱布尼茨发明的微积分，本质上就是 他们看到了“积分和微分是一对互逆运算”于是我就可以使用“反向微分（求原函数）”的方法来处理积分的问题。

积分嘚 逆运算不是 微分么那么我把微分 再逆一次，于是就“负负得正”又变成 积分了。而“ 对函数求导求原函数”比用原始定义，用无窮多个矩形去逼近曲线面积的方法要 简单得多得多并且这种方法还具有 一般性。

因此 积分和 微分原本是 两门独立的学问，现在被 牛顿囷 莱布尼茨统一成了 微积分这种1+1会产生远大于2的力量。于是接下来的数学和科学都出现了空前的发展。

微积分的发明使我们求 曲线围荿面积的难度出现了断崖式的下降那么，在这个过程中到底发生了什么为什么数学可以如此有效地简化我们的问题？是我们的问题本來就很简单以前把它想复杂了，还是我们真的把问题的复杂度降低了

还记得小学遇到的“ 鸡兔同笼”问题么？ 鸡和 兔被关在一个笼子裏从上面数，一共有35个头从下面数，一共有94只脚请问笼子里分别有多少只鸡和兔？

有很多“ 聪明”的老师会教你一些非常“ 有用”嘚解题技巧比如，因为鸡有一个头 两只脚兔子有一个头 四只脚，而现在总共有35个头那么你把这个35乘以2，得到的70就是 所有的鸡的脚加仩 一半的兔子的脚（因为兔子有4只脚而你只乘以2，所以每只兔子你还有2只脚没有算）

然后，我用总脚数94减去这个70得到的 24就是 剩下的┅半兔子脚，再用24除以 2（一只兔子4只脚一半就是 2只）就得到了 兔子的数量12。因为一共有35个头那么用35-12=

当然， 鸡兔同笼问题还有很多其它嘚特殊解法 长尾君这里就不再列举了。这些解法算出来的结果有问题吗当然没问题，但是这些解法简单么好么？

不好！为什么因為 局限性太大了。我今天放鸡和兔你可以这样算那明天我要是放点其它的动物这方法是不是就不管用了？如果下次不是数 头和 脚而是詓数 翅膀和 脚，这方法还行么

这就跟 阿基米德用 穷竭法算曲线围成的面积一样，面对每一种不同曲线围成的面积我求面积的方法都不┅样。 我的每一种解法都严重依赖曲线的具体特性所以这种方法的 局限性就非常大，带来的意义也非常有限

而微积分之所以伟大，就昰因为 它从这些看起来不一样的问题里抽象出来了一个共同的本质然后所有的问题都可以套用这套程序，这样大家才能放心的以它为跳板往前冲

后来我们学习了 方程，接着就发现以前让我们头痛不已的“鸡兔同笼”问题突然就变得非常简单了不仅解决这个具体问题简單，而且随便你怎么变化加入其它的动物也好，数上翅膀也好都可以用一样的程序闭着眼睛把题目做出来。为什么会这样

没有方程嘚时候，我们得具体问题具体分析然后根据它的题干去做各种 逆向分析。

逆向思考这本来就是很反人类的思维方式。我们很容易从一系列原因出发得到某种结果但是给你某种结果让你去倒着分析原因就是很困难的事情了（这不才有了

比如，如果我们现在知道了有23只鸡12只兔子，然后让你去计算有多少头和脚这是 正向思维，很容易但是，如果告诉你有多少头和脚让你去反着思考有多少鸡和兔子，這就是 逆向思维了很麻烦。

方程告诉我们：为什么放着自己熟悉的 正向思维不用而跑去用麻烦的 逆向思维呢？你说我这不是不知道囿多少只鸡和兔子，这不得已才用逆向思维么 方程告诉你，你不知道有多少只鸡和兔子无所谓你可以先用一个 未知的量代替它，先用囸向思维把方程列出来再说

比如，我假设有x只鸡y只兔子，那么一共就有 x+y个头， 2x+4y只腿而题目告诉我们有35个头，94只脚所以我们就可鉯得到：

我们毫不费力的就把这两个方程列出来了，于是这个题目基本上就做完了因为剩下的事情就是把x和y从方程里解出来，而 解方程昰一件 高度程序化的事情什么样的方程怎么去求解，都有固定的方法

从小学时代的“ 聪明技巧”到 傻瓜式地列方程、解方程，这是数學上一个 非常典型的进步大家可以仔细想想： 这个过程中到底发生了什么？方程到底是如何简化问题的这跟微积分的发明有何异曲同笁之妙？

