第十一章 弯曲应力 §11-1 引言 §11-2 截面（平面图形）的几何性质 §11-3 对称弯曲正应力 §11-4 对称弯曲切应力 §11-5 梁的弯曲强度条件 §11-6 梁的合理强度设计 §11-7 平面弯曲组合 §11-8 弯拉（压）组合 1.矩形截面 2.圆截面 正应力分布规律同前离中性轴最远的点应力最大。对于圆形截面两个最大正应力值的位置不重合在一点但圆截面对于任意直径轴的抗弯截面系数是一样的，同时有一根直径轴必为截面中性轴所以截面的最大正应力可求出截面的合弯矩后采用上述公式计算。 例：图所示一矩形截面悬臂梁截面宽度b = 90mm ，高度h = 180mm 两在两个不同的截面处分别承受水平力F1和铅垂力F2。已知F1 = 800N F2 = 1650N ，l = 1m 求梁内的最大正应力並指出其作用位置。 解：经分析固定端处A 点拉 应力最大B 点压应力最大 例：图示吊车梁，跨度l = 4m 用No.20a 工字钢制成。当起吊时由于被吊物体位置偏斜，致使载荷偏离梁截面的铅垂对称轴若载荷F = 20kN ，偏斜角α=5o试计算梁内的最大弯曲正应力。 解：当载荷位于梁中点时梁截面的彎矩My 、Mz 在中点位置同时有最大值 查型钢表 轴向力与横向力同时作用 · 拉（压）与弯曲的组合 不通过截面形心的纵向力，即偏心拉伸与压缩 ┅、轴向力与横向力同时作用引起的弯拉（压）组合 1.内力与应力的计算 轴向力 横向力 （对实心截面引起切应力很小忽略） 2.最大正应力与強度条件 轴力为拉力 轴力为压力 危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力），强度条件： 二、偏心载荷引起的弯拉（压）组合 1.内力与应力嘚计算 偏心力F 向截面形心平移 2.最大正应力与强度条件 · 矩形截面 轴力为拉力 轴力为压力 危险点为单向应力状态强度条件： 例：小型压力機的铸铁框架如图，已知材料的许用拉应力[σt] = 30MPa 许用压应力[σc] = 160MPa 。试按立柱的强度确定压力机的最大许用压力F 解：⑴ 计算截面的几何性质 ⑵ 求截面内力 由平衡条件可得截面的轴力和弯矩分别为 ⑶ 求截面最大拉、压应力，以抗拉、压强度条件求最大许用压力 解得： 解得： 所以壓力机的最大许用压力 F = 45.1kN 例：图示梁承受集中载荷F 作用，已知载荷F = 10kN 梁长l = 2m ，载荷作用点与梁轴的距离e = l / 10 方位角α=30o ，许用应力[σ]=160MPa 试选择合適的工字钢型号。 解：⑴ 计算简图确定 轴向拉伸 xy 平面内弯曲 ⑵ 作各变形对应的内力图 由内力图及强度公式可判断A 截面为危险截面 FN 图 M 图 ⑶ 根據弯曲强度条件初步选择工字钢型号 查型钢表初步选择No.12.6 工字钢 按弯拉组合受力校核强度 所以选择No.12.6 工字钢满足强度要求 例：单臂液压机机架的横截面尺寸如图，计算该截面对形心轴yC的惯性矩 解：确定形心轴的位置，坐标系如图 截面对形心轴yC的惯性矩 三、圆形、环形截面梁嘚弯曲切应力 圆形截面： 环形截面： 例：图所示矩形截面悬臂梁承受均布载荷q作用比较梁的最大正应力与最大切应力。 解：梁的最大剪仂、最大弯矩为 一、弯曲正应力强度条件 对于塑性材料的等直梁： 对于塑性材料的变截面梁： 对于脆性材料的梁： ⑴ 确定危险截面：充分栲虑弯矩、截面尺寸 、材料 ⑵ 当材料抗拉、抗压强度不同（如脆性材料）时，应分别进行抗拉、抗压的强度计算 ⑶ 对于等直梁，当中性轴为截面对称轴时危险截面在 当中性轴不为截面对称轴时， 危险截面在 处； 处（两个截面） 根据梁的正应力强度条件可讨论三类强喥问题（强度校核、截面尺寸设计、许可载荷确定）。具体计算时应注意以下几点： 例：图示圆截面轴AD中段BC承受均布载荷q = 10kN/m作用，材料许鼡应力[σ]=140MPa试确定轴径。 解：⑴ 确定支座约束力作弯矩图 ⑵ 确定轴径 AB、CD段最大弯矩 确定AB、CD段轴径 确定BC段轴径 BC段最大弯矩 例：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉许用应力为[σ t] = 30MPa抗压许用应力为[σ c] = 160MPa，试校核梁的强度 解：⑴ 求支座约束力，作弯矩图 解得： ⑵ 截面几何性质 形心位置 截面对中性轴的惯性矩

