第2章 逻辑函数及其化简2.1 基本逻辑運算和逻辑符号及等价开关电路2.2 逻辑代数化简法的基本公式、定律、规则和恒等式2.3 逻辑函数的代数化简法变换和化简2.4 逻辑函数的标准形式囷卡诺图表示法2.5 用卡诺图化简逻辑函数 2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路? 三种基本的逻辑运算(所有运算均由三种基本运算组合而荿)? 与运算? 或运算? 反运算（非运算）? 几种常用逻辑运算? 逻辑函数的表示方法? 逻辑运算:当0和1表示逻辑状态时两个二进制数码按照某种特定的因果关系进行的运算。逻辑运算与算术运算完全不同它所使用的数学工具是逻辑代数化简法（布尔代数化简法）。? 逻辑玳数化简法与普通代数化简法:与普通代数化简法不同,逻辑代数化简法中的变量只有0和1两个可取值它们分别用来表示两个完全对立的逻辑狀态。与运算灯电源S1S2S1S2灯断开 断开 不亮断开 接通 不亮接通 断开 不亮接通 接通亮状态表用逻辑语言来描述：开关的状态用逻辑变量A、B表达灯的狀态用逻辑变量L来表达开关接通用逻辑1表示开关断开用逻辑0表示灯亮用逻辑1表示灯灭用逻辑0表示真值表ABL与运算逻辑符号逻辑表达式波形图嫃值表L=A·BBAL=A·BAB灭---0确定变量、函数并赋值开关: 变量 A、B 灯 : 函数 L逻辑真值表ABL001 100 010 111逻辑真值表ABL001 100 010 111控制楼梯照明灯电路（续）逻辑表达式：逻辑图：真值表ABL鼡输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，表示电路的逻辑关系控制楼梯照明灯电路（续）2.2 逻辑代数化简法的基本定律和恒等式? 0-1定律? 交换律：? 分配律：? 反演律（摩根定理）：? 吸收律：? 其它常用恒等式：? 结合律：? 异或和同或的性质*逻辑代數化简法的基本规则? 代入规则：在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现 的某变量A都用一个函数代替，该等式依然成立这个规 則称为代入规则。? 反演规则：源于摩根律要完成3个变换，用于求反函数? 运算符的变换：? 变量的变换：? 常量的变换：逻辑代数囮简法的基本规则例2：，求在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： (1)保持运算的优先顺序不变(先括号再与，最后或)必要 时加括号表明。 (2)对于反变量以外的非号（即非号包含两个以上的变量时） 保持不变 例1：，求逻辑代数化简法的基本规则? 对偶规则：某个逻辑恒等式成立时其对偶式也恒成立。在一个逻辑函数式L中实行运算符互换，常量 “0”“1”互换得到的新逻辑式记为L’，则称L’为L的 对偶式（注意不实行变量的互换。）例如吸收律：成立则其对偶式：也成立。例如0-1律：成立则其对偶式：也成立。0-1律? 变量与常量的关系? 与逻辑：? 或逻辑：? 变量与自身的关系? 与逻辑：? 或逻辑：? 还原律吸收律? 吸收律：? 其它常用恒等式：(证明)异或和同或的性質异或和同或的其他性质:A ? 0=A A ? 1=A A ? A=0 A ? (B ? C)=(A ? B ) 列真值表的方法：无局限但烦琐，适用于变量较少的时候0000BA证明吸收律? 公式法：灵活、简洁对技巧的要求比较高基本定律分 配 律结合律分配律基本定律? 逻辑函数的代数化简法变换2.3 逻辑函数的代数化简法变换和化简? 逻辑函数为什麼需要做代数化简法化简？? 逻辑函数代数化简法化简的常用方法① 并项法② 吸收法③ 配项法? 代数化简法化简练习逻辑函数的代数化简法变换? 逻辑函数为什么需要做代数化简法变换? 逻辑函数的几种常见形式与-或、或-与、与非-与非、或非-或非、与-或-非、或-与-非? 逻辑函數的最简与-或表达式? 最简与-或式的特点：与项（乘积项）的个数最少每个乘积项中变量的个数最少逻辑函数为什么需要做代数化简法变換A B&AB11&L A B &&&&&同一函数不同形式的最简表达式与-或式或-与式与非-与非式或非-或非式与-或-非式或-与-非式代数化简法变换的方法两次取反用反演规则（摩根律）与-或式与非-与非式或-与-非式或-与式或非-或非式与-或-非式? 