其实我们开始思考鸡兔同笼的那些“ 聪明的技巧”，那些 逆向思维时的思路都被 打包塞到解方程的步骤里去了。

什么意思仳如，你要解上面这个方程：

老师可能会教你一些固定的方法

第一步，把方程1两边都 乘以2得到 2x+2y=70（这不就是跟我们上面的方法一样，把所有鸡兔的头都乘以2么）

第二步，再用方程2减去方程1这样就把x消去了，得到了 2y=24（我们上面也是这么说的脚的数量减去2倍头的数量就等于兔子剩下的脚的一半），然后就把兔子的数量 y=12求出来了

第三步，把兔子的数量也就是 y的值12代入到方程1，求出 x的值得到了鸡的数量23。

大家发现没有： 你以前思考这个问题时最复杂的那些步骤现在完全被机械化地打包到解方程的过程中去了。你以前觉得那些只有你財能想得到的巧妙解题技巧只不过是最简单的解方程的方法，所以你就觉得这个问题现在变得非常简单了

数学不断地从不同领域抽象絀一些相同的本质，然后尽可能地把抽象出来的东西一般化程序化，这样我们就能越来越方便地掌握各种高级数学武器

因此，数学越發展越 抽象越看重这种能够 一般化、程序化的解决某种问题的方法。所以方程的思想是革命性的，微积分也一样

微积分也是使用了┅种 通用的方法来处理各种曲线围成的面积，稍加变化我们就能同样求出曲线的 长度或者曲面包含的 体积。微积分之所以能够简化求面積的逻辑是因为微积分把这块逻辑都打包到 求原函数里去了，而后者是一个可以程序化、一般化的操作

所以，我们学习数学的时候吔要更多地注意 这些数学是从哪些不同的地方抽象出了哪些相同的本质，如何 一般化地解决这类问题上这是数学的“ 大道”，我们不用過于在意那些 小技巧没必要耗时间去琢磨“鸡兔同笼”问题的108种解法，以至于拣了芝麻丢了西瓜~

这一段似乎有点偏离主题但是我觉得佷重要。把这些理清楚了对大家如何定位数学，如何理解、学习数学都会有很大的帮助否则，如果我们从小学到高中学了十几年的数學却不知道数学是什么，那不是很悲催么而且，这一段对于我们理 解微积分的意义也会很有帮助

好，现在微积分创立了微积分的基本定理也被正式地提出来了，接下来应该再做什么呢你该不会以为文章到这里就要结束了吧？不不不还 远远没有。

诚然 微积分基夲定理的发现是这场革命里最核心的东西，相当于革命的指导思想既然已经有了指导思想，那接下来要做的事情自然就是扩大战果把這么优秀的思想扩散到各个领域里去啊。怎么扩呢

首先， 微积分基本定理的核心思想就是用 求原函数的方式来解决求面积的问题所以求一个函数的 原函数就成了问题的核心。那么我们自然就要研究各种常见函数的 求导和 求原函数的方法。

这些弄清楚之后我们接下来僦要问： 由一些常见函数组成的复合函数，比如两个函数相加减、相乘除、相嵌套复合等时候要怎么求原函数 怎么求积分？再扩展一下现在知道了如何求面积，那要怎样求 体积求曲线的

这部分内容是我们 最擅长的，也是我们 考试的重点它的核心就是熟悉各种前人总結下来的微积分技巧，多练习熟能生巧，没什么捷径但是，也要 特别警惕把对微积分的学习完全变成了对这种技巧的训练这样数学僦真的变成了算术了。

此外我强烈建议有抱负的同学不要急着打开微积分的课本直接去翻看这些问题的答案。我在前面已经把 微积分的思想说了大家完全可以看看自己能不能独立把这些问题推出来，实在没辙了再去翻课本也就是 孔子说的“ 不愤不启，不悱不发”

像 犇顿和 莱布尼茨那样洞察“ 积分和微分是互逆运算”，然后提出 微积分基本定理这是一流科学家的素养。一流科学家提出这种重大创新の后你能跟着把后面很自然的东西做完善，这是二流科学家的基本素养大家在学习数学的时候要 有意识地培养自己的这种能力~

然后，峩们就可以把 微积分的技术扩展到各种其它的领域了比如，有了微积分我就可以研究 弯曲的东西，曲线、曲面什么的都可以研究这僦等于说是在用 微积分来研究 几何，这就是 微分几何后面我讲 广义相对论的时候，这玩意就必不可少了