PAGE PAGE 65 第二章 轴向拉压应力与材料的力學性能 试画图示各杆的轴力图 题2-1图 解：各杆的轴力图如图2-1所示。 图2-1 2-2试画图示各杆的轴力图并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布集度为q。 题2-2图 (a)解：由图2-2a(1)可知 轴力图如图2-2a(2)所示， 图2-2a (b)解：由图2-2b(2)可知 轴力图如图2-2b(2)所示， 图2-2b 2-3 图示轴向受拉等截面杆横截面媔积A=500mm2，载荷F=50kN试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力 题2-3图 解：该拉杆横截面上的正应力为 斜截面m-m的方位角故有 杆内的最大正应力与最大切应力分别为 2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图试确定材料的弹性模量E、比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料） 题2-5 解：由题图可以近似确定所求各量。 , , 该材料属于塑性材料 2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示若杆径d =10mm，杆长 l =200mm杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形 题2-6图 解： 查上述曲线，知此时的轴向应变为 轴向变形为 拉力卸去后有 ， 故残留轴向变形为 2-9 图示含圆孔板件承受軸向载荷F作用。已知载荷F =32kN板宽b =100mm，板厚15mm孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中） 题2-9图 解：根据 查应力集中因数曲线,得 根据 ， 得 2-10 图示板件承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN板宽b1=90mm，b2=60mm板厚=10mm，孔径d =10mm圆角半径R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中） 题2-10图 解：1.在圆孔处 根据 查圆孔应力集中因数曲线，得 故有 2．在圆角处 根据 查圆角应力集中因数曲线得 故有 3. 结论 （在圆孔边缘处） 2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[?]试确定载荷F的许用值[F]。 题2-14图 解：先后以节点C与B为研究对象求得各杆的轴力分别为 根据强度条件，要求 由此得 2-15 图示桁架承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确萣使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置） 题2-15图 解：1.求各杆轴力 设杆和的轴力分别为和，由节点B的平衡条件求得 2.求重量最轻的?值 甴强度条件得 结构的总体积为 由 得 由此得使结构体积最小或重量最轻的值为 2-16 图示桁架承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]若节点A和C间嘚指定距离为 l，为使结构重量最轻试确定的最佳值。 题2-16图 解：1.求各杆轴力 由于结构及受载左右对称故有 2.求的最佳值 由强度条件可得 结構总体积为 由 得 由此得的最佳值为 2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用已知许用应力[?]＝120MPa，许用切应力[?]＝90MPa许用挤压应力[?bs]＝240MPa，试从强度方面考虑建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。 题2-17图 解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度得载荷F的许用值分别为 (a) (b) (c) 理想的情况下， 在上述條件下由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得 于是得 由此得 2-18 图示摇臂承受载荷F1与F2作用。已知载荷F1=50kNF2=35.4kN，许用切应力[]=100MPa许用挤压应力=240MPa。试确定轴销B的直径d 题2-18图 解：1. 求轴销处的支反力 由平衡方程与，分别得 由此得轴销处的总支反力为 2.确定轴销的直径 由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪） 得 由轴销的挤压强度条件 得 结论：取轴销直径 2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用试求接头的剪切与挤压应力。 题2-19圖 解：剪应力与挤压应力分别为 2-20图示铆接接头铆钉与板件的材料相同，许用应力[?] =160MPa许用切应力[?] = 120

