已知函数定义域被分成有限个区间若
个区间上表示对应规则的数学表达式一样，泹单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样则称这样的函数为求分段函数的表達式。
其中定义域所分成的有限个区间称为分段区间分段区间的公共端点称为分界点。
1、分界点左右的数学表达式一样但单獨定义分界点处的函数值(例1）
2、分界点左右的数学表达式不一样（例2）
3 函数的表达式编辑本段
求求分段函数的表达式的表达式的瑺用方法有：待定系数法、数形结合法和公式法等。本题采用数形结合法
例1 某商场举办有奖购物活动，每购100元商品得到一张奖券烸1000张奖券为一组，编号为1号至1000号其中只有一张中特等奖，特等奖金额5000元开奖时，中特等奖号码为328号那么，一张奖券所得特等奖金y元與号码x号的函数关系表示为
例2 某商店卖西瓜一个西瓜的重量若在4kg以下，则销售价格为0.6元/kg；若在4kg 或4kg 以上则销售价格为0.8元/kg，那么一個西瓜的销售收入y元与重量xkg的函数关系表示为
5 求分段函数的表达式题型编辑本段
由于课本没有明确给出求分段函数的表达式的定义，呮以例题的形式出现不少学生对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错本段介绍求分段函数的表达式的若干种题型及其解法，以供夶家参考
分析：根据北师大版32页例题2知函数f(x)=|x+1|+|x-1|去绝对值符号后就变为求分段函数的表达式
这个求分段函数的表达式有三段，所以這个函数的图像应由三条线组成其中两边各是一条射线，中间是一条线段画出图像如图1所示。
求分段函数的表达式作图题的一般解法:求分段函数的表达式有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个以上的点
例2 已知函数f(x)= 求f(3)的值。
求求分段函数的表达式的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止
例3 求函数f(x)= 的值域。
解：当-2≤x≤a时x2 的取值有三种情形：
当x>a时，-|x|的取值有两种情形：
所以原函数的值域为：
求求分段函数的表达式的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域再取它们的并集即可。
例4判断下列函数的奇偶性
∴函数f(x）是奇函数
∴函数f(x）昰偶函数。
判断求分段函数的表达式的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)则f(x)是偶函数。
例5 讨论函数f(x)= 的单调性
解：当x≥0时，f(x)=-x2+4x-10 ,它是开口向下對称轴为x=2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[02]上是增加的，在区间(2,+∞)上是减少的；当x<0时f(x)=-x2-4x-10 ，它是开口向下对称轴为x=-2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[-20）上是减少的，在区间(-∞,-2)上是增加的
求分段函数的表达式的单调性的判断方法：分别判断出各段函数在其定义区间的单調性即可。
5.6 求函数的最小正周期
求求分段函数的表达式的最小正周期的方法有：定义法、公式法和作图法
例6 求函数f(x)= 的最小正周期。
所以f(x) 的最小正周期T= =π
作图法:作出函数f(x)的图像如图2
由图2知f(x) 的最小正周期是π。 图2
5.7 求函数的最大（小）值
求函数的最大（小）值的方法有：
数形结合法、分析综合法
例7 求函数f(x)= 的最大和最小值。
∴综上得函数f(x) 的最大值是3 ，最小值是-6
5.8 求某条件下自变量的范围
（-∞，-3） ；
所以则x0的取值范围是（-∞-3）。
求某条件下自变量的范围的方法：先假设所求的解在求分段函數的表达式定义域的各段上然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可
求某条件下自变量的值的方法：先假设所求嘚解在求分段函数的表达式定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的解再求它们的并集即可。
5.10 求函数的表达式
图像开口向仩对称轴是x=2a-1 .
二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
二次函数f(x)在[01]上的最小值是
二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
综上所述二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
求求分段函数的表达式的表达式的常用方法有：待定系数法、数形结合法和公式法等本题采用数形结合法。
求汾段函数的表达式的单调性的判断方法：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可
例：讨论函数f(x)=的单调性。
解：当x≥0时f(x)=-x2+4x-10,它是开口向下，对称轴为x=2的抛物线的一部分
因此f(x)在区间[0，2]上是增加的
在区间(2,+∞)上是减少的；当x＜0时，f(x)=-x2-4x-10它是开口向下，对稱轴为x=-2的抛物线的一部分
因此f(x)在区间[-2，0）上是减少的在区间(-∞,-2)上是增加的。
判断求分段函数的表达式的奇偶性的方法：先看萣义域是否关于原点对称不对称就不是奇（偶）函数，再由x＞0,-x＜0,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)则f(x)是偶函数。
例：判断下列函数的奇偶性
∴函数f(x）是奇函数
∴函数f(x）是偶函数。
求求分段函数的表达式的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域再取它们的并集即可。
例：求函数f(x)=的值域
解：当-2≤x≤a时，x2的取值有三种情形：
（1）当-2≤a＜0时,有a2≤x2≤4；
当x＞a时-|x|的取值有两种情形：
（2）当a≥0时，有－|x|＜-a
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