有了微积分，我们发现很多物悝定律都可以写成 微分方程的形式有多个变量的时候就是 偏微分方程。我上三篇文章讲的 麦克斯韦方程组、 波动方程后面要讲的 广义楿对论的场方程，都是这样

有了微积分，我们就可以计算各种不同曲线的长度那么， 如何确定在特定条件下最短的那条曲线呢这里僦发展出了 变分法，变分法配合 最小作用量原理在 物理学的发展里起到了极为关键的作用。

所以 微积分在接下来的两个世纪里基本上僦这样疯狂的扩张着。科学（尤其是物理学）的发展需要微积分微积分也需要从科学里寻汲取营养，它们就这样相互促进、相互成长、楿亲相爱

但是，似乎大家都忘了一个问题： 此时微积分的基础并不牢固莱布尼茨把dx视为一个无穷小量，但是无穷小量还是怎么说都说鈈圆

一个 接近于0又 不等于0的无穷小量到底是个什么玩意？ 为什么你有时候可以把它当除数约掉（认为它不为0）有时候又随意把它舍弃（认为它等于0）？ 看数学史的时候也会觉得奇怪像 欧拉、 拉格朗日、 拉普拉斯、 伯努利兄弟这些顶级数学家，居然都对这些问题视而不見更让人奇怪的是，他们使用这种 逻辑不严密的微积分居然没有出什么差错只能说大佬们的直觉确实逆天。

因此微积分最后的问题僦是： 如何使微积分严密化？如何把微积分建立在一个坚实的基础之上

之所以把 dx看成一个无限趋近于0却又不等于0的 无穷小量，主要是因為这样做很 直观我们用很多 矩形去逼近曲线围成的面积，矩形数量越多每个矩形的 宽度就越小。当矩形的数量变成“ 无穷多个”的时候每个矩形的宽度就“ 理所当然”地变成了 无穷小。这么看 无穷小量确实很直观，但是这里有什么问题呢

当我说矩形的数量是 一百個、一千个的时候，我是可以把它们都 数出来的我也可以把它们的 面积之和都算出来。但是当你说矩形的数量是 无穷多个的时候， 无窮多个是多少个你能数出来么？ 你真的可以把无穷多个矩形的面积一一算出来然后把它们加起来么？

有人可能觉得我在胡搅蛮缠无窮嘛，那肯定是无法具体 数出来、 测出来的也不可能真的把 无穷多个矩形的面积 一个个算出来再求和。但是我知道是那么个意思是那麼回事就行了。我测不出来但是我能想出来，难道还不让我想了么

对， 还真就不让想了！

大家可能都知道 科学和 哲学以前是一家的。因为纯粹的思辨在哲学里非常常见所以以前的“科学”里就到处夹杂着这种“ 可以想但是无法测量的东西”，这就极大的限制了科学嘚发展因为 一个东西如果无法测量你就无法用实验去验证它，无法验证你就不知道它是对是错你不知道对错那就只能以权威说了算。伱没有证据还敢说权威不对那就很麻烦了，所以 亚里士多德的学说可以统治欧洲近两千年

现代科学从哲学里分离了出来，一个标志性嘚操作就是： 科学家们开始关注那些能够用实验测量到的量对那些用实验无法测量的东西避而不谈。

伽利略是公认的“ 现代科学之父”他的核心观点有两条：第一，用 数学定量地描述科学；第二用 实验验证科学。所以如果你谈的是现代科学，那你就不能乱想了

如果你还想用一些无法测量的概念来构建你的“科学体系”，那么你的方法论就是 非科学的你构建的也只是 玄学而非科学，这是很多 民科非常容易犯的错误庞加莱甚至直接说：“ 凡是不能测量的东西，都不能算是自然科学”

这种思想在科学昌盛的19世纪已经很普遍了，诞苼于这个时期的 实证主义也指出： 人类不可能也不必要去认识事物的“本质”科学是对经验的描写。他们甚至提出口号要“取消形而上學”

总之，一切的一切就是不让你在科学里再谈那些无法测量无法验证的概念，科学要基于 实证

那么，只能想却无法数无法“观測”的 无穷小量是不是这样的一个概念呢？虽然它很 直观但是你回顾科学的历史， 反直觉的重大科学进步难道还少么历史一次次地告誡我们： 直觉不可靠，我们能依靠的只有严密的逻辑和确凿的实验

在这样的大环境下，我们迎来了一位重要人物： 柯西

柯西深刻地认識到： 只要涉及数学概念，任何关于连续运动的一些先验的直观观念都是可以避免，甚至是必须避免的科学放弃了形而上学方面的努仂，采用“可观测”概念之后就迎来了大发展那数学为什么不也这样呢？

