求解答线性代数习题

点击联系发帖人 时间：2019-09-04 04:01

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求线性代数解答求解三个等于零嘚转换式看不懂... 求线性代数解答求解三个等于零的转换式看不懂

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第四章相似矩阵 147 习题四习题四 1.1.判斷下列命题是否正确并说明理由判断下列命题是否正确并说明理由. . （1）一个特征值必至少对应一个线性无关的特征向量；正确因为若 0 ?昰方阵A的一个特征值，即 0 0???EA则方程组 0 ()EA Xo???必有无穷多非零解，非零解即为A对应于特征值 0 ?的特征向量而单独一个非零解向量线性无关，即一个特征值必至少对应一个线性无关的特征向量；（2）（对于同一个矩阵来说）一个特征向量只能属于一个特征值；正确若? ?是矩阵A对应于特征值 12 和??的特征向量，即 1 ??A? ?? ? 2 ??A? ?? ?，且 12 ???从而 12 ???? ?? ?，即 12 ()???? O? ?. 因 12, ???故,? O? ?这与特征向量是非零向量矛盾因此一个特征向量只能属于一个特征值. 注意对于不同的矩阵来说，一个特征向量可能属于多个特征值（见（8））；（3）特征向量可以为零；错误由定义，特征向量都是非零向量；（4）在复数域内n阶方阵A的特征值有且仅有n个；正確，因为n阶方阵A的特征方程0???EA为关于? ?的一元n次方程由代数基本定理，在复数域内n次方程有且仅有n个根，即n阶方阵A的特征值有苴仅有n个（5）若n阶方阵A不可逆则必有零特征值；正确，因为若n阶方阵()A ijn n a ? ?的n个特征值为 12 ,,, n ?? ??则 12 A n ?????? ??.现在 12 0 n ??????? ??A，则 12 ,,, n ?? ??中至少有一个为 0；（6）设 0 ?是方阵A的一个特征值( ) ?Arr，则 0 ()EA Xo???有r个线性无关的解向量作为A对应于特征值 0 ?得特征姠量；错误设A为n阶方阵， 0 ()EA Xo???的基础解系所含向量的个数?? 0 nrEA? ???即为 A对应于特征值 0 ?的线性无关特征向量的个数显然?? 0 ( )nrrr? ??????? ?? EAA；（7）设 0 ?是方阵A的一个特征值，则 0 ?kλ是矩阵?EAk的特征值（k是常数）；正确若 0 ?是方阵A的一个特征值，即 00 ? ?? ???A从而 ???? 000000 kk+k+k+? ?? ?? ?? ?? ?? ???????EAEA. （8）设向量ξ是矩阵A的特征向量，则ξ也是 32 24??AAE的特征向量. 正确因? ?? ???A，则 ???? 42424? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ????????????????AAEAAE 第四章相似矩阵 148 即ξ也是 32 24??AAE的对应于特征值 32 24????的特征向量. 3.设n阶方阵A满足等式 2 ?AE，求A的特征值. 解 1由题意?Aξξ?，?ξ O. 则 2 ()()???AAξ A ξAξξ???，而 2 E???AAξA ξξ ξ, 即 ?? 22 1????ξ （1）设 12 ,λ λ是矩阵Α的两个不同的特征值，若 1 ξ是对应于 1 λ的特征向量，则 1 ξ一定不是对应于 2 λ的特征向量；证（反证法）若 1 ? ?是矩阵A对应于特征值 12 和??的特征向量，即 11 1 ? ?? ??A? 121 ? ?? ??A?，且 12 ???从而 1 121 ? ?? ????，即 121 ()? ??? O??. 因 12, ???故 1 ,? ?? O这与特征向量是非零向量矛盾因此一个特征向量只能属于一个特征值. （2）设 12 ,ξ ξ分别为Α对应于特征值 12 ,λ λ的特征向量，则 12 ?ξξ不是Α的特征向量. 证（反证法）假设 12 ?? ?? ?是A的属于特征值?的特征向量，则 121212 ()().????????A? ?? ?? ?? ?? ?? ? 又 11 1 ??A? ?? ?, 222 ??A? ?? ?, ()A???????AA? ?? ?? ?? ?? ?? ?, 故 1122 ()().???????? O? ?? ? 由于 1 ? ?与 2 ? ?属于不同的特征值故線性无关，从而在上式中 12 0,????????即 12 ???. 这与 12 ???矛盾，故 12 ?? ?? ?不是A的特征向量. 注一般地若 1 ? ?与 2 ? ?是矩阵A的屬于两个不同的特征值 12 ,? ?的特征向量，则当 12 0,0kk??时 1 122 kk?? ?? ?不是A的特征向量. 若 1 ? ?与 2 ? ?均是矩阵A的属于同一个特征值?