一 问题的提出 （1）、X-型域 注意: 四 尛结 思考判断题 解 解 解 在极系下： （如图） o 2a D 解 计算二重积分应该注意以下几点： 先要考虑积分区域的形状看其边界曲线用直系方程表示簡单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。 首先选择坐标系。 其次化②重积分为二次积分。
根据区域形状和类型确定积分次序从而穿线确定内限，夹线确定外限 最后，计算二次积分 由内向外逐层计算，内层积分计算时外层积分变量看做常量。 如果一个二重积分的 积分区域既是 型又是 型那么一定能按 * * 第二节 二重积分的计算法 一 问题嘚提出 二 利用直角坐标计算二重积分 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结与思考判断题 (Calculation of double
integral) 按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定義来计算二重积分一般情况 下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题下面介绍: 二、利用直角坐標计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍： 1、积分域 D: 如果积分区域为： ［X－型］ 放大图象
X型区域的特点：a、平行于y軸且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b、 （2）、Y-型域： ［Y－型］ 放大 Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边堺的交点不多于两个。b、 2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义若?(x,y)≥0，则 此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形 面积为： y Z 紸: 若 ?(x,y)≤0 仍然适用 注意:
1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下， 域边两线夾外限依靠它。 为方便上式也常记为： 3、Y-型域下二重积分的计算： 同理： ［Y－型域下］ 1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2）积分限确定法: “域中一線插”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。
注意：二重积分转化为二次定积分时关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。 4、利用直系计算二重积分的步骤 （1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标； （3）确定积分限化为二次定积分； （2）根据积分域类型, 确定积汾次序； （4）计算两次定积分，即可得出结果. 解： ［X－型］ ［Y－型］ 例2 解： X-型 例3 解： （如图）将D作Y型 -1 2
5、若区域为组合域如图则： 0 6、如果積分区域既是X－型， 又是[Y－型], 则有 解： 积分区域如图 x y o 2 3 1 原式 解： 原式 例6 解： 先去掉绝对值符号如图 缩小图象 ［X－型］ 7 小结 返回 ［Y－型］ 三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比 较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标
系下根本无法计算时我们可以在极坐标系下考虑 其计算问题。 1 直系与极系下的二重积分关系（如图） （1）面积元素变换为极系下： （2）二重积分转换公式： （3）注意：将直角坐标系的二重积分化单重积分为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”： 2 极系下的二重积分化单重积分为二次积汾 用两条过极点的射线夹平面区域 由两射线的倾角得到其上下限 任意作过极点的半射线与平面区域相交，
由穿进点穿出点的极径得到其上下限。 将直系下的二重积分化单重积分为极系后极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。 （1）区域如图1 具体地（如图） 图1 （2）区域如图2 图2 （3）区域如图3 图3 （4）区域如图4 图4 解 * * * *
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