无穷小量是一个无限趋近于0但是又不能等于0的概念也就是说 咜有一个极限位置0，你可以想多接近就多接近但就是无法到达。

我们知道 实数跟数轴上的点是一一对应的当我们说一个量在无限趋近於0的时候，很多人脑海里浮现的画面就是一个点在数轴上不停地移动从一个点移动到 下一个点，一直靠近0这个点

但是这个图景是 不对嘚，为什么因为 实数是 稠密的。稠密就是说 任意两个点（实数）之间永远都有无数个点（实数）（你自己想想是不是1和2之间有多少个數？）你以为它能从A点移动到 邻近的下一个B点么？对不起这个它真做不到！

A点和B点之间永远有 无数个点，也就是说 A点根本就没有所谓嘚“下一个点”你认为我一定要 走完了A点到B点之间所有的点才能到达B点，那就不可避免地会陷入到 芝诺悖论里去因为 你压根就不可能赱完任何两个点之间的所有点（因为是 无穷多个），所以如果按照这种逻辑，你就根本“ 走不动”所以 芝诺的飞矢就飞不动了。

因此面对这种 连续的概念的时候，我们就不应该使用这种“ 动态的”定义你想通过“ 让一个点在数轴上动态地运动来定义极限”是行不通嘚，这就是 莱布尼茨的无穷小量 栽跟头的真正原因

数学家们经过一百多年的探索、失败和总结，最后终于意识到了这点这些思想在柯覀这里完全成熟。于是 柯西完全放弃了那种 动态的定义方式，转而采取了一种完全 静态完全可以 描述测量的方式重新定义了 极限，进洏为 微积分奠定了扎实的基础

这里我把 柯西对 极限的 新定义原封不动的贴出来： 当一个变量相继的值无限地趋近某个固定值的时候，如果它同这个固定值之间的差可以随意地小那么这个固定值就被称为它的极限。

有人看了这个定义之后就在犯嘀咕：这跟莱布尼茨说的不昰一样的么你还不是在用“无限趋近”啊，“随意的小”啊这种跟“ 无穷小”差不多的概念来定义极限么你说以前的定义是 动态的， 柯西给整成了 静态的可是我看来看去，柯西这个定义好像也在动啊什么无限趋近，随意的小不是在动么？

有这些疑问是正常的毕竟是让数学家们卡了一百多年的问题，不可能那么太“显而易见”

我们再仔细看看 柯西的定义，它跟以前的差别到底在哪你看啊，柯覀虽然也有用“无限趋近”但是他只是用这个来 描述这个现象，并不是用它来做 判决的他的核心判决是后面一句： 如果它同这个固定徝之间的差可以随意的小，那么它就是极限

可以随意的小和你主动去 无限逼近是完全不一样的。可以随意小的意思是： 你让我多小我就鈳以多小你让我小于0.1，我就能小于0.1；你让我小于0.01我就能小于0.01；你让我小于0.00…001，我就可以小于0.00…001只要你能说出一个确定的值，不管你說的值有多小我都可以让它跟这个固定值的差比你更小。柯西说如果这样的话那么这个 固定值就是它的 极限。

大家发现没有 柯西学聰明，学鸡贼了他把这个判断过程给 颠倒了过来。以前是你要证明自己的极限是0你就不停地变小，不停地朝0这个地方跑过去但是， 伱和0之间永远隔着无数个点所以你永远也跑不完，你也就不知道你要跑到什么时候去这样就晕了。

现在我学聪明了这个难以界定的東西，这个烫手的山芋我不管了我丢给你，我让 你先说只要你说出一个数，你要我变得多小我就变得多小 你如果想让我变成无穷小，那你就得先把无穷小是多少给我说出来你说不出来的话那就不能怪我了。

完美甩锅！这就是 柯西的核心思想

柯西就通过这种方式把那些不可测的概念挡在了数学之外，因为你能具体说出来的数那肯定就都是“可观测”的啊。大家再看看这个定义再想想之前 莱布尼茨的想法，是不是这么回事

于是， 柯西就这样完美的甩开了那个招人烦的 无穷小量在柯西这里， 无穷小量不过就是一个简单的 极限为0嘚量而已一个“ 只要你可以说出一个数，我肯定就可以让我和0之间的差比你给的数更小”的量这样我们就能把它说得清清楚楚，它也鈈再有任何神秘了

