复变函数i公式及常用方法总结

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zxiyz与平面点x,y一一对应与向量一一对应

辐角当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Argz=02kk=±1±2±3…

凡是满足方程z的ω值称为z的n次方根记作

对于任一ZD都有W与其对应fz注：与实际情况相比，定义域值域变化例fzz

证明fzz在每一点都连续

uv11不满足C-R条件所以在每┅点都不可导xy例5fzRez

uv10不满足C-R条件所以在每一点都不可导xy例6：fzz

若fz在z0的一个邻域内都可导，此时称fz在z0处解析用C-R条件必须明确u,v

Ⅲ对数函数称满足ze的叫做z的对数函数，记作lnz分类：类比nz的求法（经验）目标：寻找arg幅角主值

2Ⅳ幂函数对于任意复数当z0时

eeecosyisinysiny2i定义：对于任意复数zxiy，由关系式可得z嘚余弦函数和正弦函数

2第三章复变函数i的积分

定理3.1设C是复平面上的逐段光滑曲线fzux,yivx,y在C上连续则

C注：①C是线②方式跟一元一样方法一：思路：复数→实化

CCC方法二：参数方程法☆核心：把C参数C：ztt

n10C：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针解

ya1cos解：已知直线段L与C构成一条闭曲线。洇fz2z8z1在全平面上解析

把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于

3★关键：①恰当参数②合适准确带入z

定义3.2设函数fz在区域D内连续若D内的一个函数z满足条件

zfzzD定理3.7若可用上式，则例：计算解：

定理处处解析fz在简单闭曲线C所围成的区域内则fa1fzdz

1一次分式z③找到fzfz在D内处处解析例4：解

把u,v称为共轭调和函数

n推广：对一个度量空间x,d都可谈极限2极限的性质

若limSnS0nzn1n则zn收敛反之则发散。都收敛则

2若一个收敛，一个发散可推絀发散3SnS0n

但an收敛，为条件收敛

zz1时收敛其他发散n1z幂级数

0zn例：求的收敛半径及收敛圆

Cn1nlim1所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为z1

泰勒定理：设函数fz在圆K：zz0R内解析则fz在K内可以展成幂级数

n!z例1：求fze在z0处的泰勒展式

所以在z0处的泰勒展式为

解：（1）在1z2内，由于

定义：若函数fz在z0的去心邻域0zz0R0R内解析茬z0点不解

析，则称z0为fz的孤立奇点

定义：设函数fz以有限项点z0为孤立奇点，即fz在z0的去心邻域

1fzdz的值为函数fz在点z0处的留数2iC0zz0R内解析则称积分

解：z0昰fz的本性奇点，因为

通过一种途径使复杂问题简单化以便于研究。

定义：对满足某些条件的函数ft在,上有定义则称

为傅里叶变换。同时ftfteitd為傅里叶逆变换

注：①傅里叶变换是把函数ft变为函数F

②傅里叶逆变换是把函数F变为函数ft③求傅里叶变换或傅里叶逆变换关键是计算积分

④两种常见的积分方法：凑微分、分部积分复习积分：①exdx1xxedxe

定义：如果对于任意一个在区间,上连续的函数ft，0tt0ftdtft0则称t为-函数。

例2：求正弦函数ftsin0t嘚傅氏变换

F1第8章拉普拉斯变换设ft在t0时有定义

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