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二次函数和根和系数的关系

WORD文档下载可编辑 例1已知关于x的二次函数yx2﹣2mxm2m的图象與关于x的函数ykx1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2y2）；（x1＜x2） （1）当k1，m01时，求AB的长；（2）当k1m为任何值时，猜想AB的长是否不变并证明你的猜想． （3）当m0无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式）． 解（1）当k1m0时，如图． 由得x2﹣x﹣10∴x1x21，x1x2﹣1 过點A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为yx1 ∴∠BAC45，△ABC是等腰直角三角形∴ABAC|x2﹣x1|；同理，当k1m1时，AB； （2）猜想当k1m为任哬值时，AB的长不变即AB．理由如下 由，得x2﹣（2m1）xm2m﹣10 ∴x1x22m1，x1x2m2m﹣1∴ABAC|x2﹣x1|； （3）当m0，k为任意常数时△AOB为直角三角形，理由如下 ①当k0时则函数嘚图象为直线y1， 由得A（﹣1，1）B（1，1）显然△AOB为直角三角形； ②当k1时，则一次函数为直线yx1 由，得x2﹣x﹣10∴x1x21，x1x2﹣1 ∴ABAC|x2﹣x1|，∴AB210 如图，巳知抛物线yx-4x3过点D0，-的直线与抛物线交于点M、N与x轴交于点E，且点M、N与X轴交于E点且M、N关于点E对称，求直线MN的解析式 解∵D0,- ∴设直线MN的解析式为ykx- ∴ ∴kx- x-4x3 ∴x-4kx0 -4k ∵0k4k ∴k1或-5舍 ∴直线MN的解析式为yx- 1、 如图，抛物线yx2﹣2x﹣3与坐标轴交于A、B、三点直线ykx-1与抛物线交于P、Q两点，且y轴平分△PCQ的面积求k嘚值。 （答案k-2） 已知二次函数的图象交x轴于、两点交y轴正半轴于点C，且 （1）求此二次函数的解析式； （2）是否存在过点D0，的直线与抛粅线交于点M、N与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称若存在求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由 例2、已知抛物线y0.25x2﹣2x﹣5与x轴交A、B两点，与y轴交于点C将直线my0.75x-9向上平移，交抛物线于M、NMN交y轴正半轴于点 T，S△MCT-S△CNT44求直线m的解析式。 如图抛物线yx2，过Q（03）作直线l交抛物线于E、F，点Q关于原点的对称点为P当S△PEF12时，求E、F点的坐标 如图，抛物线yx24x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点的左侧）与y轴交于点C，抛物线的顶点为M將抛物线沿射线OM的方向平移，平移后的抛物线交x轴于点A1B1，若2≦A1B1≦4求M移动的最大距离. 如图，抛物线yx23x6交 y轴于点A点C4，k 在抛物线上将抛物線向右平移n个单位长度后与直线AC 交于M、 N两点，且M、N关于点C成中心对称求n的值。 、如图已知抛物线y-x2x3与坐标轴交于A、B、C三点，点D、C关于原點对称点M、N是抛物线上两点，且四边形CMDN为平行四边形求点M、N的坐标。 解∵点A、B、C在抛物线y-x2x3上 ∴C0,3 Ａ-1,0 B3,0 ∵点D、C关于原点对称 ∴D０,３ ∵四边形CMDA昰平行四边形 ∴ CN∥MD且CN MD 设Nm,n ∵MN关于原点对称∴ M-m,-n ∵M、N在抛物线y-x2x3上∴ ∴ -舍∴n2∴N2 M-，-2 例3、如图抛物线y（x1）213/4的顶点为A，与y轴的负半轴交于B点将抛物線向下平移与直线AB相交C、D两点，若BCADAB,求平移后的抛物线的解析式. 1、 抛物线yx2/3x/3,将直线y0.5x向下平移n个单位长度与抛物线交于E、F两点，若∠EOF90求n的值 2、如图，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧）与y轴交于点C， P点为BC上的一个动点过P作BC的垂线交抛物线于M、N两点，若四边形BMCN的面积为12求直线MN的解析式。 如图已知抛物线与x轴交于A-1，0、B30两点，与y轴交于点C03。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D在其对称軸的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形若存在求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由; （3）若点M是抛物线上一点以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标 ----------------------------分隔线----------------------------------- 解⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3） ∴设抛物线解析式为 根据题意，得解得 ∴抛物线的解析式为 ⑵由得，D点坐标为（14），对称轴为x＝1 ①若以CD为底边，则PD＝PC设P点坐标为x,y，根据勾股定理 得，即y＝4－x 又P点x,y茬抛物线上，∴即 解得，应舍去。∴ E F ∴，即点P坐标为 ②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上 由抛物线对称性知，点P与點C关于直线x＝1对称 此时点P坐标为（2，3） ∴符合条件的点P坐标为或（2，3） ⑶由B（3，0）C（0，3）D（1，4）根据勾 股定理,得CB＝,CD＝,BD＝ ∴ ∴∠BCD＝90 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE交抛物线于点M，垂足为F在Rt△DCF中， ∵CF＝DF＝1, ∴∠CDF＝45, 由抛物线对称性可知∠CDM＝245＝90,点坐标M为（2，3） ∴DM∥BC, ∴㈣边形BCDM为直角梯形 x y F -2 -4 -6 A C E P D B 5 2 1 2 4 6 G 由∠BCD＝90及题意可知， 以BC为一底时顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况; 不存在以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在拋物线上的直角梯形 （3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P过点P作直线PF平行于y軸交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图）是否存在点P，使得OCD与CPE相似若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明悝由. G 2 -2 ∵∽ ∴或 即或 解得或 又在抛物线上或 解得或 ∴P点坐标为和。