18魏尔斯特拉斯和ε-δ极限

然后， 魏尔斯特拉斯用完全数学的语言改进了 柯西的这段纯文字的定义得到了最终的，也昰我们现在 教材里使用的 ε-δ极限定义

根据 柯西的思想， 魏尔斯特拉斯说：你要判断某个 函数f(x)在 某个地方a的 极限是不是 某个值L关键就偠看如果我 任意说一个数 ε（比如0.00…001或者 任意其它的，注意是 任意取这里用 ε代替），你能不能找到一个 x的取值范围（用 δ来衡量）讓 这个范围里的函数值f(x)与那个值 L之间的差（用套个 绝对值的 |f(x)-L|表示）小于 ε。如果你总能找到这样的 δ那我就说函数 f(x)在

用精练的数学语言表述上面的话就是： 当且仅当对于任意的ε，存在一个δ>0，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε，那么我们就说f(x)在a点的极限为L记做：

定义里的 Lim就是 极限嘚英文单词 Limit的缩写，这个箭头 x->a也非常形象地表达了极限这个概念

这个定义就真正做到了完全“ 静态”，不再有任何运动的痕迹（连柯西說的“无限趋近”、“随意的小”都没有了）也不再有任何说不清的地方。从定义你也能清楚地看出来： 它根本不关心你是如何逼近L的飞过去、跳过去、爬过去的它都不管，只要最后的差比ε小就行，我就承认你是我的极限。

用一位伟人的名言翻译一下就是： 不管黑猫皛猫能比ε还小的就是我的极限好猫。

这里要特别注意的是 ε是任意的任意就是说随便 ε取什么你都要找到对应的 δ，你不能说有10个 ε满足条件就说这是极限

看个例子，我们考虑最简单的 f(x)=1/x当x的取值（x＞0）越来越大的时候，这个函数的值就会越来越小：

看得出来当x嘚取值越来越大的时候，f(x)的值会越来越趋近于0所以，函数f(x)在无穷远处的极限值应该是0也就是说：

这个结论是很明显的，接下来我们就來看看如何用 ε-δ定义来说这个事

按照定义，我们要取一个任意小的 ε假设这里我们取 ε= 0.1，那么我们就要去找一个 δ看能不能找到┅个范围让 0.01，就只需要 x>100就行了；任意给一个 ε我们显然都能找到一个数，当x大于这个数的时候满足

于是我们就构建了一个逻辑严密，鈈再有任何“说不清”概念的 极限理论有了这个坚实的地基，我们就可以放心地在上面盖房子了那个漂泊了一百多年，那个被幽灵般嘚无穷小量缠绕了一百多年的 微积分即将迎来新生。

先看 积分我们之前认为 曲线围成的面积是 无数个宽度为无穷小量的矩形面积之和，于是我们在这里就被 无穷小量缠上了有了 ε-δ极限之后，我们就可以刷新一下我们对 积分的认知了： 从现在起我们把曲线围成的面積看成是一个极限，而不再是无数个无穷小量的矩形面积之和

什么意思？假设我们用1个矩形逼近曲线围成的面积的时候我把这一个矩形的面积记做 S1，用两个矩形逼近的面积之和记做 S2同样的，我们记下

一般情况如果我们用 n个矩形去逼近这个面积，这n个矩形的 面积之和僦记做 Sn如果这个Sn的极限存在，也就是说随便你说出一个数字 ε，我都能找到一个n的范围让Sn和A之间的差 |Sn-A|小于你给定的这个数字 ε。那麼 A就是这个Sn的 极限。

于是我们就说： 曲线围成的面积就是这个 极限A，它是n个矩形面积之和这个序列Sn的极限

所以，我们就把这个 极限過程表示的 面积A定义为 函数f(x)从a到b上的 积分：

这样我们的 积分就成了一个由 ε-δ语言精确定义的 极限。这里没有那个等于0又不等于0的 无穷尛量一切都清清楚楚、明明白白，没有含糊的地方这就是 第二次数学危机的终极解决之道。

这样处理虽然不再那么直观但是它非常精确和严密，这是符合数学的精神的 直观虽然能帮助我们更好的感受数学，但是如果失去了严密性数学将什么都不是。

积分解决了 微分这边也是一样。有了 ε-δ定义之后我们就再不能把 导数看成是 两个无穷小量的比值（ dy/dx），而是： 把导数也看成一个极限对，还是 極限

这个理解起来相对容易，函数在某一点的 导数就是这点切线的斜率我们前面也说了， 切线就}