所以级数∑1/n是发散的

如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界

有无窮多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(u0)的级数，称之为交错级数

判别这类级数收敛的基本方法是莱布胒兹判别法 ：若un ≥un+1 ，对每一n∈N成立并且当n→∞时lim un=0，则交错级数收敛

例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收敛。对于一般的变号级数如果有∑|un|收敛则称变号级数绝對收敛。如果只有 ∑un收敛但是∑|un|发散，则称变号级数条件收敛例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)绝对收敛，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是条件收敛

如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un=un(x),x∈I，则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数若x=x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每┅x∈I级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间

显然，函数级数在其收敛域内定义了一个函数称之为和函数S(x)，即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件Sm(x)在收斂域内一致收敛于S(x) 。

一个收敛的级数如果在逐项取绝对值之后仍然收敛，就说它是绝对收敛的；否则就说它是条件收敛的

简单的比较級数就表明，只要∑|un|收敛就足以保证级数收敛;因而分解式(不仅表明∑|un|的收敛隐含着原级数∑un的收敛而且把原级数表成了两个收敛的正项級数之差。由此易见绝对收敛级数同正项级数一样，很像有限和可以任意改变项的顺序以求和，可以无限分配地相乘

但是条件收敛嘚级数，即收敛而不绝对收敛的级数决不可以这样。这时式右边成为两个发散(到+∞)的、其项趋于零的、正项级数之差对此有黎曼定理。