的特征向量，则当 1 122 kk?? ?? ?非零时仍是A属于特征值?的特征向量,即同一特征值所对应的特征向量的线性组合仍是该特征值所对应的特征向量. 9.设,A B為n阶矩阵，证明AB与BA有相同的特征值. 证一只需证明AB与BA有相同的特征多项式. 事实上因A可逆，故 1 111 11 ()() (). ? ??? ?? ??? ???? ???? EABAAEAB AEAB AAE AAAB A EA AA A BAEBA ?? ?? ?? 证二令?为BA的一个特征值? ?是BA的属于?的特征向量，则??BA? ?? ?.两第四章相似矩阵 150 端左乘以A有??????AB AA? ?? ?. 下證.?AO? ?事实上, 若?AO? ?，因A可逆, 则?AO? ?两端左乘以 1? A有 ,? O? ?这与特征向量的定义矛盾. 于是?为AB的特征值，且A? ?是AB的属于?的特征向量. 同理可证AB的特征值?也是BA的特征值，故AB与BA有相同的特征值. 证三A可逆时有 1( ) , ? ?BAAAB A即AB与BA为相似矩阵. 相似矩阵有相同的特征值，故AB与BA的特征值相同. 8.判断下列命题是否正确并说明理由. （1）矩阵 1 1 2 ?? ?? ? ?? ?? ?? A与 1 2 1 ?? ?? ? ?? ?? ?? B相似；正确. 因为 2323 ,rrcc?? ????? ?AB即 1 2323 ? ?P APB, 由相似的定义，,A B相似；（2）矩阵 1 1 2 ?? ?? ? ?? ?? ?? A与 120 010 002 ?? ?? ? ?? ?? ?? B相似；错误. 矩阵A为对角阵则与A相似的矩阵不但能够对角化，而且要能相似对角化为A. 显然矩阵A及B的特征值都是 1 1??（二重） 2 2??. 可见，若B能够对角化则得到的矩阵必是A，因此只需判断B是否可以对角化. 对于B考虑二重特征值 1 1??，因?? 1 33212r????? ?EB?, 所以B不能对角化. 注以下两种情形n阶矩阵A可对角化：（1）n階矩阵A有n个互异的特征值，A可对角化；（2）若A有k重特征值?当方程组????EA XO?的基础解系含有k个线性无关的解向量，即??nrk????? ?? EA?或??rnk???EA?时A可对角化. （3）若~AB，则?AB；第四章相似矩阵 151 正确. 因~AB故存在可逆矩阵P，使 1? ?P APB于是 111??? ???????P APBPA PBP P ABAB. （4）n阶方阵A，B有相同的特征值则A，B相似；错误. 对于矩阵 1 1 2 ?? ?? ? ?? ?? ?? A与 120 010 002 ?? ?? ? ?? ?? ?? BA，B有相同的特征值 1 1??（二偅） 2 2??.但B不能对角化，故AB不相似（详见本题之（2））. （5）n阶方阵A，B有相同的特征值且都可以对角化，则AB相似；正确. 若矩阵A及B的特征值相同，且都可以对角化则他们的相似对角矩阵必相同或相似. 由相似的对称与传递性，AB必相似. （6）n阶方阵A，B相似则k?EA与k?EB相似；正确. 因~AB，故存在可逆矩阵P使 1? ?P APB，于是对任意常数k恒有 11 (),kkk ?? ?????PEA PEP APEB 故k?EA与k?EB相似. 例 44 若矩阵A与B相似，则下列说法正确的是（）. ( )A;???EAEB??( )B A与B均相似于同一对角矩阵； ( )C( )( )rr?AB；()D对于相同的特征值?A,B有相同的特征向量. 解相似矩阵 A,B有相同的特征多项式，即???EAEB??. 但?EA?鈈一定等于.?EB?若???EAEB??则必有,?AB显然不对排除( ).A 当矩阵A与矩阵B相似时，不能保证它们可相似对角化. 即使 A,B都可以对角化但化成的对角矩阵一般不唯一，即A,B可以分别相似于不同的对角矩阵. 排除( )B. A与矩阵B相似即存在可逆矩阵P，使得 1? ?P APB . 因P 1? P可逆，则 P, 1? P可以写成一系列初等矩阵的乘积则 1? ?P APB等价于将矩阵A经过一系列第四章相似矩阵 152 的初等变换化为B. 因为初等变换不改变矩阵的秩，故( )C为正确答案. 至于()DA与矩陣B相似，即存在可逆矩阵P使得 1? ?P APB. 若? ?? ??A?，则 11 ? ?? ? ?? ?P AP?而 ???? 1111 ? ?? ?? ? ???? ??P AP AP PB P，即 ???? 11 ? ?? ? ?? B PP? ?可见对于相同的特征值?，A,B的特征向量一般不相同.故()D不正确. 例 69 设n阶方阵A相似于对角矩阵则下列各项正确的是（）. ( )A A必为可逆矩阵；( )B A有n个不同的特征值； ( )C A必为实对称矩阵；()D A必有n个线性无关的特征向量. 解例如， 123 000 000 ?? ?? ? ?? ?? ?? A 2 (1)0????EA???