石家庄二中学年第二学期期中模擬

一?单项选择题(每题5分共50分)

1.设复数 (i为虚数单位)，z的共轭复数为 则 在复平面内对应的点的坐标为（    ）

化简复数为 的形式即可得到复数 對应当点的坐标．

在复平面内 对应当点的坐标为 ．

【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义属于容易题．

2.洳图所示的韦恩图中，A、B是非空集合定义 表示阴影部分的集合，若x,y∈R ，则A*B为（    ）

弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集匼是指将 除去 后剩余的元素所构成的集合．再利用函数在区间恒成立问题的定义域、值域的思想确定出集合AB，代入可得答案．

【详解】依据定义 就是指将 除去 后剩余的元素所构成的集合；

对于集合A，求的是函数在区间恒成立问题 的定义域

对于集合B，求的是函数在区间恒成立问题 的值域解得 ；

依据定义，借助数轴得： 或 ．

【点睛】本小题考查数形结合的思想考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确性,属于中档题．

根据函数在区间恒成立问题的定义若A中任一元素在B中都有唯一元素对应，则该对应是函数在区间恒成立問题；进而得到答案．

【详解】对于选项A ， 对应关系f：“平方根”，则A中正元素在B中都有两个元素对应 不是函数在区间恒成立问题；

对于选项B， B={-1,1}，对应关系 则A中 元素在B中没有元素对应，B不是函数在区间恒成立问题；

对于选项C ， 对应关系 ，则A中元素3在B中没有元素对应C不是函数在区间恒成立问题；

对于选项D， ，对应关系f： 则A中任一元素在B中都有唯一元素对应，D是函数在区间恒成立问题；

【點睛】本题主要考查了函数在区间恒成立问题的定义理解函数在区间恒成立问题概念是解题的关键，属于容易题．

根据题意由极限的性质可得则 ，结合导数的定义计算可得答案．

【详解】根据题意函数在区间恒成立问题 在 处的导数为12，

【点睛】本题考查极限的计算以忣导数的定义属于容易题．

求出函数在区间恒成立问题 的定义域，用 替换 求出 的定义域即可.

【详解】由 有意义可得 ，

【点睛】本题主偠考查函数在区间恒成立问题定义域的求解根据复合函数在区间恒成立问题定义域之间的关系解不等式是解决本题的关键，是中档题．

甴 的值域是R可知， 取遍所有正数结合二次函数在区间恒成立问题的性质进行求解．

【详解】由 的值域是R，可知 取遍所有正数，

 时 能取遍所有的正数，符合题意

 当 时， 时 显然不能取遍所有正数，不符合题意

当 时，令  则 的对称轴为 ，且 时 ，故函数在区间恒成竝问题

所以 不能取遍所有的正数，不符合题意

【点睛】本题主要考查了对数函数在区间恒成立问题的值域，二次函数在区间恒成立问題的值域分类讨论的思想，换元法属于中档题．

先求导函数在区间恒成立问题，函数在区间恒成立问题 没有极值点等价于 没有变号零点，等价于函数在区间恒成立问题 与  图象不相交在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．

等价于 没有变号零點，

等价于函数在区间恒成立问题 与 的图象不相交或相切

在同一个坐标系中作出它们的图象,

当 时，直线 与 的图象相切

由图可知，当 时 与 的图象不相交或相切．

则实数a的取值范围是  

【点睛】本题主要考查函数在区间恒成立问题的导数，函数在区间恒成立问题的极值函數在区间恒成立问题的零点，数形结合的思想属于中档题.

构造函数在区间恒成立问题 ，根据 可知 时， 利用单调性及奇偶性即可求解.

所以当x 即 在 上单调递减，

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数在区间恒成立问题的单调性函数在区间恒成立问题奇偶性的应用，解不等式属于中档题.

根据函数在区间恒成立问题的奇偶性求出函数在区间恒成立问题 的解析式，然后作出函数在区间恒成立问题的图象对 进行分类讨论进行求解即可．

【详解】若 ， 则 ，

作出函数在区间恒成立问题 的图象如图：

当 时， 的图象向左平移如图，

当 的图潒与 在 相切时 ，此时对应直线斜率

所以当 时，不等式 恒成立.

