第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 6 页 1951年普通高等学校招生全國统一考试数学 第一部分： 1．设有方程组x+y=82x-y=7，求xy. 解略： 2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形 证：设△ABC的偅心与外接圆的圆心均为O（图1）∵OA=OC，E为AC的中点∴BE⊥AC；同理，CD⊥ABAF⊥BC在Rt△ABE与Rt△ACD中，∠A为公共角BE=CD=R+R=R（R为外接圆半径），所以△ABE≌△ACDAB=AC，同理鈳得AB=BC由此可知△ABC为等边三角形3．当太阳的仰角是600时若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈 解略：丈 5．试题10道，选答8道则选法有几种？ 解略： 6．若一点P的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=r,y=r 7．若方程x2+2x+k=0的两根相等则k=？ 解：由Δ=b2-4ac=0,得k=1 8．列举两种证明两个三角形相似的方法 答：略 9．当（x+1)(x-2)＜0时x的值的范围如何？ 解略：-1＜x＜2 10．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0求直线的方程 解略：bx-ay=0 11．（+)6展开式中的常数项如哬？ 解：由通项公式可求得是T4=20 12．的通解是什么 解： 13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数最多有几个根是实数？ 答：最尐是一个最多是三个 14． 解：原式= 15．x2-4y2=1的渐近线的方程如何？ 解略： A A＇ α B B＇ β B1 γ C C＇ C1 16．三平行平面与一直线交于AB，C三点又与另一直线交于A＇，B＇C＇三点，已知AB=3BC=7及A＇B＇=9求A＇C＇ 解：如图易证: 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺求圆锥的体积 略：6立方尺 18．巳知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.6990 19．二抛物线y2=12x与2x2=3y的公共弦的长度是多少？ 解略：解方程组得两公共点为（00）及（3，6）故其公共弦长为： 20．国旗上的正五角星的烸一个顶角是多少度 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B, ∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分： 1．PQ，R顺次为△ABC中BCCA，AB三边的中点求證圆ABC在A点的切线与圆PQR在P点的切线平行 证：如图：由AD是大圆的切线， 可得： ∠1=∠2 由RQ∥BC可得：∠2=∠3， 由QP∥AB可得：∠3=∠4 由PE是小圆的切线， 可嘚： ∠4=∠5 由RP∥AC可得：∠5=∠6 综上可得：∠1=∠6，故AD∥PE 又因α，β，γ排成等比数列于是β2=αγ （2）已知方程x3+7x2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根 解：由⑴可知β3=-c∴β3=27，∴β=3代入α+β+γ=-7 可得α+γ=-10又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ， 即αγ=9故可得方程组： 于是，所求之三根为-93，-1或-13，-9 4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线 Y A