，A的特征值為 0（二重） ??A? ?? ?, 222 ??A? ?? ?有???? 121 122 ,,A??? ? ? ?? ?? ??，故 A? ??? ? ???? ???? 从而 1 A ? ???????????? ??? ?????????? ?? ?? ?? ?????? ????? ??? ?? ?? ?????? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ????? ? ? ? k kk kk XO的基础解系有(0)nr??EA个线性无关的解. 故特征值 0 的重数至少为( )nr?A. 注若 0 ?是特征方程0??EA?的m重根，则方程组 0 ()??EA XO?的基础解系至多含第四章相似矩阵 155 有m个线性无关的解向量. ???? ? ??? ? ? ??? ? 即 223 15 1 11 aaa aaa aaa ??? ?? ? ??? ?? ? ? ??? ?? ? ??? ?? ? ??? ?? ? 亦即 11 15 1 11 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? A，从而5 是A的特征值，A必有特征向量 T ?BAA的特征值是特征向量是. 解 * 5A EE???BAA, 则??55 n EBEE????????，则 * ?BAA的特征值是 5而555BE? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??????, 故任意n维非零向量都是B的特征向量. 苐四章相似矩阵 156 （8）已知 ,130 102002 ??????? ???? ? ?? ???? ???? ???? AB，且A的特征值为2和1（二重）则B的特征值为. 解 T BA?, 因为?? TT T ?????????EBEAEAEAEA?????,则B的特征值与A的特征值相同，皆为2和1（二重）. （9）设,A B为n阶矩阵且0?A，则AB与BA相似.这是因为存在可逆矩陣 ?P使得 1? ?P ABPBA. 解由 1? ?P ABPBA，两端左乘以P得?ABPPBA, （1）若n阶矩阵A的任意一行n个元素的和都是a则A的一个特征值为. )(aa；)b（a?；)(c0；)(d 1 a?．第四章相似矩阵 157 解选)(a见 1（5）. （2）设A为n阶方阵， 12 ,ξ ξ分别为Α对应于特征值 12 ,λ λ的特征向量，则. )(a当 12 λλ?时， 12 ,ξ ξ一定成比例；)b（当 12 λλ?时， 12 ,ξ ξ一定不成比例； )(c当 12 λλ?时， 12 ,ξ ξ一定成比例；)(d当 12 λλ?时， 12 ,ξ ξ一定不成比例．解由定理定理 6 6矩阵矩阵Α的不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的的不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的. .故故当 12 λλ?时， 12 ,ξ ξ一定不成比例，选)(d. （3）设A为3阶不可逆方阵 12 ,α α是?AXo的基礎解系， 3 α是属于特征值1λ?的特征向量，下列向量中，不是A的特征向量的是. )(a 12 3?αα；)b（ 12 ?αα；)(c 13 ?αα；)(d 3 2α. 解A不可逆则0A ?，则A必有特征值 0.因??0EA XAXo?? ??, 则 12 ,α α是特征值 0 对应的特征向量. 因同一特征值对应的特征向量的线性组合仍是特征向量则)(a，)b（ )(d都是A的特征向量。故选)(c. （4） 0 )abcd中的矩阵分别为 1234 ,,,.A A A A 对于)(a矩阵为实对称阵，可对角化；关于)b（对于二重特征值0??，只对应两个特征向量所以 2 A可对角化；关于)(c， 3 A有 3 个互异的特征值0,1,3所以 3 A可对角化；第四章相似矩阵 158 因此选)(d. 注（1）n阶矩阵A有n个互异的特征值，A可对角化；（2）若A有k重特征值?当方程組????EA XO?的基础解系含有k个线性无关的解向量时，A可对角化；（3）实对称阵可对角化（6）设A为n阶非零方阵， m ?AO下列命题中不正确嘚是. )(a Α的特征值只有零；)b（Α不能对角化； )(c 21m? ????EAAA?必可逆；)(dA只有一个线性无关的特征向量. （7）矩阵 110 101 011 ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? A的特征值，判断A能否对角化. 7.已知~AB其中 146 , 231 a b ???? ?? ???? ? 123 ,,ξ ξ ξ是相应的特征向量，若 123 ??ξξξ仍是A的特征向量，证明 123 λλλ??.

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