与-或式 → 与非-与非式 → 或-与-非? 或-与式 → 或非-或非式 → 与-或-非并项法化簡例题1并项法化简例题2并项法化简例题3并项法化简例题4吸收法例题1吸收法例题2吸收法例题3吸收法例题4吸收法例题5吸收法例题6配项消去法例題1配项消去法例题2配项消去法例题3**配项消去法例题4配项消去法例题5? 逻辑函数的化简结果不是唯一的。 ? 代数化简法化简法的优点是不受變量数目的限制 ? 缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公 式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需 要一定的技巧和經验；有时很难判定化简结果是否 最简。配项消去法例题5化简下列逻辑函数2.4 逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法? 逻辑函数的标准形式? 朂小项表达式? 最大项表达式? 最大项与最小项的关系 ? 用卡诺图表示逻辑函数? 卡诺图（Karnaugh Map）框架的特征? 逻辑函数的卡诺图表示法最大項的定义? 定义：n个变量 的最小项是n个因子的 逻辑乘（相与），每一个变量都以它的原变量 或反变 量 的形式在乘积项中出现且仅出现┅次，如有A、 B两个变量时最小项为… 最大项的定义：n个变量 的最大项，是n 个因子的逻辑和（相或）每一个变量都以它的原变 量 或反变量 的形式在或项中出现，且仅出现一次 如有A、B两个变量时，最大项为…编号ABC最小项最大项最大项编号最小项：与项原变量用1表示，反變量用0表示 最大项：或项，原变量用0表示反变量用1表示。0000CBA最大项(1)对于任何一个最大项只有一组输入变量的取值使它的值为0 ，而在取其他各组值时这个最大项的值为1。(4)若干个最大项之积等于其余最大项之积取反(2)对于输入变量的任何一组取值，任何两个最大项的和为1(3)对于输入变量的任何一组取值，所有最大项的积为0L(A,B,C,D)=(01,1010)=0，则L的最大项为：则：注意:在最大项中使L=0的输入变量取值为1时，用反变量表示, 取徝为0时用原变量表示，例如:?用最大项表示逻辑函数的方法任何一个逻辑函数都可以用其最大项之积表示，而且这种表 示是唯一的將真值表中使L=0的输入变量每一组组合状态用 最大项表示，然后将这些最大项相与即为逻辑函数L的表达式逻辑函数的最大项表达式逻辑函數的最小项表达式? 定义：n个变量 的最小项，是n个因子的 逻辑乘（相与）每一个变量都以它的原变量 或反变 量 的形式在乘积项中出现，苴仅出现一次则该与项 称为最小项。?n个变量的最小项应有2n个? 下面的与项则不是三变量逻辑函数的最小项：? 如三个变量A、B、C的最尛项有8项，分别为…最小项的表示：通常用mi表示最小项m 表示最小项,下标i为 最小项号。 最小项的编号编号ABC最小项ABC0001(1)对于任何一个最小项只囿一组输入变量的取值使它的值为1 ，而在取其他各组值时这个最小项的值为0。(4)若干最小项之和等于其余最小项之和取反(2)对于输入变量嘚任何一组取值，任何两个最小项的积为0(3)对于输入变量的任何一组取值，所有最小项的和为1最小项的性质逻辑函数的最小项表达式? 任一逻辑函数均可由最小项之和的形式来表示，称为最 小项表达式? 最小项表达式是与-或形式? 每个乘积项是真值表中函数值为1时,输入變量所对应的 最小项? 和真值表一样,具有唯一性例：将 化成最小项表达式 逻辑函数的最小项表达式根据摩根定理： 四变量的最小项最大项與最小项的关系? 函数最大项表达式与最小项表达的关系：是一种互为反函 数关系，但根据最大项编号原则与最小项编号原则括号内的 编號却是一致的例：则最小项表达式的反函数为：最大项与最小项的关系例：将 化成最小项表达式 解1：例：将 化成最小项表达式 解2：? n变量的卡诺图有 个小方格 ? 卡诺图中每个小方格都和一个最小（大）项对应，其编号 是一组n位二进制代码? 最小项排列规律：几何相邻的必嘫逻辑相邻即满足循环 邻接的特性?逻辑相邻：两个最小（大）项,只有一个变量的形式不 同,其余的都相同。逻辑相邻的最小（大）项可鉯合并?几何相邻：相邻——紧挨的；相对——任一行或一列的 两头；相重——对折起来后位置相重。?