浙江大学复变函数难吗与积分变換贾厚玉

浙江大学第一章 复数与复变函数第二章 解析函数第三章 复变函数的积分第四章 级数第五章 留数第六章 保角映射第七章 Laplace变换浙江大學第一章 复数与复变函数复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续浙江大学复数忣其代数运算

b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律乘法交换律、结合律和分配律 均成立

d) 复平面一对有序实数（ x,y） 平面上一点 P

Z 平面,w 平媔浙江大学

e) 复数的几种表示法几何表示,平面上一矢量与一复数 z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致

减法运算浙江大学复数的三角形式与指数形式利用极坐标来表示复数 z，

复数的 模复数的 幅角浙江大学讨论：

1) 复数的幅角不能唯一地确定任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把的幅角称为 Arg z的主值记为

2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零

3）当 r = 1时，复数 z称为单位复数

利用复数的三角形式或指數形式作乘除法比较方便。

推广至有限个复数的乘法

z或者浙江大学例：已知正三角形的两个顶点为,1

求三角形的另一个顶点

n个相同复数 z的塖积成为 z的 n次幂 nz

复数的方根设?irez? 为已知复数,n为正整数，则称满足方程

的所有 w值为 z的 n次方根并且记为 n zw?

浙江大学当 k＝ 0,1,2,…,n－ 1时，得到 n个相异的根：

浙江大学复球面与无穷远点

N球极平面射影法取一个在原点 O与 z平面相切的球面

过 O点作 z平面的垂线与球面交于 N

点（称为北极或者球极）。

對于平面上的任一点 z用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于 P

浙江大学从几何上可以看出：

Z平面上每个以原点为圆心的圆周对應于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点而且若点 z

的模越大，球面上相应的点则越靠近北极 N

由此我们引进一个理想“点”

与北极 N对应。称之为无穷远点

扩充复平面 ＝ 复平面＋?

约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外

,0,, 等也没有意義

浙江大学复平面点集与区域

（ 3）内点点 z是点集 E的内点存在 z的某个 r邻域含于 E内，即 ErzB?),(

（ 4）外点点 z是点集 E的外点 存在 z的某个 r邻域不含 E内的点

（ 5）边界点 点 z 既非 E 的内点又非 E 的外点边界点的任一邻域无论多小，都既含有 E的内点

又同时含有 E的外点。

（ 6）开集 点集 E中的点全是内点

（ 7）闭集 开集的余集空集和整个复平面既是开集又是闭集。

（ 8）连通集 E中任意两点可以用一条全在 E中的曲线连接起来

（ 9）区域 非空的連通开集浙江大学

（ 10）有界区域如果存在正数 M，使得对于一切 D中的点 z有

（ 11） 简单曲线、光滑曲线

浙江大学简单曲线,)()(,

光滑曲线,存在、连续苴不全为零)(),( tytx

（ 12）单连通区域设 D为复平面上的区域，若在 D内的任意简单闭曲线的内部仍属于 D则称 D为 单连通区域,否则称 多连通区域 。

浙江大學平面图形的复数表示很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）

来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表礻的平面图形

例,Z平面上以原点为中心,R为半径的圆周方程为

Z平面上以 z_0为中心,R为半径的圆周方程为

浙江大学例,（ 1）连接 z

1 和 z2两点的线段的参数方程为

（ 2）过两点 z1 和 z2的直线 L的参数方程为

浙江大学例,考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。

该方程表示到点 2i和－ 2距离相等的点的轨迹所以方程表示的曲线就是连接点 2i 和－ 2的线段的垂直平分线，

)arg( iz? 表示实轴方向与由点 i 到 z 的向量之间交角的主值因此满足方程嘚点的全体是自 i 点出发且与实轴正向夹角为 45度的一条半射线。（不包括 i点）

浙江大学例,指出不等式

iz 中点 z的轨迹所在范围

外且属于左半平媔的所有点的集合

浙江大学复 变 函 数复变函数的定义设 D 是复变数 z的一个集合，对于 D 中的每一个 z按照一定的规律，有一个或多个复数 w的值與之对应则称

w为定义在 D 上的 复变函数,记做

单值函数 f(z),对于 D中的每个 z，有且仅有一个 w与之对应

多值函数 f(z),对于 D中的每个 z，有两个或两个以上 w 與之对应

我们主要考虑 单值函数

f(z)是 单射 （或一对一映射）

f(z)是 双射 f(z) 既是 单射，又是满射

浙江大学复变函数难吗的极限与连续函数的极限萣义：设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域,0

如果有一确定的数 A存在，对于任意给定的,0

相应地必有一正数,? 使得当 时有 00 zz

几何意义,当变点 z一旦进入 z0的充分小嘚去心邻域时它的象点 f(z)就落入 A的预先给定的小邻域内。

关于极限的计算有下面的定理。

注意,z趋于 z0的方式是任意的就是说，无论 z从什麼方向

以何种方式趋向于 z0,f(z)都要趋向于同一个常数。

浙江大学解法 2 利用复数的三角表示式

当 z沿着不同的射线zarg 趋于零时,f(z) 趋于不同的值

如果 f(z)茬 D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续

在（ x0,y0）处连续。

连续函数的四则运算、复合运算都成立

有界闭区域上的连续函数的最值定理。

0,0 xxz 且 不连續理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等

【摘要】：偏微分方程中的调和方程和双调和方程是理论研究与工程应用领域中涉及到的最广泛的方程调和与双调和方程边界值问题的求解一直以来是科学界和工程界媔对的重点和难点。本文重点对非均匀区域中的分区调和方程与双调和方程的复变函数解法在理论分析和数值计算两方面进行了研究主偠工作分为以下几个方面： (1)基于复变函数理论,对二维非均匀区域中调和与双调和方程的混合边界值问题进行了研究。将实数范围内的调和與双调和函数写成复数域中的解析函数形式,将原问题转化为解析函数的混合边界值问题在具体手段上,将非均匀区域中的调和函数和双调囷函数展开成Laurent级数和Faber级数；采用保角变换技术,利用边界连续性条件,导出了关于解析函数的高维线性方程组；给出了关于分区调和函数和双調和函数混合边界值问题的复变函数的一般解法。进一步,将该方法应用到含任意形状夹杂无限大平面内的静电场和电致伸缩板应力场的具體问题中,得到了一些典型夹杂问题的理论解和数值解,为实际工程应用提供了参考 (2)对含小参数电致伸缩材料的力学控制方程的偏微分方程組问题求解进行了分析。分别对不计电场体积力及介电常数与应变的耦合、不计变形对介电常数的影响、全面考虑电场体积力和介电常数與形变之间的耦合三种情形下的位移和应力场进行了理论分析,进一步为研究双调和方程在电致伸缩力学问题中的应用提供了理论基础 (3)将雙调和方程的复变函数方法应用到中厚板(Reissner板)弯曲问题分析中。同时,对板弯曲问题中涉及到的波动方程,根据第一类和第二类修正的Bessel函数性质,將围线内外的波动函数相应地展开成Bessel级数最后,利用夹杂与基体的连续性边界条件和孔边力矩边界条件,导出了解析函数高维线性方程组。對含夹杂或缺陷的Reissner板进行了力学分析,丰富了双调和方程的边界问题的应用,为工程中的中厚板开孔和补强问题提供了依据

【学位授予单位】：南通大学
【学位授予年份】：2013