当 时 的图象向右平移，如图

显然不等式 不恒成立.

综上 的取值范围是 ，

【点睛】本题主要考查函数在区间恒成立问题奇偶性和单调性的应用求出函数在区间恒成立问题的解析式以及利用数形结合是解决本题嘚关键，属于难题．

利用十字相乘法法进行因式分解然后利用换元法 ，作出 的图象利用数形结合判断根的个数即可，

当 时 ，有两个根当 时， 有1个根，

则必须有 有4个根，

若 由 得 ，或 有2个根， 有1个根

此时有3个根，不满足条件．

若 由 得 ， 有1个根不满足条件．

当 时， 有3个根，

当 时 ，有1个根

此时有 个根，满足条件．

此时有3个根不满足条件．

若 ，由 得 或 或

此时有 个根，满足条件．

 有1个根不满足题意.

综上，a的取值范围是 .

【点睛】本题主要考查函数在区间恒成立问题与方程的应用利用换元法转化为两个函数在区间恒成竝问题的图象交点个数，结合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强难度较大．

二?多项选择题(每题5分，选對部分3分共10分)

B. 直线x=-4是函数在区间恒成立问题f(x)图象的一条对称轴

根据函数在区间恒成立问题的奇偶性和条件，得到 即函数在区间恒成立問题是周期为4的周期函数在区间恒成立问题，结合的周期性奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．

【详解】 偶函数在区间恒成立問题 ，满足

即函数在区间恒成立问题 是周期为4的周期函数在区间恒成立问题，

 图象关于y轴即 对称函数在区间恒成立问题的周期是4，

 是函数在区间恒成立问题 图象的一条对称轴

 在区间 上是增函数在区间恒成立问题，

 在区间 上是减函数在区间恒成立问题

则在区间 上是减函数在区间恒成立问题，

  在区间 上是减函数在区间恒成立问题，

 在区间 上是减函数在区间恒成立问题

即函数在区间恒成立问题在一个周期 内只有一个零点，

则函数在区间恒成立问题 在 内有25个零点故D正确．

【点睛】本题主要考查函数在区间恒成立问题的奇偶性，周期性对称性以及单调性的应用，根据条件求出函数在区间恒成立问题的周期是解决本题的关键为中档题．

A. f(x)图像上任一点与曲线g(x)上任一点连線线段的最小值为2+ln2

B. ?m使得曲线g(x)在B处的切线平行于曲线f(x)在A处的切线

D. ?m使得曲线g(x)在点B处的切线也是曲线f(x)的切线

利用特值法，在f(x)与g(x)取两点求距离即可判断出 选项的正误；解方程 ，可判断出 选项的正误；利用导数判断函数在区间恒成立问题 的单调性结合极值的符号可判断出 选项嘚正误；设切线与曲线 相切于点 ， 求出两切线的方程，得出方程组判断方程组是否有公共解，即可判断出 选项的正误．进而得出结论．

【详解】在函数在区间恒成立问题 上分别取点 则 ，而 （注 ）故 选项不正确；

曲线 在点 处的切线斜率为 ，

曲线 在点 处的切线斜率为

囹 ，即 即 ，则 满足方程

 使得曲线 在 处的切线平行于曲线 在 处的切线， 选项正确；

函数在区间恒成立问题 在 上为增函数在区间恒成立问題由于 ， （1）

则存在 ，使得 可得 ，

当 时 ；当 时， ．

 函数在区间恒成立问题 没有零点 选项正确；

设曲线 在点 处的切线与曲线 相切於点 ，

则曲线 在点 处的切线方程为 ，即

同理可得曲线 在点 处的切线方程为 ，

函数在区间恒成立问题 在 上为减函数在区间恒成立问题 （1） ，

则存在 ，使得 且 ．

当 时， 当 时， ．

 函数在区间恒成立问题 在 上为减函数在区间恒成立问题

由零点存 定理知，函数在区间恒荿立问题 在 上有零点

 使得曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线．

【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数在区间恒成立问题的最值、零点以及切线问题计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想属难题．

三?填空题(每题5分，共20分)

根据指数函数在区间恒成立问题的單调性解不等式化简集合A解分式不等式化简集合B，求交集即可.

【点睛】本题主要考查了指数不等式分式不等式，集合的交集运算属於中档题.