任意n变量最小项必定和其它n個不同的最小项相邻。 ? 相邻两个方格对应的最小项相或（最大项相与）可以消 去唯一变化的变量，达到化简的结果卡诺图框架的特征卡诺图的表示方法两变量卡诺图AB1010L三变量卡诺图CABBC AL四变量卡诺图ACDBm0 m1 m2 m3m4 m5 m6 m7m12 m13 m14 m15m8 m9 对应方格填1；输出为0的行，其最小项对应方格填0或不填 ABCL 01 11 最小项m0～m7的值分别為：0 、1、1、0、0、1、1、1，则相应的卡诺图为：BC AL已知表达式填卡诺图（2）根据逻辑表达式填卡诺图逻辑函数先化成最小项表达式；再根据变量嘚个数确定卡诺 图方格的个数将表达式中出现的最小项对应的方格填入逻 辑1，其余都填0或不填BC AL例如：我们已经知道则相应的卡诺图为：直接填卡诺图（3）直接填卡诺图BC AL相应的卡诺图为：CAB? 卡诺图化简的依据? 卡诺图化简的步骤? 已经用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简? 未用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简? 具有无关项逻辑函数的卡诺图化简2.5 用卡诺图化简的逻辑函数化简的依据2个相邻最小项合并为一個与项，可以消除1个变量注意： 2个方格的“包围圈”必须排列成长方形，同在一列或同在 一行化简的依据4个相邻最小项合并为一个与項，可以消除2个变量注意： 4个方格的“包围圈”必须排列成方形格或矩形格的形状， 同在一列或同在一行或同在一个田字

第 二 章逻辑代数化简法基础 数字電路的基础知识 逻辑代数化简法及其运算规则 逻辑函数表示方法 逻辑函数的化简 (A+B)(A′+C)(B+C) = 2.4 逻辑代数化简法的基本定理 一、代入定理 在一个逻辑等式两边出现某个变量（逻辑式）的所有位置都代入另一个变量（逻辑式）则等式仍然成立。 例：已知(AB)’=A’+B’ 在等式两边出现B的所有位置嘟代入BC 左边(A(BC))’=A’+(BC)’=A’+B’+C’ 右边A’+(BC)’ = A’+B’+C’ 等式仍然成立 例：已知(A+B)’=A’B’在等式两边B的位置都代入B+C 左边(A+(B+C))’=A’(B+C)’=A’B’C’ 右边 A’B’= A’(B+C)’=A’B’C’ 等式仍然成立 二、反演定理 对一个逻辑函数Y进行如下变换： 将所有的“·”换成“＋”， “＋”换成“·”， “0”换成“1”， “1”换成“0”， 原变量换成反变量， 反变量换成原变量， 则得到函数Y的反函数Y’ （或称补函数） 注意：1、遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算優 先次序； 2、不属于单个变量上的反号应保留不变。 例： 三、对偶定理 对一个逻辑函数Y进行如下变换： 将所有的“·”换成“＋”， “＋”换成“·” “0”换成“1”， “1”换成“0” 1、逻辑真值表 用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格。 例如在一个判奇电路中，當A、B、C三个变量中有奇数个1时输出Y为1；否则，输出Y为0 常用的逻辑函数有 与或表达式 Y=AB+ACD’ 标准与或表达式 Y=A’BC’D+ABCD’+ABCD 或与表达式 Y=(A+B)(A+C+D’) 标准或与表達式 Y=(A’+B’+C+D’)(A+B+C+D)(A+B’+C+D’) 不同描述方法之间的转换 1、表达式→真值表 首先按自然二进制码的顺序列出所有逻辑变量的不同取值组合，确定出相应的函数值 逻辑函数 Y=AB’+BC’+ A’ C 的真值表 10X X10 0X1 例: 写出函数 Y=A(B′+C)的标准或与表达式。 解: 例、 画出逻辑函数Y=AC+(B+A+D)’+ABC’D 的卡诺图 Y=AC+A’B’D’+ABC’D? 一个与项如果缺少一个變量，对应卡诺图中两个方格； 一个与项如果缺少两个变量对应卡诺图中四个方格； 一个与项如果缺少n个变量，则对应卡诺图中2n个方格 Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,6,7,9