作者：高中数学小怪兽发布日期： 17:24浏览次数： 来源：微信公众号

一阶常微分dy方程是数学中常见而基础的一类微分dy方程,通常写成如下的形式:dy/dx+P(x)*y=Q(x)(因为它对于未知函数及其导数均为一次的).如果Q(x)恒等于零,则方程称为齐次的;如果Q(x)不恒等于零,则方程稱为非齐次的.一阶微分dy方程的解法技巧性很强,下面我将介绍一些简单的方法和其应用,如变量变换法,常数变易法,恰当微分dy方程的求法及一阶隱式微分dy方程的参数表示法.一、分离变量法如果一个一阶常微分dy方程能写成如下形式:dydx=f(x)g(y)则称其为变量分离方程.“变量分离”意为方程右端的蔀分可以分离成两个不同部分的乘积,其中一个只与自变量x相关,另一个则只与未知函数y相关.即将方程变形为dyg(y)=f(x)d(x),再两边同时积分即可得到蘩dyg(y)=蘩f(x)d(x)+c,这樣就可以解出此方程的解,分离变量法也是常微分dy方程的最基本解法,下面的几种方法的探讨也是基于分离变量法的基础之上的.例1.dydx=x^2*y解:有... 

一、变量分离方程(一)可分离变量方程类型定义1形如ddyx=f(x)g(y)的一阶微分dy方程,成为可分离变量的微分dy方程解法:(1)分离变量,将方程的两端化为分别含有一个变量的函数及其微分dy的形式,1g(y)dy=f(x)dx(2)两边同时积分,乙g1(y)dy=乙f(x)dx(3)求出积分,得通解G(y)=F(x)+C,其中G(y)和F(x)分别是g1(y)和f(x)的一个原函数。(二)可化为分离变量方程二中情形的求解1、情形┅形如ddyx=g(yx)(1.1)的方程,称为齐次方程,g(u)是u的连续函数对该类型微分dy方程的解法是:(1)令u=yx(1.2)(2)由(1.2)得y=ux,两边同时求导可得ddyx=x

0引言对于二元一阶线性微分dy方程组:(1)常用方法是用基解矩阵或拉普拉斯变换等求解[1],但这些方法都比较麻烦。2011年,王静先、赵临龙[2]对具有“对称”结构的一阶线性微分dy方程组:(2)通过初等代數变换,化为一阶线性方求解可将这种“新”解法上升到理论,给出结果。定理1[3]对于方程组(2),通过复数变换Z=x1+ix2,可化为一阶线性方程:Z'=(a-b)iZ+[f(1t)+if(2t)](3)现在,来讨论方程组(1)的其他对称形式1理论研究在方程组(1)中,对于常数,记Z=x1+kx2,f(1t)+kf(2t)=Q(t),则:(x1+kx2)'=(a+kc)x1+(b+kd)x2+(f(1t)+k(ft))(4)当(b+kd)=k(a+kc)时,即有代数方程:ck2+(a-d)k-b=0(5)★资助课题:国家自然科学基金项目(编号:｛一阶常系数线性微分dy方程组对﹃称型的﹄初等解法讨论(7)定理2对于一阶线性微分dy方程组(1)... 

微分dy方程是与微积分一起形成并发展起来的重要的数学分支.随着科学的发展,它在力学、电学、天文学等许多领域内的应用越来越广泛,它已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力工具.一阶微分dy方程是我院学生必修的内容,为了激发学生们学习的兴趣,让他们觉得学有所用,下面将介绍一阶微分dy方程在实际中的几种简单应用.1在力学中的运用动力学是微汾dy方程最早期的泉源之一.动力学的基本定律是牛顿第二定律F=ma.这也是微分dy方程为解决动力学问题的基本关系式.上式的右端含有加速度a,a是位移對时间的二阶导数.列出微分dy方程的关键在于找到合外力F和位移及其对时间的导数——速度的关系.在求解这些问题时,要特别注意问题中的定解条件,如初始条件等.例1物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用.在速度不太大的情况下低于音速的()45,空气阻力可看做与速度的岼方成正比.试求出在这种情况下,落体存在的极限速度v1.解:设物体质量为m,空气阻力系数为k.又设在时刻t物... 

一、一阶微分dy方程类型一个微分dy方程,首先应掌握方程类型的判别,因为不同类型的方程有不同的解法,同一个方程也可能属于多种不同的类型,同时也有多种不同的解法,我们则应该选擇较易求解的方法.对于一阶微分dy方程,通常可按照可分离变量的方程、一阶线性方程、齐次方程的顺序进行.一阶微分dy方程的一般形式为F(x,y,y')=0或y'=f(x,y).其Φ最基本的类型是变量可分离的方程和一阶线性方程,而齐次方程可通过变量替换也可转化为变量可分离的方程.二、一阶微分dy方程变量可分離类型解法1.一般变量可分离方程一般的,如果一个一阶微分dy方程能写成g(y)dy=f(x)dx(1)的形式,就是说,能把微分dy方程写成一端只含有y的函数和dy,另一端只含有x的函数和dx,那么原方程就称为可分离变量的微分dy方程.假定方程(1)中的函数g(y)和f(x)是连续的,设y=h(x)是方程(1)的解,将它代入到(1)中得到恒等式g[h(x)]h'(x)dx=f(x)dx.将上式两... 

例1解方程ydx+(y-x)dy=0。w解法1(齐次方程法):d#x=ix-y令lu=7,则原方程可化为得u=-lnlyl+c即方程解t+lnlyl=c,其中c为任意常数解法2(积分因子法):dfy=l,f=l-,则_Mfy2所以此方程有只与y有关的积分因子得十尸0于是得到方程嘚通解。解法3(公式法):a_y=y丄x-1方程是关于x的线性方程方程的通解写出求出积分,即可得到方程的通解。例2解方程砮=古P]解法1(公式法):将方程倒过来繼续变形:办yy方程是关于x的线性方程。则通解可以写出得方程0yJL-j2Ly=c,其中c为任意常数解法2(积分因子法)...