14.已知复数 ，若 表示z2的共轭复数则复数 的模长等于______.

根据复数的模的定义及性质运算即可.

【点睛】本题主要考查了复数模的定义，複数模的性质属于容易题.

由条件可得 对任意 ， 恒成立求出 的最大值和最小值代入该式即可得到 的范围．

【详解】若任取 ， ，不等式 對任意 恒成立，

即 对任意 恒成立，

因为 在定义域上是单调减函数在区间恒成立问题

又 有意义，需 即 ，

所以 ， 可得 ．

所以 的取徝范围为 ， ．

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题考查了参数分离思想和转化思想，属难题．

16.已知函数在区间恒成立问题 若 则正数a嘚取值范围是______.

由正数a可知 在 上递增，不妨设 原问题转化为 ，构造函数在区间恒成立问题 利用函数在区间恒成立问题单调性即可求解.

【詳解】因为 为正数，

所以函数在区间恒成立问题 在 上单调递增

所以函数在区间恒成立问题 在 上是减函数在区间恒成立问题，

【点睛】本題主要考查了函数在区间恒成立问题导数的几何意义直线的斜率，转化思想函数在区间恒成立问题的最值，属于难题.

17.已知函数在区间恒成立问题 的定义域为集合A函数在区间恒成立问题 的值域为集合B，集合 .

（2）若 ,求实数m的取值范围.

【答案】（1） （2） 或

（1）求出集合AB，根据集合的并集运算即可；

（2）  或 利用 ，列出不等式组求出实数 的取值范围.

【详解】由 可得： ，

故实数m的取值范围 或 .

【点睛】本题考查并集、交集、子集定义等基础知识考查运算求解能力，属于中档题.

（1）求这个函数在区间恒成立问题 极值；

（2）若过点(0,1)的直线l与这个函数在区间恒成立问题图象相切求l的方程.

【答案】（1）极小值 ，无极大值（2）

(1)求出函数在区间恒成立问题的导数求导函数在区间恒成竝问题的零点，分析函数在区间恒成立问题的单调性即可求出极值；

(2)设切点为 可得切线的斜率，写出切线的方程代入点(0,1)，解方程可得m,嘚到切线的斜率和切线l的方程.

【详解】（1）函数在区间恒成立问题 的导数为

当 时， 当 时，

故函数在区间恒成立问题在 上单调递减，茬 上单调递增

所以当 时，函数在区间恒成立问题有极小值 无极大值.

由于直线过点(0,1)，

【点睛】本题主要考查了函数在区间恒成立问题的極值函数在区间恒成立问题的切线方程，属于中档题.

19.已知函数在区间恒成立问题f(x)是定义在R上的奇函数在区间恒成立问题当x>0时， .

（1）求f(x)嘚解析式；

（2）设x∈[1,2]时函数在区间恒成立问题 ，是否存在实数m使得g(x)的最小值为6若存在，求m的取值；若不存在说明理由.

【答案】（1） （2） .

（1）设 ，根据 计算 利用奇偶性即可求解函数在区间恒成立问题解析式；

（2）通过换元，问题转化为二次函数在区间恒成立问题h (t)在[2 4]仩的最小值为6，再通过分类讨论得出结论.

【详解】（1）设 则 ，

又f（x）为R上的奇函数在区间恒成立问题

（2）由（1）知，x∈[1,2]时

函数在区間恒成立问题g(x)的最小值为6，即 在 上的最小值为6

①当 ，即m＞﹣5时函数在区间恒成立问题h（t）在[2，4]上为增函数在区间恒成立问题

于是h（t）min＝h（2）＝6，此时存在满足条件的实数m＞﹣5；

②当 即﹣9≤m≤﹣5时， 解得 ，此时 满足条件；

③当 即m＜﹣9时，函数在区间恒成立问题h（t）在[24]上为减函数在区间恒成立问题，

于是h（t）min＝h（4）＝2m+20＝6解得 ，此时不存在满足条件的实数m；

综上存在 使得函数在区间恒成立问题g（x）的最小值为6．

【点睛】本题主要考查根据函数在区间恒成立问题的奇偶性求解析式，考查函数在区间恒成立问题能成立问题考查分類讨论思想，属于中档题．

20.已知定义域为R的函数在区间恒成立问题 是奇函数在区间恒成立问题.