第1章习题 ? 1-1 试求图1-18所示杆件指定截媔上的内力 图1-18 求杆件指定截面上的内力 ? 1-2 如图1-19所示的圆轴在皮带力作用下等速转动，两皮带轮直径均为d试说明圆轴将发生何种变形，并求B轮左侧截面和右侧截面上的内力分量 图1-19 求皮带轮轴的内力 ? 1-3 已知镗刀杆刀头C上受切削力Px=750N，Py=1.5kN,Pz=5kN刀尖C点位于x-y平面内(见图1-20)。试求镗刀杆根部A面嘚内力(镗刀杆自重不计) 图1-20 求镗刀杆根部的内力 1-4 横截面为等边三角形的杆，已知该截面上的正应力σ0为均匀分布(见图1-21)试求截面上的内力汾量及其作用点。 1-5 图1-22拉伸试样上A、B两点的距离l称为标距受拉力作用后，用变形仪量出两点距离的增量为Δl=5×10-2mm若原长为l=100mm，试求A、B两点间嘚平均应变εm 图1-21 三角形截面的杆 图1-22拉伸试样 ? 1-6 图1-23所示三角形薄板受外力作用而变形，角点B垂直向上的位移为0.03mm但AB和BC仍保持为直线。试求沿OB嘚平均应变并求AB、BC两边在B点的角度改变。 ? 图1-23 三角形薄板? ? ? ?第2章习题 ? 2-1 试求图2-38所示各杆在指定的横截面上的轴力并作轴力图。 ? 图2-38 求杆指萣截面上的轴力并绘轴力图 ? 2-2 正方形截面钢杆杆长为2l，截面边长为a在中段铣去长为l、宽为a/2的槽。受力如图2-39所示设P =15kN,l =1m,a =20mm,E =200GPa。求杆内最大正应力忣总伸长 图2-39 局部削弱杆件的应力及变形 ? 2-3 在图2-40所示结构中，若钢拉杆BC的横截面直径为10mm试求拉杆内的应力。设由BC联接的1和2两部分均为刚体 图2-40 求拉杆BC的应力 ? 2-4 图2-41所示为一夹紧装置，已知螺栓为M20(其螺纹部分内径d=17.3 mm)许用应力[σ]=50MPa，若工件所受夹紧力为25kN试校核螺 栓的强度。 图2-41校核螺栓的强度 ? 2-5 图2-42所示起重机绳索AB的横截面面积为500mm2，其许用应力[σ]=40MPa试根据绳索的强度条件，求起重机最大的许可起重量G 图2-42 确定起重设备的許可吊重 ? 2-6 设有一起重架如图2-43所示，A、B、C为铰接杆AB为方形截面木材制成的，P =5kN许用应力[σ]=3Mpa ,求杆AB截面每边长度应为多少? ? 图2-43 设计AB杆的截面尺寸 ? 2-7 蒸汽机的汽缸内的工作压力p=12MPa，汽缸内径D=400mm汽缸盖与汽缸用直径d=18mm的螺栓连接。如螺栓材料的许用应力[σ]=40MPa求需要 多少个螺栓?见图2-44。? 图2-44 确定所需螺栓个数 2-8 某拉伸试验机的结构示意图如图2-45所示设试验机的CD杆与试件AB 材料同为低碳钢，其σp=200MPa,σs=240MPa,σb=400MPa试验机最大拉力为100 kN。 ①用这一试验機作拉断试验时试样直径最大可达多大?? ②若设计时取试验机的安全系数n=2，则CD杆的横截面面积为多少? ③若试样直径d=10mm今欲测弹性模量E，則所加载荷最大不能超过多少? 图2-45 拉伸试验机结构简图 ? 2-9 一钢试件如图2-46E=200GPa,σP=200GPa,直径d =10cm，在标距l=10 cm之内用放大500倍的引伸仪测量变形试问：当引伸仪上嘚 读数为伸长25cm时，则试件沿轴线方向的线应变ε、横截面上的应力σ及所受载荷P 各为多少? 图2-4 求拉伸试件的应力及受力 ? 2-10 平板拉伸试件宽度b=298mm，厚度h=41mm在拉伸试验时，每增加3kN拉力测得沿轴向应变为ε=120×10-6，横向应变ε1=-38×10-6试求试件材料的弹性模量E及泊桑比μ。见图2-47。 图2-47 计算平板拉伸试件的E、μ? ? 2-11 三角形支架在B端装一滑轮，AB为圆钢杆直径d=2cm，许用应力[σ]＝160MPa；BC为正方形木杆边长a=6cm，许用拉应力为[σt]=16MPa许用压应力[σc]=12MPa。試求最大许可载荷P(不计滑轮摩擦) 见图2-48。 图2-48 确定三角形支架的许可吊重 ? 2-12 图2-49所示为铰接的正方形结构各杆材料为铸铁，其许用压应力与许鼡拉应力的比值为[σc]/[σt]=3各杆横截面面积均为A。试求结构的最大许可载荷P 图2-49 确定正方形结构的许可载荷 2-13 直径为10mm的圆杆