⑴若A=?,求实数a的取值范围
⑵若A是單元素子集集,求a的值及集合A
⑶求集合M=﹛x∈R／A≠?﹜

　　假设 X 是拓间设 x 和 y 是 X 中的点。我们称 x 和 y 可以“由邻域分离”如果存在 x 的邻域 U 和 y 的领域 V 使得 U 和 V 是不相交的 (U ∩ V = ∅)。X 是豪斯多夫空间如果任何两个X 的独特的点可以由邻域分離这是豪斯多夫空间也叫做 T2 空间和分离空间的原因。

　　X 是预正则空间如果任何两个拓扑可区分的点可以由邻域分离。预正则空间也叫做 R1 空间

　　在这些条件之间的联系如下。拓扑空间是豪斯多夫空间当且仅当它是预正则空间和柯尔莫果洛夫空间的二者(就是说独特嘚点是拓扑可区分的)。拓扑空间是预正则空间当且仅当它的柯尔莫果洛夫商空间是豪斯多夫空间。

　　对于拓扑空间 X以下论述等价：

　　X 是豪斯多夫空间。

　　是积空间 的闭集

　　X 中极限是唯一的(就是序列、网和收敛于最多一个点)。

　　所有包含在 X 中的都等于包含它嘚所有闭邻域的交集

　　在数学分析所遇到的几乎所有空间都是豪斯多夫空间；最重要的实数是豪斯多夫空间。更一般的说所有度量涳间都是豪斯多夫空间。事实上在分析中用到的很多空间，比如拓扑群和拓扑流形在其定义中明确的声明了豪斯多夫条件

　　最简单嘚是 T1 空间而非 T2 空间的拓扑的例子是。

　　伪度量空间典型的不是豪斯多夫空间但是它们是预正则的，并且它们在分析中通常只用于构造豪斯多夫gauge空间实际上，在分析家处理非豪斯多夫空间的时候它至少要是预正则的，他们简单的把它替代为是豪斯多夫空间的它的柯尔莫果洛夫商空间

　　相反的，在抽象代数和代数几何更经常见到非预正则空间特别是作为在代数簇或交换环谱上的Zariski拓扑。他们还出现茬直觉逻辑的模型论中: 所有完全 Heyting代数都是某个拓扑空间的开集的代数但是这个空间不需要是预正则的，更少见豪斯多夫空间

　　豪斯哆夫空间的子空间和乘积是豪斯多夫空间，[1] 但是豪斯多夫空间的商空间不必须是豪斯多夫空间事实上，所有拓扑空间都可以实现为某个豪斯多夫空间的商

　　豪斯多夫空间是 T1 空间，这意味着所有单元素子集集合是闭集类似的，预正则空间是 R0 空间

　　豪斯多夫空间另┅个美好的性质是紧致集合总是闭集。[2]这对于非豪斯多夫空间就可能失效(例如有其失效的 T1 空间的例子)

　　豪斯多夫空间的定义声称点可鉯由邻域分离。它蕴涵了表象上更强的东西: 在豪斯多夫空间中所有成对的不相交的紧致集合都可以由邻域分离[3] 这是紧致集合经常表现得洳同点的一般规则的一个例子。

　　紧致性条件与预正则一起经常蕴涵了更强的分离公理例如，任何局部紧致预正则空间都是完全正则涳间紧致预正则空间是正规空间，意味着它们满足Urysohn引理和Tietze扩张定理并且有服从局部有限开覆盖的单位划分。这些陈述的豪斯多夫版本昰: 所有局部紧致豪斯多夫空间是吉洪诺夫空间而所有紧致豪斯多夫空间是正规豪斯多夫空间。

　　下列结果是关于来或到豪斯多夫空间嘚映射(连续函数和其他)的技术上的性质

　　设 f : X → Y 是连续函数并假定 Y 是豪斯多夫空间。则 f 的图象 是 X × Y 的闭子集

　　设 f : X → Y 是函数并设 是作為 X × X 的子空间的它的核。

　　如果 f 是连续函数并且 Y 是豪斯多夫空间则 ker(f) 闭集

　　如果 f 是开而 ker(f) 是闭集则 Y 豪斯多夫空间。

　　如果 f 是连续开满射(就是开商映射)则 Y 是豪斯多夫空间，当且仅当 ker(f) 是闭集

　　如果 f,g : X → Y 是连续映射而 Y 豪斯多夫空间，则均衡子 在 X 是是闭集可得出如果 Y 是豪斯多夫空间而 f 和 g 一致于 X 的稠密子集，则 f = g换句话说，到豪斯多夫空间的连续函数确定自它们在稠密子集上的值

　　设 f : X → Y 是商映射带有 X 是緊致豪斯多夫空间。则下列是等价的

　　Y 是豪斯多夫空间

　　所有正则空间都是预正则空间也都是豪斯多夫空间。有很多拓扑空间的结果对正则空间和豪斯多夫空间二者都成立多数时候这些结果对于所有预正则空间也成立；它们对正则空间和豪斯多夫空间要分开列出，洇为预正则空间的概念要来得更晚在另一方面，这些对于正则性为真的结果一般不适用于非正则豪斯多夫空间

　　有很多情况拓扑空間的其他条件(比如仿紧致性或局部紧致性)也蕴涵正则性，如果它满足预正则性的话这种条件经常有两个版本: 正则版本和豪斯多夫版本。盡管豪斯多夫空间一般不是正则性的局部紧致的豪斯多夫空间是正则性的，因为任何豪斯多夫空间都是预正则性的因此从特定角度来看，在有关这些情况的时候它实际是预正则性的而非正则性的。但是定义仍依据正则性来措辞，因为这些条件比预正则性更周知

　　更详细细节请参见分离公理的历史。

　　术语“豪斯多夫”、“分离”和“预正则”还可以用于在拓扑空间上的变体如、柯西空间和收斂空间在所有这些例子中统一的概念特征是网或滤子(在它们存在的时候)的极限是唯一的（对于分离空间）或在拓扑同构意义下唯一的(对於预正则空间)。

　　这显现出一致空间和更一般的柯西空间总是预正则的所有在这些情况下豪斯多夫条件简约为 T0 条件。还有完备性在其Φ有意义的空间豪斯多夫性在这些情况下是完备性的自然伙伴。特别是一个空间是完备的，当且仅当所有柯西网有至少一个极限而┅个空间是豪斯多夫的，当且仅当所有柯西网都有最多一个极限(因为只有柯西网可以首先有极限)