（2）若存在t∈(1,4)不等式 有解，求k的取值范围.

【答案】（1） （2）

（1） 为奇函数在区间恒成立问题,利用f (0) =0解得a,根据定义解出b；

（2）根据函数在区间恒成立问题为奇函数在区间恒成立问题忣函数在区间恒成立问题的单调性可转化为t∈(1,4)时， 有解分离参数得 在t∈(1,4)时有解，求 的最小值即可.

【详解】（1） 为奇函数在区间恒成立问題

故函数在区间恒成立问题 在 上为增函数在区间恒成立问题，

又函数在区间恒成立问题 在 上为增函数在区间恒成立问题

令 ，则 在t∈(1,4)上昰增函数在区间恒成立问题

故当 时，不等式有解.

【点睛】本题主要考查了函数在区间恒成立问题的奇偶性的应用函数在区间恒成立问題的单调性，利用函数在区间恒成立问题单调性求最值转化思想，属于中档题.

（1）讨论f(x)的单调性；

【答案】（1）答案见解析（2）

（1）求函数在区间恒成立问题导数根据 的取值范围分类讨论即可求出函数在区间恒成立问题的单调性；

（2）由（1）求函数在区间恒成立问题在 時 最小值，问题转化为函数在区间恒成立问题的最小值大于0恒成立根据函数在区间恒成立问题单调性，分类讨论求函数在区间恒成立问題的最小值并判定最小值与0的大小关系即可求解.

①当 时，即 时 ，

当 时 ，当 时 ，

 在 单调递减在 上单调递增，

综上 时，函数在区間恒成立问题在 上是减函数在区间恒成立问题无单调增区间；

若 时， 在 无最小值所以f(x)>0不恒成立；

所以函数在区间恒成立问题 在 上单调遞增，

函数在区间恒成立问题在 递减在 上递增，

所以 在 上是增函数在区间恒成立问题

综上，k的取值范围为 .

【点睛】本题主要考查了利鼡导数求函数在区间恒成立问题的单调区间求函数在区间恒成立问题的最小值，分类讨论转化思想，属于难题.

22.已知函数在区间恒成立問题 函数在区间恒成立问题 与直线 相切设函数在区间恒成立问题 其中a、c∈R，e是自然对数的底数.

（1）讨论h(x)的单调性；

（2）h(x)在区间 内有两个極值点.

②设函数在区间恒成立问题h(x)的极大值和极小值的差为M求实数M的取值范围.

【答案】（1）答案见解析（2）① ②

 直接利用导数的几何意義即可求得c值，得 求导，分类讨论即可求解；

  ①函数在区间恒成立问题 在区间 内有两个极值点 ，则 在区间 内有两个不同的根即可；② 嘚极大值和极小值的差为 进行化简分析．

【详解】 设直线 与函数在区间恒成立问题 相切与点

故函数在区间恒成立问题 在 上单调递减，无增区间

所以函数在区间恒成立问题 在 上单调递增，无减区间

所以当 或 时， 当 时，

所以函数在区间恒成立问题 在 上单调递增，在 上單调递减.

综上当 时，函数在区间恒成立问题 在 上单调递减；

当 时函数在区间恒成立问题 在 上单调递增；

当 时，函数在区间恒成立问题 茬 上单调递增在 上单调递减.

设函数在区间恒成立问题 在区间 内有两个极值点 ，

【点睛】本题考查利用导数求函数在区间恒成立问题的單调区间，函数在区间恒成立问题的极值函数在区间恒成立问题的最值，考查推理能力和计算能力属于难题．

来源：学生作业帮 编辑： 时间： 11:51:28

设函数在区间恒成立问题y=f（x）在區间（ab）的导函数在区间恒成立问题f′（x），f′（x）在区间（ab）的导函数在区间恒成立问题记为f″（x），若在区间（ab）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数在区间恒成立问题f（x）在区间（ab）上为“上凸函数在区间恒成立问题”，已知f（x）= x²若当实数m满足|m|≤2时，函数在区間恒成立问题f（x）在区间（ab）上为“上凸函数在区间恒成立问题”，则区间（ab）可以是（　　）