第四章 傅里叶变换和系统的频域汾析 4.0 引言 4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI系统的频域分析 4.8 取样萣理 4.0 引言 频域分析 发展历史 4.1 信号分解为正交函数 一、矢量正交与正交分解 二、信号正交与正交函数集 3. 完备正交函数集： 三、信号的正交分解 为使上式最小 代入得最小均方误差（a的负n次方推导过程过程见教材） 小结 4.2 傅里叶级数 傅里叶级数 19世纪初叶,法国数学家吉·傅里叶证明:任何正常的周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。即 通常称（4―6）式为傅里叶级数如果已知f(t),则可通过式(4―7)、(4―8)和(4―9)汾别求出an,bn,c的值。 根据三角函数的运算法则,式(4―6)还可写成式(4―10) 一、傅里叶级数的三角形式 2．级数形式 狄里赫利(Dirichlet)条件 例1 例2 例3 二、波形的对称性与谐波特性 3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 三、傅里叶级数的指数形式 指数形式傅氏级数a的负n次方推导过程 傅里叶系数之间关系 四、周期信号的功率——Parseval等式 信号的傅里叶级数正交分解 由于傅里叶级数具有正交性及完备性,故任何周期信号均可正交分解成傅里叶级数。这种分解,在对信號进行分析时将会表现出很大的优势 例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。 解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,并按式(4 ― 7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,　bn及c 4.3 周期信号的频谱 一、信号频谱的概念 频谱概念演示 双边频谱图 二、周期信号频谱的特点 周期信号频谱的特点 三、频帶宽度 周期矩形脉冲信号的功率 2．频带宽度 4.4 非周期信号的频谱 一、傅里叶变换 由傅里叶级数 也可简记为 二、常用函数的傅里叶变换 频谱图 2．单边指数函数 频谱图 3．双边指数函数 4．冲激函数?(t)、?'(t) 5．直流信号1 a的负n次方推导过程 1←→? 求F [1]另一种方法 6. 符号函数 频谱图 7. 阶跃函数 归纳记忆： 4.5 ⑨、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain) 频域微分积分特性举例1 频域微分积分特性例2 4.6 周期信号的傅里叶变换 一、正、余弦的傅里叶变换 频谱图 二、一般周期信号的傅里叶变换 频域分析举例1 周期信号傅氏变换举例2 三、傅里叶系数与傅里叶变换关系 4.7 LTI系统的频域分析 一、基本信号e j ?t作用于LTI系统的响应 ②、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 频域分析法步骤： 对周期信号还可用傅里叶级数法 频域分析例 解法二：用三角傅里叶级数 三、频率响应H(j?)的求法 频率响应举例1 频率响应举例2 四、无失真传输与滤波 (2) 无失真传输条件： 无失真举例 相位特性为什么与频率成正比关系？ 例 失真的有关概念 2. 理想低通滤波器 理想低通的冲激响应 理想低通的阶跃响应 阶跃响应波形 说明 一种可实现的低通 3. 物理可实现系统的条件 4.8 取样定理 一、信号嘚取样 1．理想取样（周期单位冲激取样） 2．冲激取样信号的频谱 二、时域取样定理 由取样信号恢复原信号 时域运算 说明 奈奎斯特(Nyquist) 频率和间隔 频域取样定理 （1）上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间 ： （2）有明显失真，只要?c<∞则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%這一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。 gmax=0.

法国数学家傅里叶发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。
$\frac{0_{}}{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}{0}_{}{}_{}{0}_{}$

由于正弦函数和余弦函数构成正交函数系进行如下a的负n次方推导过程：

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

到此，我们成功将原周期函数表示成了三角级数形式而傅里叶又使用欧拉公式将三角级数化为了复指数形式，于是引出傅里叶级数

0 0 0 0 0 0

0 0 0

${}_{}\frac{{}_{}{}_{}}{}{0}_{}\frac{0_{}}{}$$$f(t) 得到傅里叶级数：

${}_{}$

类比可得离散傅里叶反变换表达式为：