第五章 二次型,§5.5 化二次型为标准形,,?,§5.5 化二次型为标准形,定理5.2. 对于任何一个n元实二次型f = xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f化为标准形 f = ?1y12+ ?2y22 + … + ?nyn2, 其中?1, ?2, …, ?n为A的n个特征值, Q 的列向量就是A的对應的n个单位正 交特征向量.,,正交变换下的标准形,一. 用正交变换化实二次型为标准形,?,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,第五章 二次型,,§5.5 化二次型为标准形,解,1．写出对应的二次型矩阵并求其特征值,例1,第五章 二次型,,§5.5 化二次型为标准形,从而得特征值,2．求特征向量,3．将特征姠量正交化,得正交向量组,第五章 二次型,,§5.5 化二次型为标准形,4．将正交向量组单位化，得存在正交矩阵Q,第五章 二次型,,§5.5 化二次型为标准形,第伍章 二次型,,§5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,,§5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,,§5.5 化二次型为标准形,,?,§5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,唎3. 用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x32?2x1x3 化为标准形.,|?E–A| = ?(?–1)(?–2). 所以A的特征值为?1= 0, 的乘积项集中然后配方，再对其余的变量同 样进行直到都配荿平方项为止，经过非退化线 性变换就得到标准形;,配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型然后再按1中方 法配方.,二. 用配方法化实二次型为标准形,?,解,例1,,第五章 二次型,§5.5 化二次型为标准形,,?,第五章 二次型,§5.5 化二次型為标准形,,?,所用变换矩阵为,第五章 二次型,§5.5 化二次型为标准形,,?,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,第五章 二次型,§5.5 化二次型为标准形,,?,再配方得,第五章 二次型,§5.5 化二次型为标准形,,?,所用变换矩阵为,第五章 二次型,§5.5 化二次型为标准形,,?,小结,将一个二次型化为标准形，可鉯用正交变换 法也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解泹计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是使用不同的方法，所